---

Hvis man har givet en funktion f: R^2 -> R^3 , for eksempel
f(x,y)=(x,2xy,-y), hvordan finder man et eksplicit udtryk for den inverse
funktion, evt. bare i en omegn af fx. (0,0)?

--
Jes Hansen

---

"Jes Hansen" <eq0y4q5qvpbfvv8tyylmwxj02@sneakemail.com> wrote in message
news:b3tcfd$2k14$1@news.cybercity.dk...
> Hvis man har givet en funktion f: R^2 -> R^3 , for eksempel
> f(x,y)=(x,2xy,-y), hvordan finder man et eksplicit udtryk for den inverse
> funktion, evt. bare i en omegn af fx. (0,0)?
>
> --
> Jes Hansen
>
>
Det kan man vel ikke bare gøre ? Definitionsmængden er jo begrænset af at
komponenten nr. 2 skal være lig 2* komp. nr.1 ganget med komp. nr. 3.

mvh Erland

---

[Jes Hansen]

| Hvis man har givet en funktion f: R^2 -> R^3 , for eksempel
| f(x,y)=(x,2xy,-y), hvordan finder man et eksplicit udtryk for den inverse
| funktion, evt. bare i en omegn af fx. (0,0)?

La g(x,y,z)=(x,-z). Da er g(f(x,y))=(x,y) for alle (x,y). Dessuten
er f(g(x,y,z))=(x,y,z) dersom (x,y,z) ligger i bildet av f, dvs hvis
y=-2xz.

SA
--
Stein Arild Strømme +47 55584825, +47 95801887
Universitetet i Bergen Fax: +47 55589672
Matematisk institutt www.mi.uib.no/stromme
Johs Brunsg 12, N-5008 BERGEN stromme@mi.uib.no

---

Stein A. Stromme wrote:
> [Jes Hansen]
>
>> Hvis man har givet en funktion f: R^2 -> R^3 , for eksempel
>> f(x,y)=(x,2xy,-y), hvordan finder man et eksplicit udtryk for den
>> inverse funktion, evt. bare i en omegn af fx. (0,0)?
>
> La g(x,y,z)=(x,-z). Da er g(f(x,y))=(x,y) for alle (x,y). Dessuten
> er f(g(x,y,z))=(x,y,z) dersom (x,y,z) ligger i bildet av f, dvs hvis
> y=-2xz.


For at vise Jes, hvordan man regner er her en måde at regne.
Lad (x,y) være koordinater i R^2 og (X,Y,X) være
koordinater i R^3. For et punkt (X,Y,Z) i billedet af f ved man at, der
findes (x,y) i R^2, så

X=x
Y=2xy
Z=-y

For at finde en venstreinvers (med hensyn til funktionssammensætning)
skal man isolere x og y. Det første er nemt

x=X

For at isolere y kan man bruge den

y=-Z

Dermed er funktionen (X,Y,Z) |-> (X,-Z) en venstreinvers.
Hvis den også er højreinvers, så er den også en invers funktion.
Dette tjekkes ved indsættelse.

--
Jens Axel Søgaard

---

Jes Hansen wrote:
>
> Hvis man har givet en funktion f: R^2 -> R^3 , for eksempel
> f(x,y)=(x,2xy,-y), hvordan finder man et eksplicit udtryk for den inverse
> funktion, evt. bare i en omegn af fx. (0,0)?

Generelt for en afbildning y=f(x) (uanset hvor mange variable) finder
man den inverse funktions forskrift ved at forsøge at isolere x i
ligningen y=f(x).

Eksempel med én variabel:

f(x) = 3x+7

Så kaldes venstresiden y, og man søger at isolere x

y = 3x + 7 <==> x = (y - 7)/3

hvilket viser at den inverse funktion er g(y)=(y-7)/3 hvilket også kan
skrives med x'er i stedet for y'er.

I dit eksempel er

f(x1 , x2) = (x1 , 2·x1·x2 , -x2)

så man løser blot ligningen

(y1 , y2 , y3) = (x1 , 2·x1·x2 , -x2)

for at finde (x1,x2). Altså læst koordinatvist er det tre ligninger med
to ubekendte.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)