---

To hurtige spørgsmål:

Hvordan er den inverse (omvendte) funktion defineret i gymnasiet? Er det
en generel definition over hele linien, eller kan læreren selv bestemme?

Mvh,
Henrik Schmidt

---

Henrik Schmidt skrev:
> To hurtige spørgsmål:
>
> Hvordan er den inverse (omvendte) funktion defineret i gymnasiet?

Ligesom alle andre steder.

> Er det en generel definition over hele linien, eller kan
> læreren selv bestemme?

Normalt gennemgår man sinus og cosinus og cosinus i retvinklede
trekanter først. Da de spidse vinkler i en retvinklet trekant
er mellem 0 grader og 90 grader er man i den heldige situation,
at både sinus og cosinus er bijektive. Derfor vil man som
oftest bare regne løs og benytte de omvendte funktioner til
sinus og cosinus på lommeregneren uden at spekulere alt for
meget over det.

Senere når man kommer til generelle funktioner, vil man
være mere grundig. Et populært eksempel er de trigonometriske
grundligninger, som fint illustrerer at f^-1({a}) godt kan
bestå af mere end et tal.

Hvor grundig man er kommer dog an på, hvilket niveau man
er på.


Men æh - hvorfor spørger du på den måde? Er du stødt på
en underlig definition?

--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard wrote:
> Henrik Schmidt skrev:
>> To hurtige spørgsmål:
>>
>> Hvordan er den inverse (omvendte) funktion defineret i gymnasiet?
>
> Ligesom alle andre steder.
>
>> Er det en generel definition over hele linien, eller kan
> > læreren selv bestemme?
>
> Normalt gennemgår man sinus og cosinus og cosinus i retvinklede
> trekanter først. Da de spidse vinkler i en retvinklet trekant
> er mellem 0 grader og 90 grader er man i den heldige situation,
> at både sinus og cosinus er bijektive. Derfor vil man som
> oftest bare regne løs og benytte de omvendte funktioner til
> sinus og cosinus på lommeregneren uden at spekulere alt for
> meget over det.
>
> Senere når man kommer til generelle funktioner, vil man
> være mere grundig. Et populært eksempel er de trigonometriske
> grundligninger, som fint illustrerer at f^-1({a}) godt kan
> bestå af mere end et tal.
>
> Hvor grundig man er kommer dog an på, hvilket niveau man
> er på.
>
>
> Men æh - hvorfor spørger du på den måde? Er du stødt på
> en underlig definition?
>

Jeg røg ind i en længere diskussion om, hvorvidt en funktion behøver at
være bijektiv for at have en invers funktion på baggrund af en opgave
fra gymnasiet. Fra Ebbe Thue Poulsen: "Funktioner af en og flere variable":

Definition 5.19

Lad funktionen f: A -> R, hvor A er en delmængde af R være injektiv, lad
y e V_f, og betragt ligningen

f(x) = y (5.16)

Den entydigt bestemte løsning x e A til (5.16) skrives x = f^-1(y), og
funktionen f^-1: V_f -> D_f kaldes den omvendte funktion eller den
inverse funktion til f.

På baggrund af ovenstående ville jeg så mene, at en funktion f: [2,4] ->
R, f(x) = 2x har en invers funktion, selvom den ikke er surjektiv.
Hvis kravet er, at f skal være bijektiv, har f ikke en invers funktion.

Mvh,
Henrik Schmidt

---

Henrik Schmidt skrev:

> Jeg røg ind i en længere diskussion om, hvorvidt en funktion behøver at
> være bijektiv for at have en invers funktion på baggrund af en opgave
> fra gymnasiet.

Nåh - på den led.

> Fra Ebbe Thue Poulsen: "Funktioner af en og flere variable":
>
> Definition 5.19
>
> Lad funktionen f: A -> R, hvor A er en delmængde af R være injektiv, lad
> y e V_f, og betragt ligningen
>
> f(x) = y (5.16)
>
> Den entydigt bestemte løsning x e A til (5.16) skrives x = f^-1(y), og
> funktionen f^-1: V_f -> D_f kaldes den omvendte funktion eller den
> inverse funktion til f.
>
> På baggrund af ovenstående ville jeg så mene, at en funktion f: [2,4] ->
> R, f(x) = 2x har en invers funktion, selvom den ikke er surjektiv.

Det har du ret i.

> Hvis kravet er, at f skal være bijektiv, har f ikke en invers funktion.

Oftest ser man en definition, hvor f skal være bijektiv. Men hvis
funktionen f er injektiv, så er funktionen f restringeret til f^-1(f(A))
jo af gode grunde surjektiv på f(A) og dermed også bijektiv. Funktionen
f|f^-1(f(A)) -> f(A) har derfor en invers. Men det er jo lidt ubekvemt
at skrive

( f|f^-1(f(A)) -> f(A) )^-1

så man plejer lidt sjusket at skrive f^-1 i stedet for.

Med Ebbes definition er man så "heldig" at det korte f^-1 ikke
længere er sjusk. Jeg skriver "heldig", for det er selvfølgelig
derfor, Ebbe har har drejet det lidt.

--
Jens Axel Søgaard