---

Hallo.

Opgave: Hvor mange forskellige perlekæder kan man
lave med n perler hvis man kan bruge sorte og hvide
perler.

Det kan man regne ud ved at bruge Diedergruppen og
Polya's formel. Der er jo n drejninger og n
spejlninger i Diedergruppen af orden 2n.

Så et mønster i en perlekæde vil være det samme
som mønstret i en anden perlekæde, hvis man kan lave en drejning
eller spejlning af den første perlekæde så den bliver
identisk med den anden.

Men, betyder det noget for antal mønstre at man forlanger
at mønstret er det samme ved spejlning dvs ved rotation på
180 grader omkring spejlningsaksen ?

Altså, hvis man har en perlekæde med et bestemt mønster og
så laver en spejlning, så kan jeg altid komme tilbage til
det oprindelige mønster ved at lave nogle drejninger, så
der laves ikke nye mønstre ved spejlninger ?

Jeg er blevet forvirret fordi der er endnu en opgave som
lyder: Der er en karusel med n heste, hvor mange forskellige karuseller
kan man lave hvis hestene kan farvelægges med sort og hvid ?

Jeg mener at det er det samme antal, men det er nok forkert.

Er der nogen der kan give et eksempel på et mønster der
eksisterer i det ene tilfælde men ikke i det andet ?

Martin.

---

Martin Andersen wrote:
>
> Opgave: Hvor mange forskellige perlekæder kan man
> lave med n perler hvis man kan bruge sorte og hvide
> perler.
>
> Det kan man regne ud ved at bruge Diedergruppen og
> Polya's formel. Der er jo n drejninger og n
> spejlninger i Diedergruppen af orden 2n.

Det lyder rimeligt.

> Jeg er blevet forvirret fordi der er endnu en opgave som
> lyder: Der er en karusel med n heste, hvor mange forskellige karuseller
> kan man lave hvis hestene kan farvelægges med sort og hvid ?
>
> Jeg mener at det er det samme antal, men det er nok forkert.
>
> Er der nogen der kan give et eksempel på et mønster der
> eksisterer i det ene tilfælde men ikke i det andet ?

Man må, så vidt jeg forstår, ikke vende hestene på hovedet eller med
halen forrest. Så man kan vel ikke spejlvende en konfiguration af
karrusellen. Det er en forskel fra perlekæden.

Betragt disse karruseller (begge roterer mod uret):

S - H H - S
/ \ / \
S H H S
\ / \ /
H - S S - H

Disse karruseller er forskellige. Hvis man står ved siden af den ene
karrusel og kigger, ser man ...HHSHSSHHSHSSHHSHSSHHSHSS..., men hvis
man betragt der anden, ser man ...SSHSHHSSHSHHSSHSHHSSHSHH...

Men som perlekæder er de to herover ens, for man kan bare løfte den
ene perlekæde op fra bordet og vende skiven en halv omgang, så bliver
den magen til den anden.

Man kan sammenligne perlekæderne her med 1,2,4-trichlorbenzen. Det er
det samme stof som 1,3,4-trichlorbenzen.

Hvor har du opgaverne fra?

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

On Tue, 06 Apr 2004 15:53:54 +0200, Jeppe Stig Nielsen wrote:


>> Er der nogen der kan give et eksempel på et mønster der
>> eksisterer i det ene tilfælde men ikke i det andet ?
>
> Man må, så vidt jeg forstår, ikke vende hestene på hovedet eller med
> halen forrest. Så man kan vel ikke spejlvende en konfiguration af
> karrusellen. Det er en forskel fra perlekæden.
Spejlning er ikke tilladt, men hvis man f.eks. ikke må spejle
perlekædet, ændrer det på antal mønstre ? Jeg kan ikke se at det gør.
>
> Betragt disse karruseller (begge roterer mod uret):
>
> S - H H - S
> / \ / \
> S H H S
> \ / \ /
> H - S S - H
>
> Disse karruseller er forskellige. Hvis man står ved siden af den ene
> karrusel og kigger, ser man ...HHSHSSHHSHSSHHSHSSHHSHSS..., men hvis man
> betragt der anden, ser man ...SSHSHHSSHSHHSSHSHHSSHSHH...

Ja, de er forskellige, meget smukt.
Du har så lagt ind betingelsen
at karuselen skal rotere en bestemt vej. Hvis de roterede modsat
af hinanden, havde de været ens ?
>
> Men som perlekæder er de to herover ens, for man kan bare løfte den
> ene perlekæde op fra bordet og vende skiven en halv omgang, så bliver
> den magen til den anden.

Ja.
>
> Hvor har du opgaverne fra?
Matematik 2AL, Kbh Univer.

Den bliver nok svær at regne på, måske kan man bruge den cykliske gruppe
af orden n på karuselen, men ...

Tak for svaret !

Martin.

---

On Tue, 06 Apr 2004 17:04:05 +0200, Martin Andersen wrote:


> Du har så lagt ind betingelsen
> at karuselen skal rotere en bestemt vej. Hvis de roterede modsat
> af hinanden, havde de været ens ?

Ups, det kan de ikke være.

Martin.

---

Martin Andersen wrote:
>
> > Du har så lagt ind betingelsen
> > at karuselen skal rotere en bestemt vej. Hvis de roterede modsat
> > af hinanden, havde de været ens ?
>
> Ups, det kan de ikke være.

Allerede inden man begynder at påføre malingen på hestene på den givne
karrusel, er det bestemt hvilken orientering karusellen har. Man kan
ikke »vende« en karrusel på samme måde som man kan vende en perle-hals-
kæde (ved at tage den over hovedet, vende halskædens plan og stikke
hovedet ind igennem kæden fra den modsatte side).

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

On Tue, 06 Apr 2004 19:12:52 +0200, Jeppe Stig Nielsen wrote:


>
> Allerede inden man begynder at påføre malingen på hestene på den givne
> karrusel, er det bestemt hvilken orientering karusellen har. Man kan
> ikke »vende« en karrusel på samme måde som man kan vende en perle-hals-
> kæde (ved at tage den over hovedet, vende halskædens plan og stikke
> hovedet ind igennem kæden fra den modsatte side).

Ja, netop. Så bør det faktisk være lige til at regne på karusselen.
Spejlninger er ikke tilladt, dvs undergruppen til Diedergruppen, uden
spejlninger bør kunne bruges i Polya's formel. Lade os sige
der er 8 heste, med n forskellige farver, så får jeg denne formel
for antal forskellige mønstre:

# = 1/8(n^8 + 4n + 2n^2 + n^4)

ved 2 farver fås der 36 mønstre. Hvis spejlning er tilladt er
der 30 mønstre.

Har man en perlekæde med 6 perler og tillader drejninger + spejlninger,
får jeg 13 mønstre, fjernes spejlninger er der 14 forskellige. Det er
nok ikke helt nemt at få øje på det ekstra mønster.

Martin.

---

Martin Andersen wrote:
>
> Har man en perlekæde med 6 perler og tillader drejninger + spejlninger,
> får jeg 13 mønstre, fjernes spejlninger er der 14 forskellige. Det er
> nok ikke helt nemt at få øje på det ekstra mønster.

Jo, jeg víste det jo i mit første indlæg.
Se også hvad vores alle sammens Weisstein skriver:
http://mathworld.wolfram.com/Necklace.html


--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

On Wed, 07 Apr 2004 11:08:53 +0200, Jeppe Stig Nielsen wrote:


> Jo, jeg víste det jo i mit første indlæg.
>

Nåja.. Håber jeg forstår det efterhånden

Tak for hjælpen.

Martin.