---

Hello.

Er der nogen her der kan bekræfte at en spejlning
i en vilkårlig stor Diedergruppe må have orden
2 ?

Martin.

---

Martin Andersen wrote:
>
> Er der nogen her der kan bekræfte at en spejlning
> i en vilkårlig stor Diedergruppe må have orden
> 2 ?

Ja, men det kommer jo an på hvad man mener med en spejling. Altså
beviset.

Du kan overveje at hvis man først spejler en regulær polygon i den
vandrette symmetriakse, og dernæst roterer den, så får man det samme
som hvis man alene havde spejlet den i en passende »skrå« linje.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

On Fri, 09 Apr 2004 16:53:16 +0200, Jeppe Stig Nielsen wrote:


>
> Ja, men det kommer jo an på hvad man mener med en spejling. Altså
> beviset.
En spejlning i Diedergruppen kan foregå ved at man først drejer
n-kanten med en vinkel 2Pi*j/n hvor j = 0,...,n-1 og så
ombytter hjørnerne over og under "den vandrette symmetriakse".
>
> Du kan overveje at hvis man først spejler en regulær polygon i den
> vandrette symmetriakse, og dernæst roterer den, så får man det samme
> som hvis man alene havde spejlet den i en passende »skrå« linje.
Er det det samme som at elementet har orden 2 ?

At et element g har orden 2 vil sige at g^2 = det neutrale element =
identiteten i Diedergruppen.

F.eks. når n=4, er der 4 spejlninger: S, DS, D^2S, D^3S hvor
D = drejning med vinkel 2Pi/n og S = spejlning.
Kigger på et element DS, (DS)^2 = DSDS = DD^-1SS = DD^-1id = id.
Så altså DS har orden 2. D^-1 er drejning i modsat retning.

Jeg har set at Jesper har svaret at det er rigtigt.
Er det noget man kan bevise med f.eks induktion, eller er
det oplagt ?

Martin.

---

Martin Andersen wrote:
>
> > Ja, men det kommer jo an på hvad man mener med en spejling. Altså
> > beviset.
> En spejlning i Diedergruppen kan foregå ved at man først drejer
> n-kanten med en vinkel 2Pi*j/n hvor j = 0,...,n-1 og så
> ombytter hjørnerne over og under "den vandrette symmetriakse".

Ja, fint nok.

> >
> > Du kan overveje at hvis man først spejler en regulær polygon i den
> > vandrette symmetriakse, og dernæst roterer den, så får man det samme
> > som hvis man alene havde spejlet den i en passende »skrå« linje.
> Er det det samme som at elementet har orden 2 ?

Det implicerer (men er ikke ensbetydende med) orden 2. Se nedenfor.

>
> At et element g har orden 2 vil sige at g^2 = det neutrale element =
> identiteten i Diedergruppen.

Det er »trivielt« at en spejling i en ret linje (skrå eller ej) har
orden 2: Foretager man den to gange, er man tilbage hvor man startede.

Hvis n er lige, er der i diedergruppen for n-kanten også en rotation
på en halv omgang. Denne er ikke en spejling; den vender ikke orien-
teringen af polygonen. Men den har orden 2.

Rotationen på en halv omgang kan dog opfattes som en spejling *i et
punkt* (nemlig polygonens centrum).

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

On Fri, 09 Apr 2004 19:47:22 +0200, Jeppe Stig Nielsen wrote:


>>
>> At et element g har orden 2 vil sige at g^2 = det neutrale element =
>> identiteten i Diedergruppen.
>
> Det er »trivielt« at en spejling i en ret linje (skrå eller ej) har
> orden 2: Foretager man den to gange, er man tilbage hvor man startede.
Så skal man lige indse at g^2 = id betyder at man laver en
spejlning frem og tilbage.
>
> Hvis n er lige, er der i diedergruppen for n-kanten også en rotation
> på en halv omgang. Denne er ikke en spejling; den vender ikke orien-
> teringen af polygonen. Men den har orden 2.

Ja, det har jeg også kommet frem til. Hvis man vil finde
elementer med højere ordener, skal man lede efter løsninger til f.eks.
4*h kongruent med 0 modulo 1000, hvor h er antal drejninger.
Så D^250 har orden 4 i diedergruppen med orden 2000.
>
> Rotationen på en halv omgang kan dog opfattes som en spejling *i et
> punkt* (nemlig polygonens centrum).

Jeg kom til at skrive Jesper i en tidligere post, jeg mente Jeppe,
beklager

Martin.

---

Martin Andersen <martin@al-data.dk> writes:

> Kigger på et element DS, (DS)^2 = DSDS = DD^-1SS = DD^-1id = id.
> Så altså DS har orden 2.

Du er næsten hjemme. Betragt spejlingen D^iS. Så er (D^iS)^2 =
(D^iS)(D^iS)= D^i(SD^i)S = D^iD^-iSS = D^0S^2 = id id = id.

--
J. Martin Petersen "Atter springer gnuerne ud i vandet..."

---

On Sat, 10 Apr 2004 15:08:00 +0200, J. Martin Petersen wrote:

> Martin Andersen <martin@al-data.dk> writes:
>
>> Kigger på et element DS, (DS)^2 = DSDS = DD^-1SS = DD^-1id = id.
>> Så altså DS har orden 2.
>
> Du er næsten hjemme. Betragt spejlingen D^iS. Så er (D^iS)^2 =
> (D^iS)(D^iS)= D^i(SD^i)S = D^iD^-iSS = D^0S^2 = id id = id.

Det ser da rigtigt ud, jeg skal lige acceptere SD^i = D^-iS

Martin.

---

On Fri, 09 Apr 2004 16:35:53 +0200, Martin Andersen wrote:

> Hello.
>
> Er der nogen her der kan bekræfte at en spejlning
> i en vilkårlig stor Diedergruppe må have orden
> 2 ?
>
> Martin.

Jeg kan uddybe lidt, i Diedergruppen er der
2n elementer, n drejninger og n spejlninger.
Min påstand er at de n spejlninger har orden
2. Det kan være det er forkert

Martin.

---

Martin Andersen wrote:
>
> Jeg kan uddybe lidt, i Diedergruppen er der
> 2n elementer, n drejninger og n spejlninger.
> Min påstand er at de n spejlninger har orden
> 2. Det kan være det er forkert

Nej, det er rigtigt.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)