---

Hej -

Jeg har et bevis, hvor det skal vises, at en parabolantenne er
omdrejningslegemet for en parabel, der vender grenene mod højre. Et par
steder forstår jeg ikke helt omskrivningerne:

1:
d(x^2 + y^2) / (2*sqr(x^2 + y^2)) = +/- dx
<=>
d(sqr(x^2 + y^2)) = +/- dx

Hvad sker der i denne omskrivning? (jeg tror, at omskrivningerne måske kan
være lidt 'kreative...')

2:
Beviset afsluttes med, at man får:
y^2 = +/- 2cx + c^2
For c>0 skulle dette være en parabel med grenene mod højre - hvordan ses
det? Hvorfor skal c være større end nul?


Jeg håber, at nogen kan/vil hjælpe...

Hilsen
Kit Jensen

---

Scripsit "Kit Jensen" <kitter8800@hotmail.com>

> 1:
> d(x^2 + y^2) / (2*sqr(x^2 + y^2)) = +/- dx
> <=>
> d(sqr(x^2 + y^2)) = +/- dx

> Hvad sker der i denne omskrivning?

Totallet i nævneren forsvinder på mystisk vis.

> Beviset afsluttes med, at man får:
> y^2 = +/- 2cx + c^2
> For c>0 skulle dette være en parabel med grenene mod højre - hvordan ses
> det?

Enten umiddelbart, eller også ved at skrive x som en funktion af y.

> Hvorfor skal c være større end nul?

Hvis c=0 reducerer det hele til y²=0, og det er der jo ikke meget
pjank ved.

Hvis c<0 får 2cx det modsatte fortegn, og så peger grenene mod venstre
i stedet. Men det burde ± jo tage sig af.

--
Henning Makholm "Det är alldeles för ansvarsfullt att skaffa en
flickvän. Det är ju som att skaffa en hundvalp."

---

Kit Jensen wrote:
> 1:
> d(x^2 + y^2) / (2*sqr(x^2 + y^2)) = +/- dx

Her mangler parenteser. "d A / B" kan enten opfattes som d(A/B)
eller som (d A)/B. Den sidste fortolkning er den rigtige her,
ellers gælder <=> ikke.

> <=>
> d(sqr(x^2 + y^2)) = +/- dx
>
> Hvad sker der i denne omskrivning?

Hvis du dividerer igennem med dx i begge ligninger, svarer det til
at vise:

d/dx (x^2 + y^2) / (2*sqr(x^2 + y^2)) = +/- 1
<=>
d/dx (sqr(x^2 + y^2)) = +/- 1

Men dette er jo sandt, hvis de to venstresider er ens, altså hvis

d/dx (sqr(x^2 + y^2)) = 1 / (2*sqr(x^2 + y^2)) * d/dx (x^2 + y^2)

(jeg har ombyttet ordenen af faktorerne i den øverste ligning), og
denne identitet følger ved at bruge d/du (sqrt(u)) = 1/(2sqrt(u))
og så "differentiere igennem", dvs gange med
differentialkvotienten af den indre funktion.

> (jeg tror, at omskrivningerne måske kan være lidt 'kreative...')

Ja, det kræver en vis mængde inspiration at finde på at omskrive
det øverste udtryk til det nederste (integrere). Til gengæld er
det en helt mekanisk opgave at komme fra det nederste udtryk til
det øverste (differentiere).

--
Jonas Møller Larsen