---

Sad for noget tid siden og pjattede rundt med at plotte tyngdefelter som
buler i en flade. Helt banalt spredte jeg et par tyngdekilder i et plan.
Derefter beregnede jeg styrken i et punkt som summen af F=M*G/r^2 for hver
tyngdekilde. Det giver det forventede resultat bortset fra nær centrum af
kilden. Der går styrken mod uendelig efterhånden som r^2=>0. Det kan jo ikke
være korrekt, men hvad _er_ i den sammenhæng egentlig korrekt?
Hvordan regner man på styrken indenfor en planets overflade? Der kan man jo
ikke længere bare se på planeten som en punktformig tyngdekilde.
Hvis kilden rent faktisk _var_ punktformig hvad sker så efterhånden som man
nærmer sig? Det kan vel ikke være rigtigt at styrken bliver ved med at stige
uendeligt.

Et andet morsomt forsøg kunne være at ikke beregne den samlede styrke, men
istedet den resulterende tyngdekraftvektor. Hvis man gør det, vil man så
ikke få fri-zoner i rummet, hvor man kan rejse i vilkårlig hastighed og
stoppe op som man lyster? Forudsat at tyngdekilderne er stationære.

---

Jakob Nielsen wrote:
> Derefter beregnede jeg styrken i et punkt som summen af F=M*G/r^2 for hver
> tyngdekilde.
Hvilket er korrekt for punktformede kilder.

> Det kan jo ikke være korrekt, men hvad _er_ i den sammenhæng
> egentlig korrekt?

For en kugle formet homogen masse skal du erstatte M med M(r) der
er massen inden for en kugleskal med radius r. Dvs. M(r)=tæthed*4pi r³/3

For r>Rjord er M(r)=M. Konsekvensen er så at F(r) er proportional
med r inden i jorden, og at den bliver er 0 i centrum.

Dette giver særdeles god mening da alle punkter i jorden jo trækker lige
meget i dig, og der derfor ikke kan være en netto tyngeeffekt der trækker
dig væk fra centrum pga. kuglesymmetrien.

Det sjove er at sidder du inde i jorden i en afstand r fra centrum,
så vil tyngdekraften fra alle punkter i kugleskallen uden om dig ikke
give nogen resulterende kraft, og du vil derfor kun føle tyngdekraften
fra punkter i kuglen, der er <r.

Jeg kan ikke lige komme på et godt argument hvorfor, som ikke kræver
en masse matematik.

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.softwarepatenter.dk

---

Scripsit Carsten Svaneborg <zqex@sted.i.tyskland.de>

> Det sjove er at sidder du inde i jorden i en afstand r fra centrum,
> så vil tyngdekraften fra alle punkter i kugleskallen uden om dig ikke
> give nogen resulterende kraft, og du vil derfor kun føle tyngdekraften
> fra punkter i kuglen, der er <r.

> Jeg kan ikke lige komme på et godt argument hvorfor, som ikke kræver
> en masse matematik.

Hm, man kan enten give sig til at integrere over kugleskallen (så når
man muligvis det rette resultat, men taber *forståelsen* på gulvet),
eller appellere til Gauss' lov. Er der ikke noget med at den kan
udledes nogenlunde hurtigt og simpelt for en konservativ kraft?

--
Henning Makholm "Ligger Öresund stadig i Middelfart?"

---

Scripsit Henning Makholm <henning@makholm.net>

> Gauss' lov. Er der ikke noget med at den kan udledes nogenlunde
> hurtigt og simpelt for en konservativ kraft?

Hov, det er vist noget vrøvl. Begrebet om "konservativ kraft" udtaler
sig jo slet ikke om kilder til kraften.

--
Henning Makholm "Kurt er den eneste jeg kender der er
*dum* nok til at gå i *ring* på et jernbanespor."

---

Scripsit Carsten Svaneborg <zqex@sted.i.tyskland.de>
> Jakob Nielsen wrote:

> > Derefter beregnede jeg styrken i et punkt som summen af F=M*G/r^2 for hver
> > tyngdekilde.

> Hvilket er korrekt for punktformede kilder.

Hvis altså man husker at tage summen som sum af vektorer (dvs ikke
bare M*G/r², men r*M*G/|r|³).

Eller også kan man plotte tyngde*potentialet* i hvert punkt i stedet
for blot størrelsen af tyngdeaccelerationen. Så kan man aflæse både
størrelse og retning som en gradient.

Potentialet er summen af -M*G/|r| for alle legemerne.

--
Henning Makholm "Dylle skød en stegepande."

---

"Carsten Svaneborg" <zqex@sted.i.tyskland.de> wrote

> Det sjove er at sidder du inde i jorden i en afstand r fra centrum,
> så vil tyngdekraften fra alle punkter i kugleskallen uden om dig ikke
> give nogen resulterende kraft, og du vil derfor kun føle tyngdekraften
> fra punkter i kuglen, der er <r.
>
> Jeg kan ikke lige komme på et godt argument hvorfor, som ikke kræver
> en masse matematik.

Er det ikke fordi at den del af kuglen som ligger uden for r både vil trække
op- og nedad (henholdsvis det der ligger væk fra centrum og det som ligger
på den anden side af centrum) sådan at det ophæver hinanden?
Så hvis jorden kun bestod af en skal, så ville man være vægtløs når man gik
rundt på indersiden af skallen, bortset fra Solens og Månens tiltrækning.

mvh
Peter

---

Scripsit "Peter Weis" <p.weis@email.dk.slet>
> "Carsten Svaneborg" <zqex@sted.i.tyskland.de> wrote

> > Det sjove er at sidder du inde i jorden i en afstand r fra centrum,
> > så vil tyngdekraften fra alle punkter i kugleskallen uden om dig ikke
> > give nogen resulterende kraft, og du vil derfor kun føle tyngdekraften
> > fra punkter i kuglen, der er <r.

> > Jeg kan ikke lige komme på et godt argument hvorfor, som ikke kræver
> > en masse matematik.

> Er det ikke fordi at den del af kuglen som ligger uden for r både vil trække
> op- og nedad (henholdsvis det der ligger væk fra centrum og det som ligger
> på den anden side af centrum) sådan at det ophæver hinanden?

Jo, det er netop hvad Carsten skriver. Det der ikke er helt simpelt at
overbevise sig om, er at de to *netop* opvejer hinanden. Det er fx en
udbredt fejltagelse at mene at kugleskallen lige i nærheden må trække
stærkere fordi den er tættere på.

--
Henning Makholm "Vi skal nok ikke begynde at undervise hinanden i
den store regnekunst her, men jeg vil foreslå, at vi fra
Kulturministeriets side sørger for at fremsende tallene og også
give en beskrivelse af, hvordan man læser tallene. Tak for i dag!"

---

"Henning Makholm" <henning@makholm.net> wrote:

> Jo, det er netop hvad Carsten skriver. Det der ikke er helt simpelt at
> overbevise sig om, er at de to *netop* opvejer hinanden. Det er fx en
> udbredt fejltagelse at mene at kugleskallen lige i nærheden må trække
> stærkere fordi den er tættere på.

Jeg syntes bare at min tilføjelse på er der trækkes både op og ned var så
pædagogisk.

mvh
Peter

---

> Jo, det er netop hvad Carsten skriver. Det der ikke er helt simpelt at
> overbevise sig om, er at de to *netop* opvejer hinanden. Det er fx en
> udbredt fejltagelse at mene at kugleskallen lige i nærheden må trække
> stærkere fordi den er tættere på.

Vil det ikke sige at hvis man skal angive kraften i et punkt som er indenfor
kugleskallen for en tyngdekilde, så regnes bidraget fra denne kilde for nul?

---

Scripsit "Jakob Nielsen" <jni@no.mail.dk>
[og han citerede mig, selvom han på ganske ulovlig vis udelod kildeangivelse]

> > Jo, det er netop hvad Carsten skriver. Det der ikke er helt simpelt at
> > overbevise sig om, er at de to *netop* opvejer hinanden.

> Vil det ikke sige at hvis man skal angive kraften i et punkt som er indenfor
> kugleskallen for en tyngdekilde, så regnes bidraget fra denne kilde for nul?

Måske. Det er mig ikke helt klart hvad du mener med det. Hvis du
arbejder med kugleskalsformede (og altså hule) kilder, kan du ignorere
kilden i hulrummet i midten.

--
Henning Makholm "I, madam, am the Archchancellor!
And I happen to run this University!"

---

> Måske. Det er mig ikke helt klart hvad du mener med det. Hvis du
> arbejder med kugleskalsformede (og altså hule) kilder, kan du ignorere
> kilden i hulrummet i midten.

Hvis man ønsker at tegne et højdekort over et 2d snit af rummet, og man
beregner tyngden i et punkt som summen af tyngdekraft fra alle kilder, så er
det et problem at beregne kraften i områder nær kildernes centre. Hvis vi
antager at kilderne er planeter med en vis radius, kan man så bare betragte
_denne_ tyngdekildes bidrag som nul for afstand til center <radius?
Problemet var jo F=MG/r^2 for r gående mod nul.

Lad mig iøvrigt lige gentage et delspørgsmål...
Et andet morsomt forsøg kunne være at ikke beregne den samlede styrke, men
istedet den resulterende tyngdekraftvektor. Hvis man gør det, vil man så
ikke få fri-zoner i rummet, hvor man kan rejse i vilkårlig hastighed og
stoppe op som man lyster? Forudsat at tyngdekilderne er stationære.

---

Jakob Nielsen wrote:
>
> Hvis man ønsker at tegne et højdekort over et 2d snit af rummet, og man
> beregner tyngden i et punkt som summen af tyngdekraft fra alle kilder, så er
> det et problem at beregne kraften i områder nær kildernes centre. Hvis vi
> antager at kilderne er planeter med en vis radius, kan man så bare betragte
> _denne_ tyngdekildes bidrag som nul for afstand til center <radius?
> Problemet var jo F=MG/r^2 for r gående mod nul.
>
Lad r betegne afstanden fra jordens centrum, m testmassen, M jordens
masse, og R jorden radius.
Uden for kuglen dvs r>R, er kraften:
F=(mMG)*r^-2
Hvis du derimod befinder dig *inden* i jorden aftager kraften *lineært*
med afstanden:
F=(mMG/R^3)*r.

Hvis du har svært ved at forstå argumentet med "tyngdekildes bidrag som
nul for afstand til center <radius", kan du tænke således:
Forestil dig, at du graver et (dybt) hul i jorden, vis afstand er r fra
centrum. Når du hopper ned i huller, føler du dig lettere. Du føler dig
netop så tung, som hvis du stod på en mindre klode (måne) med radius r.
Alt den masse af jorden som ligger uden for r (dvs en tyk kugleskal)
ville ikke påvirke dig.
Hvis du fortsatte med at grave helt ind til midten (r=0), ville du stå
på en klode med radius r=0, dvs du ville være helt vægtløs.

--
Martin Thøgersen

---

> Hvis du har svært ved at forstå argumentet med "tyngdekildes bidrag som
> nul for afstand til center <radius", kan du tænke således:
> Forestil dig, at du graver et (dybt) hul i jorden, vis afstand er r fra
> centrum. Når du hopper ned i huller, føler du dig lettere. Du føler dig
> netop så tung, som hvis du stod på en mindre klode (måne) med radius r.
> Alt den masse af jorden som ligger uden for r (dvs en tyk kugleskal)
> ville ikke påvirke dig.
> Hvis du fortsatte med at grave helt ind til midten (r=0), ville du stå
> på en klode med radius r=0, dvs du ville være helt vægtløs.

Det argument kan jeg godt følge.. og mens jeg skriver denne linie forstår
jeg helt
Skulle til at citere tidligere indlæg der siger at der ingen tyngde er i
kugleskallen, men det er jo anturligvis en kugleSKAL, og derfor er massen
inde i skallen nul.

I et dybt hul står man på en mindre kugle og er samtidigt inde i en
kugleskal. Skallens nettobidrag er nul, så kun kuglen står tilbage. Virker
logisk nok nu. I mit forrige indlæg overså jeg kuglen inden i skallen, da
jeg talte om nul-bidrag.
Takker for forklaringen.

---

Scripsit "Jakob Nielsen" <jni@no.mail.dk>

> Et andet morsomt forsøg kunne være at ikke beregne den samlede styrke, men
> istedet den resulterende tyngdekraftvektor. Hvis man gør det, vil man så
> ikke få fri-zoner i rummet, hvor man kan rejse i vilkårlig hastighed og
> stoppe op som man lyster? Forudsat at tyngdekilderne er stationære.

Det forstår jeg ikke hav du mener med? Hvad vil du gribe fat i for at
"stoppe op som man lyster?"


Ang "vilkårlig hastighed", husk så på at Newtons tyngdelov kun gælder
for hastigheder væsentlig under lysets.

--
Henning Makholm "Gå ud i solen eller regnen, smil, køb en ny trøje,
slå en sludder af med købmanden, puds dine støvler. Lev!"

---

> Det forstår jeg ikke hav du mener med? Hvad vil du gribe fat i for at
> "stoppe op som man lyster?"

Nej, det var måske lidt uklart. Jeg ville bremse med raketter eller andet
fremdriftsmiddel... kanonkugler, men efter man er bremset op, vil man vel
kunne bevæge sig i disse områder med høj eller lav hastighed, som man vil.
Man kan bremse helt op og stå stille. Bortset fra disse områder gælder det
jo at der oftest vil være en netto kraft som vil hive en ind mod
nærmeste/stærkeste tyngdekilde. Man skal jo også sørgre for at falde _rundt_
om Jorden for ikke at ramme planeten. - hvis man da ikke konstant vil bruge
kraft.

Så var det jeg overvejede om man kunne anvende sådanne steder i praksis. Der
er forskellen bare at de ændrer sig efterhånden som tyngdekilderne ændrer
position.

---

Jakob Nielsen wrote:
>
> Så var det jeg overvejede om man kunne anvende sådanne steder i praksis. Der
> er forskellen bare at de ændrer sig efterhånden som tyngdekilderne ændrer
> position.

Tænker du på punkter i et rum med en givet (stationær og diskret)
massefordeling?

Der er »steder« der hedder Lagrange-punkter og sådan noget. Det har
måske noget med det at gøre.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

> Tænker du på punkter i et rum med en givet (stationær og diskret)
> massefordeling?

Ja. Dog ikke bare punkter men områder hvor netto-kraften er meget lille.

> Der er »steder« der hedder Lagrange-punkter og sådan noget. Det har
> måske noget med det at gøre.

Det kan vist ikke være lagrange. Jeg mener at huske at for Jorden og Månen
er der et punkt mellem de to og et bagved Månen, samt to i Månens bane i en
vis vinkelafstand. Måske flere? Uanset, så vil netto-tyngdekraften modsat
Månen ikke være nul. Der drejer det sig vel mere om at kraften modsvarer
centerfugalkraften i et sådant forhold at man kan have samme rotationstid
som Månen selvom man er længere ude.

Måske jeg husker forkert, men det er noget i den stil.

---

>Det kan vist ikke være lagrange. Jeg mener at huske at for Jorden og Månen
>er der et punkt mellem de to og et bagved Månen, samt to i Månens bane i en
>vis vinkelafstand. Måske flere?

Der er 5 Lagrangepunkter i et 2 legemesystem, som (tilnærmet) Jorden
og Månen:

Mellem Jorden og Månen.
Foran Månen i dennes bane.
Bagved Månen i dennes bane.
På den side af Månen, der vender væk fra Jorden.
På den side af Jorden, der vender væk fra Månen.

Venlig hilsen

Niels Foldager

---

Scripsit "Jakob Nielsen" <jni@no.mail.dk>

> > Tænker du på punkter i et rum med en givet (stationær og diskret)
> > massefordeling?

> Ja. Dog ikke bare punkter men områder hvor netto-kraften er meget lille.

Men de vil ikke føles specielle når man befinder sig i dem. At de ser
specielle ud, er blot en artefakt af den newtonske beskrivelse af
gravitation. Set fra generel relativitetsteori adskiller disse områder
sig ikke kvalitativt fra alle mulige andre.

--
Henning Makholm "Ambiguous cases are defined as those for which the
compiler being used finds a legitimate interpretation
which is different from that which the user had in mind."

---

Henning Makholm :
> Men de vil ikke føles specielle når man befinder sig i dem. At de ser
> specielle ud, er blot en artefakt af den newtonske beskrivelse af
> gravitation. Set fra generel relativitetsteori adskiller disse områder
> sig ikke kvalitativt fra alle mulige andre.

Måske - men de 5 Lagrange-punkter adskiller sig alligevel fra andre
banepunkter, idet de ofte indeholder partikler og astereoider (Trojanere).
Man har også fundet, at jorden forfølges af en støv-ring.
De 3 Lagrange punkter er i øvrigt ustabile med en tidsparameter på ca. 23
dage for de 2, og 150 dage for det sidste punkt.
De 2 andre Lagrange-punkter er stabile (hvis masseforholdet mellem de 2
hovedobjekter er større end ca. 25) - og derfor kan der gennem tiden hobe
sig snavs op.

--
Hilsen
Regnar Simonsen

---

Scripsit "Regnar Simonsen" <relisiremovethis@tiscali.dk>
> Henning Makholm :

> > Men de vil ikke føles specielle når man befinder sig i dem. At de ser
> > specielle ud, er blot en artefakt af den newtonske beskrivelse af
> > gravitation. Set fra generel relativitetsteori adskiller disse områder
> > sig ikke kvalitativt fra alle mulige andre.

> Måske - men de 5 Lagrange-punkter adskiller sig alligevel fra andre
> banepunkter, idet de ofte indeholder partikler og astereoider (Trojanere).

Ja, men nu var det jo ikke Lagangepunkter vi talte om, men de punkter
hvor den resulterende tyngdeacceleration (målt i et ikke-roterende
henførelsessystem) er 0. Dem er der ikke meget spas ved.
>
--
Henning Makholm "It's just as meaningful to say that our
ancestors could easily have been very much like squirrels."

---

"Jakob Nielsen" <jni@no.mail.dk> writes:
> Så var det jeg overvejede om man kunne anvende sådanne steder i praksis. Der
> er forskellen bare at de ændrer sig efterhånden som tyngdekilderne ændrer
> position.

Så vidt jeg husker er der nogen der har regnet på at benytte Lagrange
punkterne til at sende rumraketter biligt ud i rummet. Jeg har glemt
detaljerne, men du kan finde den gamle thread ved at søge på
groups.google.dk efter dk.videnskab og "space freeways". Du kan også
bruge dette link:

http://groups.google.com/groups?threadm=ah9no8%24fl2%242%40sunsite.dk

--
Niels L Ellegaard http://dirac.ruc.dk/~gnalle/

---

Carsten Svaneborg wrote:
>
> Jeg kan ikke lige komme på et godt argument hvorfor, som ikke kræver
> en masse matematik.

Vi skal betragte en hul sfære med en uniform overflade-massetæthed.
Vi befinder os i et vilkårligt punkt i sfærens indre, og skal over-
bevise os om (ikke helt bevise ...) at den samlede massetiltræknings-
kraft fra sfæren er nul i netop dette punkt.

Man tegner nu en vilkårlig (men smal) dobbeltkegle med vores position
som vertex (dobbeltspidspunktet). Denne dobbeltkegle skærer den tunge
sfære og fastlægger to cirkelskiver på denne. (Vi kan lige så godt
opfatte disse skiver som plane.) Men massetiltrækningen fra den ene
skive ophæver præcis massetiltrækningen fra den anden; thi både
arealet og massetiltrækningen går som afstanden i anden potens. Vi
forventer derfor at der ikke er nogen netto-kraftkomposant langs den
retning (akse) som vores smalle kegle definerer. Og dermed er der
slet ingen kraft (keglens orientering var vilkårlig).

Nå ja, det er intet bevis, og det kan godt være det kun er for mig
det giver intuitiv mening.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>

> Man tegner nu en vilkårlig (men smal) dobbeltkegle med vores position
> som vertex (dobbeltspidspunktet). Denne dobbeltkegle skærer den tunge
> sfære og fastlægger to cirkelskiver på denne.

Ikke helt - hvis keglens akse er andet end diameteren gennem din
position, vil det være ellipser der bliver skåret ud af kuglefladen.

Men (og det så jeg ikke i første omgang) kegleaksen er jo en korde i
kugleskallen og må nødvendigvis skære skallen i samme vinkel i begge
ender. Derfor er de to ellipser ligedannede, og derfor går deres masse
stadig som afstanden i anden. Så dit argument virker alligevel.

> arealet og massetiltrækningen går som afstanden i anden potens. Vi
> forventer derfor at der ikke er nogen netto-kraftkomposant langs den
> retning (akse) som vores smalle kegle definerer.

Det er vist en lidt hurtig konklusion. I stedet må du argumentere for
at man kan fjerne de to ellipser fra kugleskallen uden at den samlede
tyngdekraft der påvirker dig, ændres. Fortsæt så med kegler i andre
retninger, således at de ikke har nogen rumvinkler til fælles med det
du allerede har fjernet. Hvis du fortsætter længe nok, kan du opnå
samlet at have fjernet en vilkårlig stor brøkdel af kugleskallens
samlede masse uden at ændre på den resulterende kraft. Og så er det en
smal sag at vurdere at den resulterende kraft må være 0.

--
Henning Makholm "No one seems to know what
distinguishes a bell from a whistle."

---

Henning Makholm wrote:
>
> Ikke helt - hvis keglens akse er andet end diameteren gennem din
> position, vil det være ellipser der bliver skåret ud af kuglefladen.

Nå ja, det er det vel.

Det får mig så til at tænke på noget andet: Hvis der er en nettokraft
på partiklen inde i kuglen, må dennes retning pr. symmetri være sammen-
faldende med diameteren. Det kan måske forsimple »overbeviset«.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>

> Det får mig så til at tænke på noget andet: Hvis der er en nettokraft
> på partiklen inde i kuglen, må dennes retning pr. symmetri være sammen-
> faldende med diameteren. Det kan måske forsimple »overbeviset«.

Ja, men jeg tror ikke det egentlig letter argumentationen. Hvis en
småkegle der ikke står nøjagtig vinkelret på diameteren, har en
resulterende kraft, vil denne kraft jo også have en komposant i
diameterens retning.

--
Henning Makholm "Monarki, er ikke noget materielt ... Borger!"