---

Jeg faldt over denne interessante opgave:

"Blandt alle de cirkler, der er tangent til x^2+y^2-5=0 i punktet A
(2,1), find de cirkler, der også er tangent til 4x^2+4y^2-5=0".

Jeg prøvede at finde frem til den mindste af de to tangent-cirkler, som
efter mine beregninger skulle være:

(x-3/2)^2 + (y-3/4)^2 = 5/16

Desværre var der ingen resultat, så jeg kunne godt tænke mig at høre, om
jeg har gjort det rigtigt?!
Jeg vil foreløbig ikke fortælle noget om min fremgangsmåde, for jeg har
faktisk fundet ud af, at man kan bruge i hvert fald 2 helt forskellige
metoder, så mon ikke der er flere?

Mvh
BD

---

banana drama <bananadrama@NOSPAMmad.scientist.com> writes:

> Jeg faldt over denne interessante opgave:
>
> "Blandt alle de cirkler, der er tangent til x^2+y^2-5=0 i punktet A
> (2,1), find de cirkler, der også er tangent til 4x^2+4y^2-5=0".
>
> Jeg prøvede at finde frem til den mindste af de to tangent-cirkler, som
> efter mine beregninger skulle være:
>
> (x-3/2)^2 + (y-3/4)^2 = 5/16
>
> Desværre var der ingen resultat, så jeg kunne godt tænke mig at høre, om
> jeg har gjort det rigtigt?!
> Jeg vil foreløbig ikke fortælle noget om min fremgangsmåde, for jeg har
> faktisk fundet ud af, at man kan bruge i hvert fald 2 helt forskellige
> metoder, så mon ikke der er flere?

Det er jo lidt svært at sige, om din metode er rigtig, hvis du ikke
vil sige, hvad den er. Hvis jeg fortæller dig en metode, og den er
forskellig fra din, betyder det jo ikke at din metode er forkert. Det
er kun, hvis den metode, jeg fortæller dig er eksakt magen til din, at
du kan konkludere noget.

Torben

---

Torben Ægidius Mogensen wrote:

> Det er jo lidt svært at sige, om din metode er rigtig, hvis du ikke
> vil sige, hvad den er. Hvis jeg fortæller dig en metode, og den er
> forskellig fra din, betyder det jo ikke at din metode er forkert. Det
> er kun, hvis den metode, jeg fortæller dig er eksakt magen til din, at
> du kan konkludere noget.
>
> Torben

Hvis dit og andres resultater er helt identiske med mit, så er det i en opgave
af denne art lidet sandsynligt, at vi allesammen har begået en fejl, ikke
mindst hvis vi bruger forskellige metoder. På den anden side, hvis jeg
fortæller min metode, så vil de fleste koncentrere sig om at tjekke min
fremgangsmåde i stedet for at bruge den metode, som de nok ville bruge, hvis
de selv skulle løse opgaven. Og jeg var først og fremmest interesseret i at
se, om de fleste umiddelbart ville gribe problemet an på samme måde, som.jeg
gjorde.

Jeg startede med at beregne vinklen mellem x-aksen og linien fra origo til A.
Den sidstnævnte linie går selvsagt igennem tangentpunktet mellem cirklen
4x^2+4y^2-5=0 og den cirkel, vi skal finde. Denne vinkel er = Arctan 1/2 (ca.
= 26,5650°).

Vi betragter nu cirklen 4x^2+4y^2-5=0. Da dens radius har længde = Sqrt(5/4),
er koordinaterne til tangentpunktet:

x = cos 26,5650 * Sqrt(5/4) = 1.
y = 0,5.

Da vi nu har koordinaterne til diameterens yderpunkter, kan vi beregne
koordinaterne til centrum:

x = (2-1)/2 + 1 = 3/2
y = (1-0,5)/2 + 0,5 = 3/4

Radius i anden er (Pytagoras): r^2 = (3/2 - 1)^2 + (3/4 - 1/2)^2 = 5/16

Heraf fås det resultat, jeg opgav i starten:

(x-3/2)^2 + (y-3/4)^2 = 5/16

====================

Den anden metode går ud på, at man først skriver den generelle ligning for
mængden af tangentcirklerne i punktet A:

(2-Xc)^2 + (1-Yc) = r^2 (1)

hvor Xc og Yc er koordinaterne til centrum.

Diameterlængden på den ubekendte cirkel kan beregnes ved at subtrahere
(4x^2+4y^2-5=0)'s radiuslængde fra (x^2+y^2-5=0)'s radiuslængde: sqrt(5) -
sqrt(5/4). Radiuslængden er altså = 1/2 * (sqrt(5) - sqrt(5/4)) og
radiuslængden i anden bliver = (1/2 * (sqrt(5) - sqrt(5/4))^2 = 1/4 * (5 + 5/4
- 2 * 5/2) = 5/16.

Ligningen (1) bliver derfor:

(2-Xc)^2 + (1-Yc) = 5/16 (værdien 5/16 i 1. metode ser altså ud til at være
korrekt)

Denne ligning betegner mængden af tangentcirklerne til x^2+y^2-5=0 i punktet A
med samme radius som den ubekendte cirkel.

Hvis vi nu løser denne ligning sammen med ligningen for cirklen 4x^2+4y^2-5=0,
får vi en andengradsligning. Hvis vi sætter diskriminanten = 0, så får vi det
tilfælde, hvor der netop kun er ét skæringspunkt mellem den ubekendte cirkel
og 4x^2+4y^2-5=0, d.v.s. hvor cirklerne er tangent til hinanden. Herfra skulle
man kunne beregne Xc og Yc.

Denne anden metode er måske mere elegant, men fører til lange udtryk med den
konsekvens, at man sagtens kan regne i 2 timer og alligevel få et forkert
resultat. Jeg kunne i hvert fald ikke få samme resultat, som jeg fik med 1.
metode. Derfor kunne jeg høre, om 1. resultat var rigtigt, og eventuelt om der
er noget galt i idéen bag 2. metode.

Mvh
BD

---

banana drama wrote:

> Denne ligning betegner mængden af tangentcirklerne til x^2+y^2-5=0 i punktet A
> med samme radius som den ubekendte cirkel.

Nu, hvor jeg tænker nærmere over det, så betegner denne ligning i virkeligheden
mængden af alle de cirkler, der går igennem A, men som ikke nødvendigvis er
tangent til x^2+y^2-5=0 (d.v.s. at der godt kan være et fællespunkt mere). Med det
spiller sådan set ingen rolle i forhold til metoden.

---

banana drama <bananadrama@NOSPAMmad.scientist.com> writes:

> Hvis dit og andres resultater er helt identiske med mit, så er det i
> en opgave af denne art lidet sandsynligt, at vi allesammen har begået
> en fejl, ikke mindst hvis vi bruger forskellige metoder. På den anden
> side, hvis jeg fortæller min metode, så vil de fleste koncentrere sig
> om at tjekke min fremgangsmåde i stedet for at bruge den metode, som
> de nok ville bruge, hvis de selv skulle løse opgaven. Og jeg var først
> og fremmest interesseret i at se, om de fleste umiddelbart ville gribe
> problemet an på samme måde, som.jeg gjorde.

Men hvordan kunne vi være sikre på at du havde en metode, og ikke bare
håbede på at få serveret løsningen til dine lektier?

> (x-3/2)^2 + (y-3/4)^2 = 5/16

Det er fuldstændig korrekt.

> Den anden metode går ud på, at man først skriver den generelle ligning for
> mængden af tangentcirklerne i punktet A:
>
> (2-Xc)^2 + (1-Yc) = r^2 (1)

Der er tre frie variable i den ligning, men mængden af tangentcirkler er
1-dimensionel (over R). Med andre ord beskriver den ligning en masse
cirkler der ikke er tangenter i A (endsige tangenter overhovedet).

> (2-Xc)^2 + (1-Yc) = 5/16 (værdien 5/16 i 1. metode ser altså ud til at være
> korrekt)
>
> Denne ligning betegner mængden af tangentcirklerne til x^2+y^2-5=0 i punktet A
> med samme radius som den ubekendte cirkel.

Den ligning beskriver alle cirkler med radius sqrt(5/16).

> Hvis vi nu løser denne ligning sammen med ligningen for cirklen 4x^2+4y^2-5=0,
> får vi en andengradsligning. Hvis vi sætter diskriminanten = 0, så får vi det
> tilfælde, hvor der netop kun er ét skæringspunkt mellem den ubekendte cirkel
> og 4x^2+4y^2-5=0, d.v.s. hvor cirklerne er tangent til hinanden. Herfra skulle
> man kunne beregne Xc og Yc.

Du har to ubekendte som det bliver ikke nogen helt almindelig
andengradsligning.

> Denne anden metode er måske mere elegant,

Nej. Selv hvis man får beskrevet de bindinger der er mellem de variable,
som du har glemt, havner man bare (som du er klar over) i nogle tunge
udregninger der ikke er spor elegante.

> men fører til lange udtryk med den konsekvens, at man sagtens kan
> regne i 2 timer

Det er så til dels fordi du ikke får beskrevet de bindinger der er,
tidligt nok.

> og alligevel få et forkert resultat. Jeg kunne i hvert
> fald ikke få samme resultat, som jeg fik med 1. metode.

Det skal jeg vist afholde mig fra at kommentere.

> Derfor kunne jeg høre, om 1. resultat var rigtigt,

Som sagt: Det er det.

> og eventuelt om der er noget galt i idéen bag 2. metode.

Man kan godt nå frem til det rette resultat men det er spild af tid. Og
jeg vil mene at der er noget galt med ideen om at det skulle være mere
elegant at begynde at kigge på mængder af cirkler og foretage lange og
tunge udregninger.

Hvis vi skal tale om elegante løsninger, så kan jeg afsløre at jeg kunne
løse opgaven på ca. et halvt minut ved ren hovedregning. Ingen vinkler
eller trigonometriske funktioner, kun evnen til at danne sig et billede
af cirklerne, og den viden at centrum i en cirkel ligger midt på en
diameter.

..Henrik

--
"Gud har skabt de hele tal, alt andet er menneskeværk" - Kronecker
"Gud har 'INTET' skabt. Alt andet er menneskeværk" - Flemming Topsøe

---

"banana drama" <bananadrama@NOSPAMmad.scientist.com> skrev i en meddelelse news:1101911592.6F5KWHTEXFaU7PGNbEZ+4Q@teranews...
> Jeg faldt over denne interessante opgave:
>
> "Blandt alle de cirkler, der er tangent til x^2+y^2-5=0 i punktet A
> (2,1), find de cirkler, der også er tangent til 4x^2+4y^2-5=0".
>
> Jeg prøvede at finde frem til den mindste af de to tangent-cirkler, som
> efter mine beregninger skulle være:
>
> (x-3/2)^2 + (y-3/4)^2 = 5/16
>
Lidt hovedregning viser at radius er rigtig.
Du skal så finde en vektor af længden sqrt(5)+sqrt(5/16) i retning (2,1)
(2,1)*(1+1/4) = (5/2,5/4)

Mvh
Martin

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse news:41ade56e$0$66396$14726298@news.sunsite.dk...
> "banana drama" <bananadrama@NOSPAMmad.scientist.com> skrev i en meddelelse news:1101911592.6F5KWHTEXFaU7PGNbEZ+4Q@teranews...

rettelese
> Lidt hovedregning viser at radius er rigtig.
> Du skal så finde en vektor af længden sqrt(5)+sqrt(5/4) i retning (2,1)
> (2,1)*(1+1/2) = (3,3/2)

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse news:41ade56e$0$66396$14726298@news.sunsite.dk...

Selvom det lader til at du ikke fatter så meget, vil jeg
lige rette et fortegn så vi får:

> Lidt hovedregning viser at radius er rigtig.
> Du skal så finde en vektor af længden sqrt(5)-sqrt(5/16) i retning (2,1)
> (2,1)*(1-1/4) = (3/2,3/4)

Mvh
Martin