---

Hejsa

Vi skal afholde en lille konkurrence noget ala det gamle "2 fag frem". Den
ene af opgaverne skal være en matematikopgave.

Det som jeg søger er en opgave der ligger på 3.g niveau og som ikke er alt
for krævende. Helst en der kan løses uden for meget brug af lommeregner.


--
Med venlig hilsen

Michael Jensen

---

"Michael Jensen" <michael@REMOVEogj.dk> skrev i en meddelelse
news:b4ckqf$duf$1@sunsite.dk...
> Hejsa
>
> Vi skal afholde en lille konkurrence noget ala det gamle "2 fag frem". Den
> ene af opgaverne skal være en matematikopgave.
>
> Det som jeg søger er en opgave der ligger på 3.g niveau og som ikke er alt
> for krævende. Helst en der kan løses uden for meget brug af lommeregner.



kik på :
http://www.mat.dk/
eller
http://www.imf.au.dk/georg-mohr/

--
Mvh
Anders Lund
AndersGED@zaim.dk
fjern geden fra min email adresse

---

Anders Lund wrote:
>> Vi skal afholde en lille konkurrence noget ala det gamle "2 fag
>> frem". Den ene af opgaverne skal være en matematikopgave.
>>
>> Det som jeg søger er en opgave der ligger på 3.g niveau og som ikke
>> er alt for krævende. Helst en der kan løses uden for meget brug af
>> lommeregner.

Vi fik denne stillet til julefrokosten:

http://www.amtsgym-sdbg.dk/ma/jul/juleopg02.htm

Det var ganske alvorligt - det tabende hold af den samlede konkurrence
skulle arrangere næste års julefrokost.

Opgaven er logisk og har en nydelig geomertrisk løsning, som nemt
kan forklares til alle, når løsningen skal afsløres. Og så er det jo
et plus, at der hører en sød historie med.

Man kan eventuelt modificere historien, så årstiden kommer til at passe.

--
Jens Axel Søgaard

---

"Jens Axel Søgaard" wrote:
>
> Vi fik denne stillet til julefrokosten:
>
> http://www.amtsgym-sdbg.dk/ma/jul/juleopg02.htm
>
> Det var ganske alvorligt - det tabende hold af den samlede konkurrence
> skulle arrangere næste års julefrokost.
>
> Opgaven er logisk og har en nydelig geomertrisk løsning, som nemt
> kan forklares til alle, når løsningen skal afsløres. Og så er det jo
> et plus, at der hører en sød historie med.

Det med historien er da irriterende: Så skal man læse alt det før man
kommer frem til det sjove ...

Øh, jeg kan nemt få en nisse til at blive ramt af fem. Men er der et
elegant argument for at fem er det højeste antal? (For det er det vel?)

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
>
> Øh, jeg kan nemt få en nisse til at blive ramt af fem. Men er der et
> elegant argument for at fem er det højeste antal? (For det er det vel?)

Nu fandt jeg vist selv et argument for at vinklen med toppunkt i den
uheldige nisse og udspændt af to af de nisser der rammer denne, skal
være strengt større end pi/3. Og så er der jo ikke plads til seks der
rammer den uheldige.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> skrev i en meddelelse news:3e6a358e$0$31992$edfadb0f@dread12.news.tele.dk...

>
> Man kan eventuelt modificere historien, så årstiden kommer til at passe.
>
Hvis vi også kunne få oplyst sneboldens hastighed i forhold
til nissen, kunne man vist få en grim hovedpine

Mvh
Martin

---

"Jens Axel Søgaard" wrote:
>
> Vi fik denne stillet til julefrokosten:
>
> http://www.amtsgym-sdbg.dk/ma/jul/juleopg02.htm
>
> Det var ganske alvorligt - det tabende hold af den samlede konkurrence
> skulle arrangere næste års julefrokost.
>
> Opgaven er logisk og har en nydelig geomertrisk løsning, som nemt
> kan forklares til alle, når løsningen skal afsløres.

Vi er nogle stykker som har tænkt på hvad denne opgaves løsning bliver
når man generaliserer til n dimensioner.

Altså: Nisserne opfattes som et antal punkter i R^n. Konfigurationen
skal fortsat opfylde at enhver nisse har en entydigt bestemt nærmeste
anden nisse. Når hver nisse kaster sin eneste snebold mod den (vel-
bestemte) nærmeste anden nisse, hvor mange snebolde kan én nisse så
blive ramt af?

For n=1 er svaret 2 (trivielt), og for n=2 får man 5 (opgaven ovenfor).
Men kan nogen her svare på hvad der sker for n=3 eller måske endda for
vilkårlig n.

Dette definerer jo en heltalsfølge som måske eksisterer hos Sloane.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
>
> Vi er nogle stykker som har tænkt på hvad denne opgaves løsning bliver
> når man generaliserer til n dimensioner.
>
> Altså: Nisserne opfattes som et antal punkter i R^n. Konfigurationen
> skal fortsat opfylde at enhver nisse har en entydigt bestemt nærmeste
> anden nisse. Når hver nisse kaster sin eneste snebold mod den (vel-
> bestemte) nærmeste anden nisse, hvor mange snebolde kan én nisse så
> blive ramt af?
>
> For n=1 er svaret 2 (trivielt), og for n=2 får man 5 (opgaven ovenfor).
> Men kan nogen her svare på hvad der sker for n=3 eller måske endda for
> vilkårlig n.
>
> Dette definerer jo en heltalsfølge som måske eksisterer hos Sloane.

Jeg tror nok dette er nogenlunde ækvivalent med den talfølge der
beskrives på

http://mathworld.wolfram.com/KissingNumber.html

Betragt nemlig små kugler omkring hver nisse hvis radius er *halvdelen*
af afstanden til den nærmeste nisse.

Imidlertid giver »kyssetallet« i to dimensioner 6, mens svaret på vores
opgave er 5. Problemet er jo at når seks enhedscirkler bringes til at
tangere en syvende, så får man en »stiv« konfiguration hvor man ikke
kan skubbe cirklerne lidt rundt for at få opfyldt kravet om at den
nærmeste nabo skal være *entydig*.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>

> Jeg tror nok dette er nogenlunde ækvivalent med den talfølge der
> beskrives på

> http://mathworld.wolfram.com/KissingNumber.html

Det var også min første indskydelse.

> Imidlertid giver »kyssetallet« i to dimensioner 6, mens svaret på vores
> opgave er 5. Problemet er jo at når seks enhedscirkler bringes til at
> tangere en syvende, så får man en »stiv« konfiguration hvor man ikke
> kan skubbe cirklerne lidt rundt for at få opfyldt kravet om at den
> nærmeste nabo skal være *entydig*.

Netop. Og det er ikke spor klart i hvike dimensioner det er
nødvendigt at trække kugler fra, og om det altid er nok at trække en
enkelt kugle fra.

I 3 dimensioner gik jeg og var i den vildfarelse at man fik et
maksimalt antal enhedskugle til at ramme én central ved at tage et
passende udsnit af en kubisk eller heksagonal pakning. Det giver
ganske vist 12 oskulerende kugler, men de rører også hinanden, og det
er ikke klart om det er nok at fjerne én for at kunne frigøre resten.
Nu ser jeg på Mathworld at man også bare kan placere alle de 12 kugler
som hjørnepunkterne i et ikosaeder (doh!), og så vil de ikke røre
hinanden indbyrdes.

Kan man transformere ikosaederkonfigurationen kontinuert til
konfigurationen i en af tætpakningerne uden at nogen af de 12 yderste
kugler slipper den i midten?

--
Henning Makholm "I know how to apply drugs which shall have
either a heating or a cooling effect, and I can give
a vomit and also a purge, and all that sort of thing."

---

Henning Makholm wrote:
>
> Netop. Og det er ikke spor klart i hvike dimensioner det er
> nødvendigt at trække kugler fra, og om det altid er nok at trække en
> enkelt kugle fra.

Sloane har en særlig side:

http://www.research.att.com/~njas/packings/

Den handler om hvordan man fordeler n punkter på en sfære så man
maksimerer den mindste afstand mellem to punkter. Man kan læse ned
igennem hver tabel til man finder det sidste antal punkter for hvilket
centralvinklen er strengt større end 60°.

Er det klart at dette giver svaret på nisseopgaven (forudsat at Sloanes
empiriske tal holder)? A priori er det jo ikke givet at alle nisserne
skal stå i præcis samme afstand fra den centrale, uheldige nisse.

Hvis man på denne måde kan gå ud fra Sloanes empiriske tabel, er
svaret i dimension 1 til 5:

2, 5, 12, 22, 39

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>

> Er det klart at dette giver svaret på nisseopgaven (forudsat at Sloanes
> empiriske tal holder)? A priori er det jo ikke givet at alle nisserne
> skal stå i præcis samme afstand fra den centrale, uheldige nisse.

Nej, men antag at vi har en løsning. Kald den centrale nisse for
A og de nisser som har A som nærmeste nabo, for B, C, D....
Anvend nu cosinusrelationen på trekant BAC:

2bc*cosA = b²+c²-a²

Her er a afstanden mellem B og C, og c og b er afstanden fra B hhv C
til A. Derfor er a>b og a>c, og vi kan regne

2cosA = b/c + c/b - a²/bc < b/c + c/b - bc/bc <= 2 - 1 = 1

hvor sidste ulighed følger af at 2 er minimum for x-1/x når x>0.
Altså er cosA < ½, så A > 60°, netop hvad du ledte efter.

I modsat retning: Hvis vi har en løsning fra din søgning
(centralvinkler strengt større end 60°) kan vi ved at flytte
én af nisserne en infinitesimal afstand ind mod midten opnå
at centralnissen entydigt sigter efter ham, som opgaven
kræver.

--
Henning Makholm "Joyce! May! Wayne! Carol! Majored!"

---

Henning Makholm wrote:
>
> > Er det klart at dette giver svaret på nisseopgaven (forudsat at Sloanes
> > empiriske tal holder)? A priori er det jo ikke givet at alle nisserne
> > skal stå i præcis samme afstand fra den centrale, uheldige nisse.
>
> Nej, men antag at vi har en løsning. Kald den centrale nisse for
> A og de nisser som har A som nærmeste nabo, for B, C, D....
> Anvend nu cosinusrelationen på trekant BAC:
>
> 2bc*cosA = b²+c²-a²
>
> Her er a afstanden mellem B og C, og c og b er afstanden fra B hhv C
> til A. Derfor er a>b og a>c, og vi kan regne
>
> 2cosA = b/c + c/b - a²/bc < b/c + c/b - bc/bc <= 2 - 1 = 1
>
> hvor sidste ulighed følger af at 2 er minimum for x-1/x når x>0.
> Altså er cosA < ½, så A > 60°, netop hvad du ledte efter.

Nå ja, det er jo præcis det samme problem som da jeg i sin tid skulle
bevise det todimensionale tilfælde. I øvrigt går følgende sætning helt
tilbage til Euklid: Hvis én side i en trekant er længere end en anden,
gælder det at den modstående vinkel til den første side også er større
end den modstående vinkel til den anden side. Heraf følger det specielt,
idet vinkelsummen i en trekant er 3·60°, at hvis én side er længere end
begge de andre, så er dens modstående vinkel større end 60°.

Sammenfattende: Ved at projicere ind på en sfære der har nissen A som
centrum, får vi en konfiguration af punkter på denne sfære hvor intet
par af punkter ligger mindre end 60° fra hinanden.

>
> I modsat retning: Hvis vi har en løsning fra din søgning
> (centralvinkler strengt større end 60°) kan vi ved at flytte
> én af nisserne en infinitesimal afstand ind mod midten opnå
> at centralnissen entydigt sigter efter ham, som opgaven
> kræver.

Ja.

Så hvis http://www.research.att.com/~njas/packings/ holder, er vores
følge: 2, 5, 12, 22, 39, ...

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

In article <3E9997E6.37B524FC@jeppesn.dk>, Jeppe Stig Nielsen wrote:
>> http://www.amtsgym-sdbg.dk/ma/jul/juleopg02.htm
>> Opgaven er logisk og har en nydelig geomertrisk løsning, som nemt
>> kan forklares til alle, når løsningen skal afsløres.
> Vi er nogle stykker som har tænkt på hvad denne opgaves løsning bliver
> når man generaliserer til n dimensioner.
> For n=1 er svaret 2 (trivielt),

Det fatter jeg ikke et klap af. Nisserne vil vel altid sigte på hinanden
to og to, ligegyldigt hvor mange dimensioner vi snakker om? Hvis nisse Y
er den nisse, der står nærmest nisse X, så må nisse X da også være den
nisse, der står nærmest nisse Y?

--
Salu2, Søren.

---

Scripsit Søren Hansen <sh@warma.dk>

> Det fatter jeg ikke et klap af. Nisserne vil vel altid sigte på hinanden
> to og to, ligegyldigt hvor mange dimensioner vi snakker om? Hvis nisse Y
> er den nisse, der står nærmest nisse X, så må nisse X da også være den
> nisse, der står nærmest nisse Y?

Nej. Se følgende konfiguration (i én dimension)


X Y Z

Her skyder X på Y men Y skyder ikke på X.

--
Henning Makholm "The great secret, known to internists and
learned early in marriage by internists' wives, but
still hidden from the general public, is that most things get
better by themselves. Most things, in fact, are better by morning."

---

In article <slrnb9ng6g.78t.sh@pluto.linuxkonsulent.dk>, Søren Hansen wrote:
> Det fatter jeg ikke et klap af. Nisserne vil vel altid sigte på hinanden
> to og to, ligegyldigt hvor mange dimensioner vi snakker om? Hvis nisse Y
> er den nisse, der står nærmest nisse X, så må nisse X da også være den
> nisse, der står nærmest nisse Y?

Shit mand, jeg skal til at lære at sove om natten. Never mind!

--
Salu2, Søren.