"Malte Runz" <malte_runz@stofanet.dk> writes:
> Ved slag med seks terninger (en ad gangen eller ét slag med 6 distinkte
> terninger) vil der være 6^6 mulige udfald.
> Hvordan beregner jeg antallet af udfald, der giver hver af de følgende
> kombinationer:
>
> 0 ens
> 2 ens (og kun 2 ens)
> 3 ens (og kun 3 ens) etc...
> 4 ens
> 5 ens
> 6 ens
> 2 x 2 ens
> 3 x 2 ens
> 2 x 3 ens
> 3 ens + 2 ens
> 4 ens + 2 ens
>
> Udfaldene 6-6-6-1-2-3, 6-6-6-3-2-1 og 6-6-1-6-2-3 skal betragtes som tre
> forskellige udfald.
> 0 ens (eller 6 forskellige) er vist ligetil. 6! = 720. 6 ens er der heller
> ikke de store problemer med. Men hvad med de andre?
To ens består af fem forskellige terninger plus en, der er magen til
en af de andre. Fem forskellige er 5!*6 (idet der er seks muligheder
for det manglende tal). Den sidste kan anbringes et vilkårligt sted
efter den første af de andre, men den skal være magen til en af de
foregående. Så ved placering i efter den første, er der 1 mulighed,
ved placering efter den anden er der to osv. Så samlet set er der
5!*6*(1+2+3+4+5) muligheder for at få præcis to ens.
De andre kan beregnes på samme måde. Tre ens er f.eks. fire
forskellige og to, der er magen til en af disse. De fire forskellige
er 4!*(6*5), da der er 6*5 muligheder for de to manglende. De to
resterende skal placeres, så den første er magen til en af de
foregående, og den anden placeres et vilkårligt sted efter denne. Så
efter den første er der kun en mulig terning at placere, men den
efterfølgende kan være fire steder, så 1*4. Hvis den første af de to
resterende terninger placeres efter den anden, er der to
valgmuligheder, men kun tre pladser for den sidste, osv. Altså
4!*(6*5)*(1*4+2*3+3*2+4*1) ialt.
Moralen er, at man skal huske at tælle alle muligheder med uden at
tælle nogen med to gange. Der er ikke rigtig nogen genveje (anden end
at lave et program, der løber alle 6^6 kombinationer igennem og
tæller, hvor mange der opfylder betingelserne), så det er bare om at
holde tungen lige i munden.
Her er chancerne i procent (så kan du selv omregne til antal
kombinationer):
0 0 0 0 0 6 : 0.0128600823045
0 0 0 0 1 5 : 0.385802469136
0 0 0 0 2 4 : 0.964506172839
0 0 0 0 3 3 : 0.643004115226
0 0 0 1 1 4 : 3.85802469136
0 0 0 1 2 3 : 15.4320987654
0 0 0 2 2 2 : 3.85802469136
0 0 1 1 1 3 : 15.4320987654
0 0 1 1 2 2 : 34.7222222222
0 1 1 1 1 2 : 23.1481481481
1 1 1 1 1 1 : 1.54320987654
Tallene til venstre skal læses som størrelsen af de sæt, der
forekommer. Så 6 betyder, at der er 6 ens, 1 1 1 1 1 1 betyder, at
der er seks forskellige og 0 0 0 2 2 2 betyder tre par.
Tallene er beregnet med Roll (
http://www.diku.dk/~torbenm/Dice.zip),
som er et program til at beregne sandsynligheder for terningekast.
Ovenstående er fundet ved at specificere:
let x=6#d6 in (foreach n in 1..6 do count =n x)
Dvs., slå 6 d6'ere og for hver mulig værdi mellem 1 og 6 tæl, hvor
mange der er med den værdi. Da Roll bruger uordnede samlinger af tal,
er 0 6 0 0 0 0 osv. det samme som 0 0 0 0 0 6, så alle slags seks ens
kombineres (og tilsvarende for tre par osv.).
Torben