---

Hvordan udregner TI83 (el. TI85/TI86/TI89 mv.) bestemte integraler ?
Selv en funktion som e^(-x^2) kan den klare så den finder øjensynligt ikke
en stamfunktion. Og der er vel heller ikke tale om at integrering af
potensrækker der der skal flere tusinde led til før det bliver præcist nok
og afrundingsfejlene vil være for store når man summerer integralerne af de
enkelte led....

---

Jan Pedersen wrote:
> Hvordan udregner TI83 (el. TI85/TI86/TI89 mv.) bestemte integraler ?

Et gæt...

Den udregner en hel masse funktionsværdier (som når den tegner en graf).
Alle disse punkter kan så bruges til at udregne et tilnærmet areal af
det under grafen.

---

"Jens Peter Rosenkvist" <jensercube@ofir.dk> skrev i en meddelelse
news:433c8afa$0$49009$14726298@news.sunsite.dk...
> Jan Pedersen wrote:
> > Hvordan udregner TI83 (el. TI85/TI86/TI89 mv.) bestemte integraler ?
>
> Et gæt...
>
> Den udregner en hel masse funktionsværdier (som når den tegner en graf).
> Alle disse punkter kan så bruges til at udregne et tilnærmet areal af
> det under grafen.
Dvs. den beregner venstre/højre/midt/trapez sum (numerisk integration) ?
lyder omstændigt da der så skal rigtig mange intervaller til før det
bestemte integrale bliver præcist nok ?

---

Jan Pedersen wrote:
> "Jens Peter Rosenkvist" <jensercube@ofir.dk> skrev i en meddelelse
> news:433c8afa$0$49009$14726298@news.sunsite.dk...
>
>>Jan Pedersen wrote:
>>
>>>Hvordan udregner TI83 (el. TI85/TI86/TI89 mv.) bestemte integraler ?
>>
>>Et gæt...
>>
>>Den udregner en hel masse funktionsværdier (som når den tegner en graf).
>> Alle disse punkter kan så bruges til at udregne et tilnærmet areal af
>>det under grafen.
>
> Dvs. den beregner venstre/højre/midt/trapez sum (numerisk integration) ?
> lyder omstændigt da der så skal rigtig mange intervaller til før det
> bestemte integrale bliver præcist nok ?

Det tror jeg ikke. Jeg har omkring 1-2 år siden hørt at den integrerer
ved at slå op i en tabel og ligesom vi andre forholdsvist let kan
indsætte integrations-grænserne, såvel kan ti-89 gøre det endnu lettere
på denne måde.


Med venlig hilsen / Best regards
Martin Jørgensen

--
---------------------------------------------------------------------------
Home of Martin Jørgensen - http://www.martinjoergensen.dk

---

Jan Pedersen wrote:
>>>Hvordan udregner TI83 (el. TI85/TI86/TI89 mv.) bestemte integraler ?
>>
>>Et gæt...
>>
>>Den udregner en hel masse funktionsværdier (som når den tegner en graf).
>> Alle disse punkter kan så bruges til at udregne et tilnærmet areal af
>>det under grafen.
>
> Dvs. den beregner venstre/højre/midt/trapez sum (numerisk integration) ?

Det var det jeg mente med mit indlæg.

> lyder omstændigt da der så skal rigtig mange intervaller til før det
> bestemte integrale bliver præcist nok ?

Jeg ved ikke hvor mange der skal til for, at det bliver præcist nok og
jeg ved heller ikke hvor mange en TI udregner.

Jeg har dog prøvet at foretage nogle udregninger på den. Hvis den skulle
udregne værdierer med et vist interval, burde tiden det tog for at
foretage udregningen stige sammen med intervallet der integreres over.

Jeg forsøgte så at integere på TI'en over et meget lille interval og
over meget store intervaller. Jeg kunne ikke se nogen forskel i
udregningstiden.
Så jeg vil ikke mene, at det er såden den gør. De andre bud der er
kommet i tråden er nok mere plausible.

---

Jens Peter Rosenkvist skrev:

> Jeg har dog prøvet at foretage nogle udregninger på den. Hvis den skulle
> udregne værdierer med et vist interval, burde tiden det tog for at
> foretage udregningen stige sammen med intervallet der integreres over.

Nej.
Hvis den f.eks. inddeler intervallet i 1000 delintervaller og tager
funktionsværdien i hver af dem, så er tidsforbruget uafhængigt af
intervallets størrelse.

-Rune

---

Rune Zedeler wrote:
> Jens Peter Rosenkvist skrev:
>
>> Jeg har dog prøvet at foretage nogle udregninger på den. Hvis den
>> skulle udregne værdierer med et vist interval, burde tiden det tog for
>> at foretage udregningen stige sammen med intervallet der integreres over.
>
>
> Nej.
> Hvis den f.eks. inddeler intervallet i 1000 delintervaller og tager
> funktionsværdien i hver af dem, så er tidsforbruget uafhængigt af
> intervallets størrelse.

Men det er præcisionen derimod og iøvrigt kan det ikke betale sig, når
den vha. opslag i en tabel blot behøver at indsætte
integrations-grænserne og man vil da få en nøjagtigthed som er helt på
niveau med lommeregnerens interne nøjagtighed.

Det er ligesom med computer-programmer. Ingen grund til at gøre tingene
mere besværlige i virkeligheden, end de er...


Med venlig hilsen / Best regards
Martin Jørgensen

--
---------------------------------------------------------------------------
Home of Martin Jørgensen - http://www.martinjoergensen.dk

---

> Men det er præcisionen derimod og iøvrigt kan det ikke betale sig, når
> den vha. opslag i en tabel blot behøver at indsætte
> integrations-grænserne og man vil da få en nøjagtigthed som er helt på
> niveau med lommeregnerens interne nøjagtighed.
>
> Det er ligesom med computer-programmer. Ingen grund til at gøre tingene
> mere besværlige i virkeligheden, end de er...
>
>
> Med venlig hilsen / Best regards
> Martin Jørgensen
>

Jeg tror du har ret mht. TI89/TI92 og andre 68000 baserede lommeregnere fra
Texas. Men de små Z80 baserede lommeregnere tror jeg ikke anvender tabel
opslag af stamfunktioner, så kunne man jo ligeså godt implementere
muligheden for at beregne ubestemte integraler i dem (TI83,TI85,TI86).......
Mon ikke der anvendes romberg metoden ? den kræver ikke så mange
intervaller/segmenter for at opnå høj præcition.

---

Jan Pedersen wrote:
-snip-

> muligheden for at beregne ubestemte integraler i dem (TI83,TI85,TI86).......

Kan de ikke bestemme alle mulige slags integraler egentligt? Okay, det
er ikke noget jeg er meget inde i - nok mere elektronik-folk/decideret
matematik-folk der ved noget om...

> Mon ikke der anvendes romberg metoden ? den kræver ikke så mange
> intervaller/segmenter for at opnå høj præcition.

Den kender jeg vist ikke. Er den let forståelig?


Med venlig hilsen / Best regards
Martin Jørgensen

--
---------------------------------------------------------------------------
Home of Martin Jørgensen - http://www.martinjoergensen.dk

---

> Kan de ikke bestemme alle mulige slags integraler egentligt? Okay, det
> er ikke noget jeg er meget inde i - nok mere elektronik-folk/decideret
> matematik-folk der ved noget om...
>
> > Mon ikke der anvendes romberg metoden ? den kræver ikke så mange
> > intervaller/segmenter for at opnå høj præcition.
>
> Den kender jeg vist ikke. Er den let forståelig?

Næ TI83/TI85/TI86 (Z80 baserede lommeregnere) kan kun beregne bestemte
integraler, ikke ubestemte, som TI89 bl.a., delvist kan.

Om romberg metoden er let forståelig ? tja... døm selv:

http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/RombergMod.html
http://dmpeli.math.mcmaster.ca/Matlab/Math4Q3/NumMethods/Lecture3-5.html

Egentlig er de numeriske integrations metoder jo kun interessant når man
selv skal implementere dem , altså
udvikle software, som jeg pt. skal til et projekt. Men ok, der er sikkert
ingen derude der ved hvilke metoder Texas Instruments bruger, udover deres
ansatte.....er jo nok industrielle hemligheder......

---

Jan Pedersen wrote:

> Næ TI83/TI85/TI86 (Z80 baserede lommeregnere) kan kun beregne bestemte
> integraler, ikke ubestemte, som TI89 bl.a., delvist kan.
>
> Om romberg metoden er let forståelig ? tja... døm selv:
>
> http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/RombergMod.html
> http://dmpeli.math.mcmaster.ca/Matlab/Math4Q3/NumMethods/Lecture3-5.html
>
> Egentlig er de numeriske integrations metoder jo kun interessant når man
> selv skal implementere dem , altså
> udvikle software, som jeg pt. skal til et projekt. Men ok, der er sikkert
> ingen derude der ved hvilke metoder Texas Instruments bruger, udover deres
> ansatte.....er jo nok industrielle hemligheder......

Et andet godt bud er (varianter af) Gauss-Kronrod-integration. Denne
algoritme er især god, når man har brug for en given nøjagtighed,
men ikke ved på forhånd, hvor mange punkter, man er nødt til at
evaluere funktionen i. Altså præcis den situation, man har med
en lommeregner.

<http://mathworld.wolfram.com/Gauss-KronrodQuadrature.html>

--
Jens Axel Søgaard

---

Af Texas Instruments lommeregnere kan kun TI89, TI92 og TI Voyage 200
finde stamfunktioner. Og de kan allesammen kun finde stamfunktioner som
kan udtrykkes i elementære funktioner. Integralet e^(-x^2) har en
stamfunktion som indeholder error-funktionen og denne er ikke en
elementær funktion. Så i stedet bruger lommeregneren numeriske
metoder til at integrere. I øvrigt findes der et integrationsprogram
til TI89:
http://www.ticalc.org/archives/files/fileinfo/303/30384.html
Programmet kan finde en hel del stamfunktioner som indeholder
ikke-elementære funktioner.