---

For mange af jer, er dette sikkert et dumt spørgsmål:

fladen S1 er grafen for funktionen f, som er givet ved:
f(x,y) = 1-x-y, 0<=x<=1, 0<=y<=1-x;
Jeg skal nu bestemme den udadvendte enhedsnormalvektor til overfladen S1.

Kan nogen give mig en hjælpende hånd, og måske forklare mig, hvad man helt
præcist skal gøre?

Mvh
Katrine

---

"Katrine" <hatikvah83@hotmail.com> writes:

> fladen S1 er grafen for funktionen f, som er givet ved:
> f(x,y) = 1-x-y, 0<=x<=1, 0<=y<=1-x;
> Jeg skal nu bestemme den udadvendte enhedsnormalvektor til overfladen S1.
>
> Kan nogen give mig en hjælpende hånd, og måske forklare mig, hvad man helt
> præcist skal gøre?

Du skriver ikke, hvilket niveau det drejer sig om... Siden du skriver
"flade" går jeg ud fra at det er et universitetskursus? Skriv igen
hvis nedenstående er uforståeligt...

Det kan gøres på flere måder; her er en: Lad g(x,y,z) = z - f(x,y).
Da er S1 = g^{-1}(0). Nu vil gradienten af g være en normalvektor til
S1, og hvis vi normerer den får vi en enhedsnormalvektor:

grad g = (-df/dx,-df/dy,1)

N = grad g/|grad g|.

I dit tilfælde bliver grad g = (1,1,1), så N = (1/sqrt(3)) (1,1,1).

Søren

---

Katrine wrote:
>
> For mange af jer, er dette sikkert et dumt spørgsmål:
>
> fladen S1 er grafen for funktionen f, som er givet ved:
> f(x,y) = 1-x-y, 0<=x<=1, 0<=y<=1-x;
> Jeg skal nu bestemme den udadvendte enhedsnormalvektor til overfladen S1.
>
> Kan nogen give mig en hjælpende hånd, og måske forklare mig, hvad man helt
> præcist skal gøre?

For at supplere Sørens svar: Din graf er tydeligvis en del af planen
med ligningen

z = 1-x-y

eller

x+y+z = 1

En normalvektor kan nu aflæses ud fra koefficienterne, altså er en
normalvektor (1,1,1). Hvad du mener med »udadvendt«, véd jeg ikke helt.
Normalvektoren på den anden side af fladen er naturligvis (-1,-1,-1).

Du kan selv normere vektorerne (altså give dem længde 1).

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
>
> Katrine wrote:
> >
> > For mange af jer, er dette sikkert et dumt spørgsmål:
> >
> > fladen S1 er grafen for funktionen f, som er givet ved:
> > f(x,y) = 1-x-y, 0<=x<=1, 0<=y<=1-x;
> > Jeg skal nu bestemme den udadvendte enhedsnormalvektor til overfladen S1.
> >
> > Kan nogen give mig en hjælpende hånd, og måske forklare mig, hvad man helt
> > præcist skal gøre?
>
> For at supplere Sørens svar: Din graf er tydeligvis en del af planen
> med ligningen
>
> z = 1-x-y
>
> eller
>
> x+y+z = 1
>
> En normalvektor kan nu aflæses ud fra koefficienterne, altså er en
> normalvektor (1,1,1). Hvad du mener med »udadvendt«, véd jeg ikke helt.
> Normalvektoren på den anden side af fladen er naturligvis (-1,-1,-1).

Den del af fladen du kigger på, er jo faktisk den del der ligger i
første oktant af rummet. Det er en trekant udspændt af punkterne
(1,0,0), (0,1,0) og (0,0,1). På baggrund af dette kan udadvendt måske
forstås som den retning der vender væk fra (0,0,0).

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Katrine wrote:
> fladen S1 er grafen for funktionen f, som er givet ved:
> f(x,y) = 1-x-y, 0<=x<=1, 0<=y<=1-x;
> Jeg skal nu bestemme den udadvendte enhedsnormalvektor til overfladen
> S1.

Fladen er en plan, fordi z=f(x,y) afhænger linært af x,y.
Du kan z = f(x,y)= 1-x-y dvs. x + y + z = 1

Det kan du også skrive som (1,1,1) dot (x-1/3,y-1/3,z-1/3) = 0,
som viser at (1,1,1) er normal vektoren til planen, og at
punktet (1/3,1/3,1/3) ligger på fladen.



Helt generelt kan du skrive et plan i 3D, som vektor afbildning
g:(v,u) -> (x(v,u),y(v,u),z(v,u)), du kan fx. tænke på u og v
som længdegrad og breddegrad på et kort, mens x,y,z definere
en kugleflade i såfald ville g(v,u)=(cos(v)sin(u),sin(v)sin(u),cos(u),
men i dit eksempel planet givet ved g(x,y)= (x,y,1-x-y).

Hvis du nu står på kortet i positionen (v,u) og tager et skridt
til (v+dv,u) dvs. så svarer det til at du tager et skridt vs
langs en længdegrad på kuglefladen. Vektoren du går langs er givet ved

(g(v+vs,u)-g(v,u))/vs = dg(v,u)/dv og er en tangent til fladen
langs en længdegrad.

(dvs. i dit tilfælde dg(x,y)/dx = d(x,y,1-x-y)/dx = (1,0,-1) )

Samme trick kan gøres langs breddegraden og i dit tilfælde
dg(x,y)/dy = d(x,y,1-x-y)/dx = (0,1,-1)

Hvis du tegner fladen vil du se at disse to vektorer er retningen
du går i hvis du går langs x eller langs y i et punkt på fladen.

Normal vektoren er krydsproduktet af disse to vektorer dvs.
(1,0,-1) X (0,1,-1) og hvis jeg ikke tager meget fejl så er
dette (1,1,1).

--
Carsten Svaneborg