---

Hej

For nogle uger siden blev der spurgt til masse og energi i et tyngdefelt -
jeg skrev da, at jeg ville kommentere dette ved lejlighed; og det er nu !

Hvis man har to (eller flere) objekter, der befinder sig i deres indbyrdes
gravitationsfelt, kan den samlede gravitationsenergi skrives :

E = Ep + Ef

Der er altså 2 bidrag til energien :

Ep = den potentielle energi pga. vekselvirkning mellem stof og tyngdefelt.
Ef = feltenergien pga. massen

Hvis vi betragter et simpelt system, hvor en genstand på 80 kg er anbragt 50
km over jordens overflade, kan man udregne energien på flg. måde :

Ep = - G·m·M/R = - 4,98·10^9 Joule (energien er altså negativ)
Ef = ½·G·M²/R0 = 1,88·10^32 Joule

G = gravitationskonstanten = 6,67·10^-11 Nm²/kg²
m = genstandens masse = 80 kg
M = jordens masse = 5,98·10^24 kg
R = afstanden mellem centrene = 6,41·10^6 m
R0 = jordens radius = 6,36·10^6 m

Formelen for feltenergien (Ef) har jeg fundet ved at integrere
felt-energi-tætheden fra jordens overflade til uendelig (antaget : sfærisk
symmetri).
Selv om energien i feltet er enorm, er den dog stadig kun ca. en
milliardedel af jordens energi.
For sorte huller er situationen ganske anderledes, idet hele det sorte huls
hvilemasse stort set ligger i selve feltet. Dvs. hvis man vil vurdere
energitætheden i centrum af et sort hul, får man 0 !! (i modsætning til,
hvad man normalt læser; at energitætheden er uendelig) - singulariteten er
der dog stadig.
Feltenergien fra den lille genstand er negligibel (ca. 1 milliontedel af en
joule).
Energitætheden i feltet er også stor omkring jorden - f.eks. i den valgte
afstand fås : 5,62·10^10 joule/m³

Hvis genstanden nu løftes til en højde på 80 km over jordens overflade (R =
6,44·10^6 m) fås :

Ep = - 4,95·10^9 joule

Dette giver en ændring i potentiel energi på : dEp = 2,32·10^7 joule

Samme værdi fås hvis man bruger : dEp = m·g·dR hvor g =
middeltyngdeaccelerationen = 9,66 N/kg og dR = højdeændringen

For at løfte genstanden skal der altså udføres et arbejde på ca. 23
millioner joule.
Hvis dette arbejde f.eks. udføres af en fjeder, vil fjederen miste denne
energi. Fjederen bliver hermed lettere (ikke meget - ca. 0,00026 mg).
Systemet af jord og genstand øger sin energi og dermed masse med samme
værdi. Man kan dog ikke sige, at det er genstanden alene der har fået
forøget sin masse - det er hele systemet ! (man kan altså ikke pege på
bestemte dele, hvor energien er lagret - en af grundene hertil, er at man
alle steder lokalt kan transformere gravitationsfeltet væk, ved at vælge et
passende referencesystem).

Konklusion : Hvis en genstand løftes, tilføres hele systemet energi -
hvorved det masse også øges. I simple tilfælde kan denne størrelse udregnes.
En komplikation er, at energitilførslen også medfører en ændring af
rumtid-geometrien og dermed også den samlede feltenergi.

--
Hilsen
Regnar Simonsen

---

"Regnar Simonsen" <regnar.simo@image.dk> wrote in message
news:GQBHa.22696$Jp3.978543@news010.worldonline.dk...
> energitætheden i centrum af et sort hul, får man 0 !! (i modsætning til,
> hvad man normalt læser; at energitætheden er uendelig) - singulariteten er
> der dog stadig.

Hvad er en singularitet - sagt med dine egne ord?

Mvh
//zigge

---

zigge :
> Hvad er en singularitet - sagt med dine egne ord?

Det var vist det, man kalder et svært spørgsmål.

I selve singulariteten er der mange forhold, der "bryder" sammen.
F.eks. vil alt (dvs. lys, genstande osv) ende i midten af det sorte hul,
hvis det kommer inden for det kritiske område (Scwarzschild radius) - i
relativitetsteorien siger man, at deres verdenslinier ender i en
singularitet - eller at deres lyskegler peger direkte mod midten af det
sorte hul.

At der findes en singularitet ses ret nemt, hvis man løser ligningerne i
f.eks. det simple tilfælde, hvor man har et ikke roterende sort hul
(Schwarzschild sorte huller). F.eks. vil elementerne i løsningen (Rieman
tensoren), som beskriver tidevandskræfterne blive uendelig store.
Hawkings og Penrose har vist, at der altid vil være en singularitet i
rum-tiden - her bryder den "normale fysik" sammen.
Dette viser blot, at man mangler en ny beskrivelse af centret i et sort
hul - Hawkings mener selv, at løsningen er kvantegravitation (han opererer
også med noget, han kalder "imaginær tid", der kan borteliminere visse
singulariteter).

Grunden til, at jeg overvejer om centret i det sorte hul evt. er tomt, er at
man kan betragte forholdet mellem energien i feltet (Ef) med
hvilemasse-energien (Eo). Med de angivne formler fås :

Eo/Ef = 2·R·c² / (G·M)

Hvis man sætter dette forhold til 1 fås en formel for radius : R = ½·G·M/c²

Dette er meget tæt på formlen for Scwarzschilds radius : Rs = 2·G·M/c²

At der er en faktor 4 til forskel kan godt forklares, da min formel for den
samlede feltenergi er approximativ.

Følgende er altså meget påfaldende :
Når feltenergien er lig med hele genstandens hvilemasse, får man en
størrelse på genstanden, der svarer til radius af et sort hul !!
Dvs. hvilemassen er lejret i det omgivne felt (og dermed ikke i centrum).
Det skal dog siges, at det er min personlige vurdering, som jeg ikke har set
andre steder.

--
Hilsen
Regnar Simonsen

---

"Regnar Simonsen" <regnar.simo@image.dk> wrote in message
news:19KHa.23327$Jp3.1000516@news010.worldonline.dk...

<snip> hmm

> At der er en faktor 4 til forskel kan godt forklares, da min formel for
den
> samlede feltenergi er approximativ.

Har du tænkt på at Ef muligvis påvirker R så denne ikke er konstant?

Mvh
//zigge

---

zigge :
> Har du tænkt på at Ef muligvis påvirker R så denne ikke er konstant?

Mener du Scwarzschilds radius ?
eller
dette at radius kan defineres på flere måder. Man kan f.eks. definere den
som den radielle afstand (målt i et givet koordinatsystem); eller den kan
defineres ud fra omkredsen (= 2·pi·R), areal eller andet. I forskellige
metrikker (med forskellig krumning) vil man få forskellige R alt afhængig af
definition.

Scwarzschilds radius afhænger ikke af Ef, da den (Ef) er medregnet i det
sorte huls samlede energi.

--
Hilsen
Regnar Simonsen

---

Regnar Simonsen wrote:
> zigge :
>
>>Hvad er en singularitet - sagt med dine egne ord?

Det er bare en "fancy" måde at sige, at noget er uendeligt - på.
F.eks. har funktionen f(x) = 1/(x+3) en singularitet i x=-3, fordi
funktionsværdien er uendelig når x er lig -3 (mere matematisk
korrekt udtrykt: funktionsværdien går mod uendelig, når x går mod
-3 fra højre).

Den kinetiske energi af en partikel med positiv masse går mod
uendelig, når partiklens fart går mod c (lysets fart), så her kan
vi sige, at der er en singularitet i v = c.

Varmekapaciteten af vand ved kogepunktet er uendelig, fordi vi kan
tilføre energi uden at temperaturen stiger (varmekapacitet =
(tilført energi)/temperaturstigning = (tilført energi)/0 =
uendelig), så vands varmekapacitet er singulær ved 100 grader C.

I tilfældet med et sort hul er det krumningen af rumtiden, som går
mod uendelig, når vi nærmer os centrum. Rumtidskrumningen kan, som
Regnar også nævner, måles som tidevandskraften på et objekt.

Tidevandskraften (gradienten af tyngdefeltet) er i øvrigt dét som
gør, at tyngdekraften ikke bare er en inertiel kraft. Den /totale/
tyngdekraft på et objekt kan man transformere væk ved at skifte
til et referencesystem, som falder sammen med objektet, men
tidevandskraften kan umuligt transformeres væk.

Singulariteter er ikke en egenskab ved den fysiske verden men ved
de matematiske modeller, vi bruger til at beskrive verden med (for
hvordan skulle man kunne måle en uendelig størrelse).

Regnar Simonsen wrote:
> Grunden til, at jeg overvejer om centret i det sorte hul evt. er tomt, er at
> man kan betragte forholdet mellem energien i feltet (Ef) med
> hvilemasse-energien (Eo). Med de angivne formler fås :
>
> Eo/Ef = 2·R·c² / (G·M)
>
> Hvis man sætter dette forhold til 1 fås en formel for radius : R = ½·G·M/c²
>
> Dette er meget tæt på formlen for Scwarzschilds radius : Rs = 2·G·M/c²

Ja, og dette er ikke et tilfælde.

Forholdet mellem potentiel energi og hvilemasse har du til [bytte
rundt]

   Ef / Eo = (G·M) / 2·R·c²

Prøv at sammenligne med formlen for afbøjningen af lys omkring et
sfærisk legeme

   vinkel i radianer = 4 (G·M) / R·c²

og med undvigelseshastigheden i forhold til lysets hastighed
(beregnet med Newtonsk mekanik):

   v²_esc / c² = 2 (G·M) / R·c²

og med Schwarzschild-radius i forhold til objektets radius

   Rs / R = 2 (G·M) / R·c²

Alle fire formler har den samme dimensionsløse størrelse G·M/R·c²
på højre side. Denne størrelse ligger mellem 0 og ca. 1; den
afhænger kun af objektets masse og radius og er et mål for, hvor
vigtige "relativistiske effekter" er for et sådant objekt. Når
G·M/R·c² er i størrelsesordenen 1 svarer det til, at

- den tyngdepotentielle energi af objektet er sammenlignelig med
den totale hvileenergi,
- en lysstråle afbøjes med en betydelig vinkel (f.eks. 90 grader),
- undvigelseshastigheden er sammenlignelig med lysets,
- objektets radius er tæt på Schwarzschild-radius.

Vi kan beregne denne størrelse for forskellige objekter (i runde
tal):

10^-11   Månen
10^-9   Jorden
10^-6   Solen
10^-4   hvide dværge
10^-1   neutronstjerner
1   sorte huller


> At der er en faktor 4 til forskel kan godt forklares, da min formel for den
> samlede feltenergi er approximativ.

Ja. Feltenergien er jo udregnet med klassisk mekanik. Så vidt jeg
er orienteret, er der - inden for rammerne af den almene
relativitetsteori - ingen der ved præcis hvor den potentielle
energi sidder (i feltligningerne glimrer den potentielle energi jo
ved sit fravær). Værre endnu: Det er ikke givet, at det
overhovedet er muligt meningsfuldt at definere en lokal potentiel
energi (energi er jo en afledt størrelse, som skal defineres
relativt til feltet).

Men trods dette er det alligevel muligt /globalt/ at definere en
total energi, som har de ønskede egenskaber (er bevaret, er
ikke-nul, er lig m'et i Schwarzschild-metrikken, osv.). Denne
konstruktion (ADM-energi) er alene baseret på det asymptotiske
felt (r -> oo), så den fortæller os ikke, hvor energien sidder.

> Dvs. hvilemassen er lejret i det omgivne felt (og dermed ikke i centrum)
> Det skal dog siges, at det er min personlige vurdering, som jeg ikke har set
> andre steder.

Jeg ved som sagt ikke, om dette er muligt, men umiddelbart ville
jeg da forvente, at energitætheden var størst, hvor krumningen er
størst (i centrum).

--
Jonas Møller Larsen

---

Jonas Møller Larsen :
> >>Hvad er en singularitet - sagt med dine egne ord?
>
> Det er bare en "fancy" måde at sige, at noget er uendeligt - på.
> F.eks. har funktionen f(x) = 1/(x+3) en singularitet i x=-3, fordi
> funktionsværdien er uendelig når x er lig -3 (mere matematisk
> korrekt udtrykt: funktionsværdien går mod uendelig, når x går mod
> -3 fra højre).


Takker for den fyldige kommentar.

Angående singulariteter :
Der er 2 (eller flere) slags singulariteter.
I Schwarzschild løsningen er der f.eks. en matematisk singularitet for R =
2GM/c² (flere af ledene bliver uendelig store).
Dette betyder, at visse fysiske forhold bliver ekstreme - f.eks. bliver
rødforskydningen uendelig for et objekt, der nærmer sig Schwarzschilds
radius. Man kan også sige at tiden "fryser" (går i stå). Dette er vel er
mærke, hvis man betragter situationen "udefra". Hvis man beskriver
forholdene lokalt, f.eks. for en astronaut, der er i et frit fald, vil man
ikke bemærke nogen singularitet. Tiden går normalt, og tidevandskræfterne er
måske nok store, men ikke uendelige.
Singulariteten i Schwarzschilds radius kan altså transformeres væk - man kan
kalde den en pseudosingularitet.
Singulariteten i centrum er ægte. Den kan ikke elimineres ved snedige
transformationer. Derfor kender vi ikke tilstanden i centrum; men der vil
selvfølgelig ske "ting og sager", når tætheden nærmer sig Planck-tætheden.


> Men trods dette er det alligevel muligt /globalt/ at definere en
> total energi, som har de ønskede egenskaber (er bevaret, er
> ikke-nul, er lig m'et i Schwarzschild-metrikken, osv.). Denne
> konstruktion (ADM-energi) er alene baseret på det asymptotiske
> felt (r -> oo), så den fortæller os ikke, hvor energien sidder.

Enig.

> Jeg ved som sagt ikke, om dette er muligt, men umiddelbart ville
> jeg da forvente, at energitætheden var størst, hvor krumningen er
> størst (i centrum).

Det vil jeg også selv forvente; jeg konstaterer bare, at hvis Ef/Eo =1, så
er hele det sorte huls masse og energi bundet op i selve feltet - og er
dermed ikke at finde i centrum.
Men hvis Ef/Eo = 0,5 eller lignende, vil der være en ligelig fordeling af
masse/energi mellem centrum og feltet. Jeg har endnu ikke set nogen, der
præcist har angivet forholdet Ef/Eo for sorte huller (står f.eks. ikke i
"Gravitation" af Misner, Thorne og Wheeler - en bog på næsten 1300 sider).

--
Hilsen
Regnar Simonsen