---

Hørte engang man kunne bevise at 2+2=5 ?
Det må da være en "and" ? eller??

Fritz

---

> Hørte engang man kunne bevise at 2+2=5 ?

Ikke uden at komme i konflikt med mindst 1 af de grundlæggende aksiomer.

> Det må da være en "and" ? eller??

Jeg har også hørt at det er muligt at dele en enhedskugle op i flere
stykker, samle dem på en speciel måde og få flere enhedskugler ud af det,
vel at mærke massive kugler. Hvordan det lige hænger sammen kan jeg dog ikke
huske, men måske kan andre uddybe?

--
signing off.. Martin Sørensen

---

Martin Sørensen wrote:

> Jeg har også hørt at det er muligt at dele en enhedskugle op i flere
> stykker, samle dem på en speciel måde og få flere enhedskugler ud af det,
> vel at mærke massive kugler. Hvordan det lige hænger sammen kan jeg dog ikke
> huske, men måske kan andre uddybe?

Det er en konsekvens af udvalgsaksiomet (axiom of choice).

I al sin enkelhed lyder det:

Givet en samling af ikke-tomme mængder, kan man
vælge et element i hver af samlingens mængder.

Det lyder jo meget tilforladeligt, men en (ikke-indlysende) konsekvens
er Banach-Tarskis sætning om de massive enhedskugler. Sætningen
siger, at der findes en "opskæring" af en massiv enhedskugle, så
stykkerne kan sættes sammen igen til to kugler, hvor begge kugler
har samme rumfang som den originale. Da sætningen beror på et
eksistensbevis, så har man ikke et konkret eksempel.


Ovenstående er en kort sammenfatning af:

<http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice>

--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard wrote:
> Banach-Tarskis sætning om de massive enhedskugler. Sætningen
> siger, at der findes en "opskæring" af en massiv enhedskugle, så
> stykkerne kan sættes sammen igen til to kugler, hvor begge kugler
> har samme rumfang som den originale.

Det er ikke så svært. Det interessante i Banach-Tarskis sætning
er at man kan nøjes med endeligt mange stykker.

Anders.

---

Hvad med følgende pudsige ting:

x = 0.999......
10x = 9.999999.....
10x-1x = 9.99999.... - 0.9999....
9x = 9
x = 9/9 = 1

Ergo,

0.99999... = 1

Dvs. 0.9999... er ikke bare meget tæt på 1, det ER faktisk 1

Mvh
/Michael

---

> Dvs. 0.9999... er ikke bare meget tæt på 1, det ER faktisk 1
>


Problemet er de "..." du har sat.

Hvordan skal det tolkes?

Hvis du tolker den uendelige decimalbrøk således:

0,999.... = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... + 9/10^n + ...

så kan man hurtigt indse at følgen ovenfor konvergerer mod 1, det vil sige
at summen af serien er 1, derfor er 0.9999...=1

Spørgsmålet er forøvrigt blevet diskuteret ivrigt i sci.math

Se flg for reference:
http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.9999.html

/Søren

---

"Søren Kongstad" <kongstad@kongstad.net> writes:

> > Dvs. 0.9999... er ikke bare meget tæt på 1, det ER faktisk 1
>
> Problemet er de "..." du har sat.
>
> Hvordan skal det tolkes?
>
> Hvis du tolker den uendelige decimalbrøk således:
>
> 0,999.... = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... + 9/10^n + ...
>
> så kan man hurtigt indse at følgen ovenfor konvergerer mod 1, det vil sige
> at summen af serien er 1, derfor er 0.9999...=1

Jeg ynder at bruge en forklaring, der ikke bruger konvergens af rækker
(som er et ikke-trivielt begreb): Hvis to tal x og y er forskellige,
så er x-y forskellig fra nul. Hvad er 1.000... - 0.999...? For hvert
muligt svar større end 0 du giver, kan jeg vise, at det er for stort.

Dette bevis indebærer en art af reductio ad absurdium
(modstridsbevis), men det er som regel nemmere at kapere for
ikke-matematikere end konvergens.

   Torben

---

torbenm@diku.dk (Torben Ægidius Mogensen) wrote:

> Jeg ynder at bruge en forklaring, der ikke bruger konvergens af rækker
> (som er et ikke-trivielt begreb):
> Hvis to tal x og y er forskellige, så er x-y forskellig fra nul.

Hvis man ville være besværlig kunne man jo kræve bevis for det.

--
Niels, The Offspring Mailinglist http://home.worldonline.dk/teglsbo

---

Niels Teglsbo wrote:
> torbenm@diku.dk (Torben Ægidius Mogensen) wrote:
>
>> Jeg ynder at bruge en forklaring, der ikke bruger konvergens af
>> rækker (som er et ikke-trivielt begreb):
>> Hvis to tal x og y er forskellige, så er x-y forskellig fra nul.
>
> Hvis man ville være besværlig kunne man jo kræve bevis for det.

Det ville imidlertid være enten være trivielt eller umuligt [1] at give, da
det næsten ligger i definion af substraktion.

Definer (-y) som det tal, der opfylder y + (-y) = 0, og definer x-y som en
forkortet notation for x+(-y)

Så er x = y <=> x + (-y) = y + (y) = 0 <=> x-y=0

[1] Hvis det *er* definitionen. Det afhænger som altid lidt af, hvordan du
definerer dine aksiomer.

--
Kristian Damm Jensen damm (at) ofir (dot) dk
And I know it's true, because I've said so a number of times. -- Niels
Hausgaard

---

"Kristian Damm Jensen" <REdammMOVE@ofir.dk> wrote:

> Det ville imidlertid være enten være trivielt eller umuligt [1] at give, da
> det næsten ligger i definion af substraktion.
>
> Definer (-y) som det tal, der opfylder y + (-y) = 0, og definer x-y som en
> forkortet notation for x+(-y)
>
> Så er x = y <=> x + (-y) = y + (y) = 0 <=> x-y=0

Det med, at man kan lægge til på begge sider af et lighedstegn og få noget
ensbetydende, kan vel også bevises på en måde.

Det hænger nok sammen med, at f_a (x) -> x+a er bijektiv, men om man kan
bruge begrebet bijektiv hvis man ikke har fået bevist alt om "=" er ikke
sikkert.

> [1] Hvis det *er* definitionen. Det afhænger som altid lidt af, hvordan du
> definerer dine aksiomer.

Hvis det er definitionen er beviset vel bare at pege på definitionen.

--
Niels, The Offspring Mailinglist http://home.worldonline.dk/teglsbo

---

Niels Teglsbo wrote:
> "Kristian Damm Jensen" <REdammMOVE@ofir.dk> wrote:
>
>> Det ville imidlertid være enten være trivielt eller umuligt [1] at
>> give, da det næsten ligger i definion af substraktion.
>>
>> Definer (-y) som det tal, der opfylder y + (-y) = 0, og definer x-y
>> som en forkortet notation for x+(-y)
>>
>> Så er x = y <=> x + (-y) = y + (y) = 0 <=> x-y=0
>
> Det med, at man kan lægge til på begge sider af et lighedstegn og få
> noget ensbetydende, kan vel også bevises på en måde.

Jeg har svært ved at se, hvordan man skal definere et aksiomsystem, hvor
det *ikke* er et aksiom. Du kan naturligvis nøjes med at lade aksiomet være
x = y <=> x+1 = y+1, men du kan ikke gøre det mere simpelt end det.

> Det hænger nok sammen med, at f_a (x) -> x+a er bijektiv, men om man
> kan bruge begrebet bijektiv hvis man ikke har fået bevist alt om "="
> er ikke sikkert.

Som jeg sagde: Det afhænger af, hvordan da definerer dine aksiomer. Hvis
dine aksiomer i virkeligheden er mængdelæren, er der naturligvis et stykke
vej op til aritmetikken.

(Hvad mener du egentlig med "alt om '=' "? )

>> [1] Hvis det *er* definitionen. Det afhænger som altid lidt af,
>> hvordan du definerer dine aksiomer.
>
> Hvis det er definitionen er beviset vel bare at pege på definitionen.

Som jeg sagde: Trivielt. Men jeg kalder ikke en henvisning til aksiomet for
et bevis. Derfor distinktionen. YMMV.

--
Kristian Damm Jensen damm (at) ofir (dot) dk
In C we had to code our own bugs. In C++ we can inherit them.
C gives you enough rope to hang yourself. C++ also gives you the tree
object to tie it to.
With C you can shoot yourself in the leg. With C++ you can reuse the
bullet.

---

"Kristian Damm Jensen" <REdammMOVE@ofir.dk> wrote:

> > Det med, at man kan lægge til på begge sider af et lighedstegn og få
> > noget ensbetydende, kan vel også bevises på en måde.
> Jeg har svært ved at se, hvordan man skal definere et aksiomsystem, hvor
> det *ikke* er et aksiom. Du kan naturligvis nøjes med at lade aksiomet være
> x = y <=> x+1 = y+1, men du kan ikke gøre det mere simpelt end det.

Der findes systemer, hvor det kræver et bevis, at t=t.

Hvordan man skulle vise, at man kan lægge til på begge sider af et
lighedstegn vil i høj grad afhænge af præcist hvilket system man bruger.

> > Det hænger nok sammen med, at f_a (x) -> x+a er bijektiv, men om man
> > kan bruge begrebet bijektiv hvis man ikke har fået bevist alt om "="
> > er ikke sikkert.
> Som jeg sagde: Det afhænger af, hvordan da definerer dine aksiomer. Hvis
> dine aksiomer i virkeligheden er mængdelæren, er der naturligvis et stykke
> vej op til aritmetikken.

Logik og nogle mængdelæreaksiomer.

> (Hvad mener du egentlig med "alt om '=' "? )

Man skal nok bygge sig et rimelig fundament oven på aksiomerne før man er i
stand til at definere bijektiv.

--
Niels, The Offspring Mailinglist http://home.worldonline.dk/teglsbo

---

"gt" <virker_ikke@slut.prut> posting:

>Hørte engang man kunne bevise at 2+2=5 ?

Hvad med 2 = 1?

1. a = b
2. a^2 = ab
3. a^2 - b^2 = ab - b^2
4. (a + b)(a - b) = b(a - b)
5. a + b = b
6. 2b = b (a erstattet med b, da a=b)
7. 2 = 1

Holder dog ikke: Linje 5, division med 0.

--
What is life, except excuse for death,
or death, but an escape from life.
--Unknown

---

gt wrote:
> Hørte engang man kunne bevise at 2+2=5 ?
> Det må da være en "and" ? eller??
>
> Fritz
>
>

Tja, har vist hørt engang at 2+2=5 for ekstremt høje værdier af 2

Mvh
Jesper

---

Jesper Haukrogh wrote:
> gt wrote:
>> Hørte engang man kunne bevise at 2+2=5 ?

Forveksles der ikke med begrebet Synergieffekt ??

PM

---

> > Hørte engang man kunne bevise at 2+2=5 ?
> > Det må da være en "and" ? eller??
> >
> > Fritz

Så beviset engang i matematik på gym. Desværre viste det sig at man i
bevisførslen "kommer til" at dividere med 0 på et tidspunkt, så matematik &
regning kunne ikke nedlægges

Karsten

---

Jesper Haukrogh wrote:
> Tja, har vist hørt engang at 2+2=5 for ekstremt høje værdier af 2

Eller hvis man husker momsen.

Anders.

---

gt skrev i -dk.videnskab:

> Hørte engang man kunne bevise at 2+2=5 ?
> Det må da være en "and" ? eller??

Jeg overværede engang for længe siden en 2.G'er forklare en 1.G'er det (jeg gik
selv i 8. på det tidspunkt) men jeg kan huske at det var noget med at faster
værdier som PI blev brugt i en normalt anerkendt værdi, og sådan noget.


--
Med venlig hilsen
Ivar Madsen
Der kører MDK9.2 med KDE 3.2

---

gt <virker_ikke@slut.prut> wrote:

> 2+2=5

(2+2=5) = false.

Så ligningen er skam i sig selv ikke meningsløs, den har en værdi,
nemlig »falsk«.
--
Per Erik Rønne

---

gt wrote:
> Hørte engang man kunne bevise at 2+2=5 ?

<http://www.thinkgeek.com/tshirts/generic/60f5/zoom/>

Her er syn for sagn.

--
Jens Axel Søgaard