Jason Newhawk wrote:
>> sqrt(4n^2+2n) / (1-2n) = n sqrt(4 +2/n) / [n (-2+1/n)]
>> = sqrt(4+2/n) / (-2+1/n)
>> I grænsen hvor n->oo forsvinder alle 1/n led, og du
>> får sqrt(4)/-2 = -1 som grænse værdi
> Takker for øjnåbneren
You're welcome, men det er ikke helt så smukt, da nogle af
1/n ledene generelt kunne cancellere, hvis de har samme
potens i tæller og nævner, og derfor give et bidrag i
grænsen.
Men kan lige dreje skruen lidt mere. Igen da 1/n i grænsen
n->oo er en lille parameter kan jeg der rækkeudvikle: Husk
at (1+e)^n ~ 1+ne når e<<1.
sqrt(4+2/n) = sqrt( 4 ( 1+0.5/n)) ~ 2 (1+ 0.25/n)
1/(-2+1/n) = 1/(-2 [1-0.5/n]) ~ -1/2 * [1+0.5/n]
Produktet af de to led bliver -1 (1+1/4n)*(1+1/2n)
~ -1 + (1/4+1/2)(1/n) + O(1/n^2)
Så du kan også aflæse hvordan serien asymptotisk nærmer sig
grænseværdien -1 for passende store n.
O(1/n^2) betyder her et led, der opfører sig som konst/n^2
for en ukendt konstant.
Hvorfor var det lige at (1+e)^n ~ 1+ne?
Taylor ekspansion: f(x) ~ f(x0)+ (x-x0)df/dx(x0)+ ..
Her betyder df/fx(x0) f differentieret mht. x og så værdien x=x0
indsat bagefter. Med f(x)=(1+x)^n og x0=0:
f(x)=(1+x)^n ~ (1+0)^n + (x-0) df/dx(0) + .. = 1 + nx + ..
fordi df/dx(0) = n (1+x)^(n-1) = n når x=0 indsættes.
QED.
--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://gauss.ffii.org softwarepatent database