---

Hej.
Jeg vil gerne spørge, om der nogen kan hjælpe mig med, at bevise sætningerne
om defferention af sinus og cosinus funktionerne, enten direkte her i
nyhedsgruppen eller vha. en henvisning på internettet, hvor man kan læse om
disse beviser. Håber nogen kan hjælpe mig.
Hilsen Morten.

mozart@mobilixnet.dk

---

Morten wrote:
>
> Hej.
> Jeg vil gerne spørge, om der nogen kan hjælpe mig med, at bevise sætningerne
> om defferention af sinus og cosinus funktionerne, enten direkte her i
> nyhedsgruppen eller vha. en henvisning på internettet, hvor man kan læse om
> disse beviser. Håber nogen kan hjælpe mig.

Beviset afhænger jo lidt af hvordan man har defineret disse funktioner.
Hvis du har defineret dem ved hjælp af enhedscirklen kan du prøve med
et geometrisk »bevis«.

Afsæt radiantallene x og x+h i enhedscirklen og fortolk differens-
kvotienten

sin(x+h) - sin(x)
-----------------
h

som forholdet mellem en katete og hypotenusen i en retvinklet »trekant«
hvis ene side (hypotenusen) ganske vist er en cirkelbue i stedet for et
ret linjestykke. Vinklen x genfindes i den lille trekant, og for til-
strækkeligt små værdier af h ses differenskvotienten at komme vilkår-
ligt tæt på cos(x) . Derfor eksisterer der en grænseværdi for diffe-
renskvotient når h går mod nul, og vi konkluderer at sin er diffe-
rentiabel i x med differentialkvotient sin'(x)=cos(x) .

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

On Tue, 14 May 2002 19:04:15 +0200, Morten wrote:

> Hej.
> Jeg vil gerne spørge, om der nogen kan hjælpe mig med, at bevise
> sætningerne om defferention af sinus og cosinus funktionerne, enten
> direkte her i nyhedsgruppen eller vha. en henvisning på internettet,
> hvor man kan læse om disse beviser. Håber nogen kan hjælpe mig. Hilsen
> Morten.

Jeppe har givet et geometrisk "bevis". En anden måde er at definere de
trigonometriske funktioner som potensrækker. De opfører sig meget pænt,
når man differentierer dem, og så er resultatet trivielt. Jeg ved ikke,
hvilket niveau du er på nu, men hvis du er i gymnasiet, skal du nok
arbejde lidt for sagen.

-> Michael Knudsen

---

Michael Knudsen <knudsen@imf.au.dk> writes:

> Jeppe har givet et geometrisk "bevis".

Hvis definitionen af funktionerne sinus og cosinus er geometrisk, skal
beviset for at de er differentiable nødvendigvis også være et
geometrisk bevis.

> En anden måde er at definere de trigonometriske funktioner som
> potensrækker.

Det er jo snyd. Så skal man også vise at denne definition stemmer
overens med den geometriske.

Man kan også definere (cos, sin): R -> R² som den entydig bestemte
løsning til differentialligningen

d / cos t \ [ 0 -1 ] / cos t \
-- ( ) = | | ( )
dt \ sin t / [ 1 0 ] \ sin t /

som opfylder (cos 0, sin 0) = (1,0). Det er måske tættere på den
geometriske definition (matricen giver netop "tværvektoren", så man
starter altså i (1,0) og bevæger altid i retning af tværvektoren. Det
er jo netop en cirkelbevægelse).

Med denne definition er det i hvert fald let at differentiere

Søren

---

On Tue, 14 May 2002 23:47:26 +0200, Søren Galatius Smith wrote:

> Michael Knudsen <knudsen@imf.au.dk> writes:
>
>> Jeppe har givet et geometrisk "bevis".
>
> Hvis definitionen af funktionerne sinus og cosinus er geometrisk, skal
> beviset for at de er differentiable nødvendigvis også være et geometrisk
> bevis.

Naturligvis, men der var lidt for mange gåseøjne i beviset, til at det
kunne kaldes et "rigtigt" bevis.

> Det er jo snyd. Så skal man også vise at denne definition stemmer
> overens med den geometriske.

Det er rigtigt, men det er heldigvis ikke så vanskeligt. En gennemgang
kan findes i "Stewart & Tall - Complex Analysis" (vores allesammens
yndlingsbog!) under "The behaviour of real trigonometric functions".

> Man kan også definere (cos, sin): R -> R² som den entydig bestemte
> løsning til differentialligningen (...)

Snildt!

> Med denne definition er det i hvert fald let at differentiere



-> Michael

---

galatius+usenet@imf.au.dk (Søren Galatius Smith) writes:

> Michael Knudsen <knudsen@imf.au.dk> writes:
>
> > Jeppe har givet et geometrisk "bevis".
>
> Hvis definitionen af funktionerne sinus og cosinus er geometrisk, skal
> beviset for at de er differentiable nødvendigvis også være et
> geometrisk bevis.

Ja, men det ar faktisk ikke så let endda. Jeg har endnu ikke set et
geometrisk bevis for at lim_{x -> 0} (sin x)/x = 1, der var gyldigt,
som ikke anvendte arealer. Så snart du har dette er resten
barnemad. Den naturlige konsekvens af dette må være at introducere
areal/integration inden man introducerer differentiation. Det er stik
modsat i den danske gymnasieskole.

> > En anden måde er at definere de trigonometriske funktioner som
> > potensrækker.
>
> Det er jo snyd. Så skal man også vise at denne definition stemmer
> overens med den geometriske.

Ja. Ikke desto mindre er det den måde, man som oftest ender med at få
tingene gjort på.

> Man kan også definere (cos, sin): R -> R² som den entydig bestemte
> løsning til differentialligningen
>
> d / cos t \ [ 0 -1 ] / cos t \
> -- ( ) = | | ( )
> dt \ sin t / [ 1 0 ] \ sin t /
>
> som opfylder (cos 0, sin 0) = (1,0). Det er måske tættere på den
> geometriske definition (matricen giver netop "tværvektoren", så man
> starter altså i (1,0) og bevæger altid i retning af tværvektoren. Det
> er jo netop en cirkelbevægelse).
>
> Med denne definition er det i hvert fald let at differentiere

Se, det var svært meget lettere

Simon

--
The good Christian should beware of mathematicians, and all those who
make empty prophecies. The danger already exists that the
mathematicians have made a covenant with the devil to darken the
spirit and to confine man in the bonds of Hell. -- St. Augustin

---

Simon Kristensen wrote:
>
> Ja, men det ar faktisk ikke så let endda. Jeg har endnu ikke set et
> geometrisk bevis for at lim_{x -> 0} (sin x)/x = 1, der var gyldigt,
> som ikke anvendte arealer.

Vælg en bue af længde 2·x på enhedscirklen og indtegn den tilhørende
korde. Længden af korden er da 2·sin x . Forholdet mellem kordens
længde og buens længde er derfor netop (sin x)/x .

Spørgsmålet er så hvor meget der skal til for at overbevise om at i en
cirkel går forholdet mellem en korde og den tilhørende bue mod 1 når
korden bliver tilpas lille.

NB! Det er nok at vise at grænseværdien eksisterer fra højre (altså
for x-->0+ ) fordi funktionen (sin x)/x tydeligvis er lige.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

> Simon Kristensen wrote:
> >
> > Ja, men det ar faktisk ikke så let endda. Jeg har endnu ikke set et
> > geometrisk bevis for at lim_{x -> 0} (sin x)/x = 1, der var gyldigt,
> > som ikke anvendte arealer.
>
> Vælg en bue af længde 2·x på enhedscirklen og indtegn den tilhørende
> korde. Længden af korden er da 2·sin x . Forholdet mellem kordens
> længde og buens længde er derfor netop (sin x)/x .
>
> Spørgsmålet er så hvor meget der skal til for at overbevise om at i en
> cirkel går forholdet mellem en korde og den tilhørende bue mod 1 når
> korden bliver tilpas lille.

Det er netop her, du har problemet. Det mest overbevisende argument,
jeg har set, har jeg fra Kristensen og Rindungs gamle matematikbøger
(2. rev. udg., Bind 2, s. 32). Her tegnes korden, buelinien og
tangenterne i endepunkterne af disse. Dette giver anledning til
ligningen
2 sin x < 2x < 2 tan x,
hvorfra grænseværdien umiddelbart kan findes. Imidlertid er argumentet
for, at 2 tan x > 2x ikke komplet. Det er let at vise, at en ret linie
er kortere end en bue, men den anden vej er svært.

En måde at overbevise sig selv på er ved at approximere cirklen med
regulære polygoner, som man med et naivt begreb om areal (altså uden
(Riemann) integralet) kan finde arealet af. Hele denne sag om
(sin x)/x har huseret her på mit arbejde (matematisk institut i
York) efter at min chef bestemte sig for at undervise i analyse fra
første principper på et førsteårs kursus. Han opdagede, at han ikke
kunne finde et tilfredsstillende bevis for differentiatiabilitet af
sinus-funktionen uden at anvende arealer og spurgte snart sagt enhver
på afdelingen. Jeg sværgede til Kristensen og Rindung indtil en anden
kollega bad mig bevise at tan x > x. Hardcore analytikerne sværger til
potensrækker som den rigtige måde at gøre tingene på. Chefen gav op
til sidst og producerede et bevis, der brugte arealer.

Simon

--
The good Christian should beware of mathematicians, and all those who
make empty prophecies. The danger already exists that the
mathematicians have made a covenant with the devil to darken the
spirit and to confine man in the bonds of Hell. -- St. Augustin

---

Simon Kristensen wrote:
>
> [...] bevise at tan x > x. [...] Chefen gav op
> til sidst og producerede et bevis, der brugte arealer.

Og så er det let nok: Arealet af det cirkeludsnit der afgrænses af to
radier og vores bue af længde 2·x er jo blot x . Og arealet af den
ligebenede trekant der mere end dækker dette cirkeludsnit, er tan x .
Den ligebenede trekant jeg tænker på, har som grundlinje en tangent
til cirklen (med røringspunkt midt på vores bue) og som højde en radius
i cirklen.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

> Simon Kristensen wrote:
> >
> > [...] bevise at tan x > x. [...] Chefen gav op
> > til sidst og producerede et bevis, der brugte arealer.
>
> Og så er det let nok: Arealet af det cirkeludsnit der afgrænses af to
> radier og vores bue af længde 2·x er jo blot x . Og arealet af den
> ligebenede trekant der mere end dækker dette cirkeludsnit, er tan x .
> Den ligebenede trekant jeg tænker på, har som grundlinje en tangent
> til cirklen (med røringspunkt midt på vores bue) og som højde en radius
> i cirklen.

Klart - igen har du det problem, at du skal kunne beregne arealet af
et cirkeludsnit, så hvis du kun kan beregne arealer af polygoner (det
må være der, man starter), skal du lige have approximeret cirklen med
disse først. Med dette sidste argument bliver sinus differentiabel fra
første principper og en naiv forståelse af areal.

Simon

--
The good Christian should beware of mathematicians, and all those who
make empty prophecies. The danger already exists that the
mathematicians have made a covenant with the devil to darken the
spirit and to confine man in the bonds of Hell. -- St. Augustin

---

Simon Kristensen <spam_me_senseless@simonsays.dk> writes:

> Klart - igen har du det problem, at du skal kunne beregne arealet af
> et cirkeludsnit, så hvis du kun kan beregne arealer af polygoner (det
> må være der, man starter), skal du lige have approximeret cirklen med
> disse først.

I den slags beviser kan det jo være en smule svært at finde ud af,
hvad man "må bruge" og hvad man ikke må bruge...

Men er det ikke rigtigt at man skal approksimere cirklen med polygoner
for at definere kurvelængden af cirkelskiven? Og dette skal man gøre
inden man kan definere vinkler, hvilket man skal gøre inden man kan
definere sinus?

Søren

---

galatius+usenet@imf.au.dk (Søren Galatius Smith) writes:

> Simon Kristensen <spam_me_senseless@simonsays.dk> writes:
>
> > Klart - igen har du det problem, at du skal kunne beregne arealet af
> > et cirkeludsnit, så hvis du kun kan beregne arealer af polygoner (det
> > må være der, man starter), skal du lige have approximeret cirklen med
> > disse først.
>
> I den slags beviser kan det jo være en smule svært at finde ud af,
> hvad man "må bruge" og hvad man ikke må bruge...
>
> Men er det ikke rigtigt at man skal approksimere cirklen med polygoner
> for at definere kurvelængden af cirkelskiven? Og dette skal man gøre
> inden man kan definere vinkler, hvilket man skal gøre inden man kan
> definere sinus?

Sikkert. Den definition af sinus, vi arbejdede ud fra her på stedet
var forholdet mellem den hinsides katete og hypotenusen i en
retvinklet trekant. Det burde du kunne slippe afsted med uden at
definere kurvelængde, men kun med en ad hoc definition af vinkler. Alt
andet lige er du nødt til at definere areal for at få rigtig ram på
sinus.

Simon

--
The good Christian should beware of mathematicians, and all those who
make empty prophecies. The danger already exists that the
mathematicians have made a covenant with the devil to darken the
spirit and to confine man in the bonds of Hell. -- St. Augustin

---

Simon Kristensen wrote:
>
> galatius+usenet@imf.au.dk (Søren Galatius Smith) writes:
>
> > Simon Kristensen <spam_me_senseless@simonsays.dk> writes:
> >
> > > Klart - igen har du det problem, at du skal kunne beregne arealet af
> > > et cirkeludsnit, så hvis du kun kan beregne arealer af polygoner (det
> > > må være der, man starter), skal du lige have approximeret cirklen med
> > > disse først.
> >
> > I den slags beviser kan det jo være en smule svært at finde ud af,
> > hvad man "må bruge" og hvad man ikke må bruge...
> >
> > Men er det ikke rigtigt at man skal approksimere cirklen med polygoner
> > for at definere kurvelængden af cirkelskiven? Og dette skal man gøre
> > inden man kan definere vinkler, hvilket man skal gøre inden man kan
> > definere sinus?
>
> Sikkert. Den definition af sinus, vi arbejdede ud fra her på stedet
> var forholdet mellem den hinsides katete og hypotenusen i en
> retvinklet trekant. Det burde du kunne slippe afsted med uden at
> definere kurvelængde, men kun med en ad hoc definition af vinkler. Alt
> andet lige er du nødt til at definere areal for at få rigtig ram på
> sinus.

Betragt mængden af uordnede par af ikke-parallelle halvlinjer der udgår
fra et fælles punkt. Kongruens giver en naturlig ækvivalensrelation på
denne mængde. Vi kan definere en vinkel som en ækvivalensklasse under
denne relation. (Jeg har foreslået det før.) Spørgsmålet er om vi kan
indføre vinklens mål (i grader eller radianer).

Men selv uden et vinkelmål kan man vel indse at sinus og cosinus er
veldefinerede på vinkler af den slags jeg foreslår herover. Det må være
det du mener?

Men differentiation kommer jo næppe på tale før definitionsmængden er
et interval af de reelle tal.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

> Simon Kristensen wrote:
> >
> > Sikkert. Den definition af sinus, vi arbejdede ud fra her på stedet
> > var forholdet mellem den hinsides katete og hypotenusen i en
> > retvinklet trekant. Det burde du kunne slippe afsted med uden at
> > definere kurvelængde, men kun med en ad hoc definition af vinkler. Alt
> > andet lige er du nødt til at definere areal for at få rigtig ram på
> > sinus.
>
> Betragt mængden af uordnede par af ikke-parallelle halvlinjer der udgår
> fra et fælles punkt. Kongruens giver en naturlig ækvivalensrelation på
> denne mængde. Vi kan definere en vinkel som en ækvivalensklasse under
> denne relation. (Jeg har foreslået det før.) Spørgsmålet er om vi kan
> indføre vinklens mål (i grader eller radianer).
>
> Men selv uden et vinkelmål kan man vel indse at sinus og cosinus er
> veldefinerede på vinkler af den slags jeg foreslår herover. Det må være
> det du mener?

Det giver i hvert fald en definition af vinkel, der ikke er afhængig
af buelængde, bortset fra at du ikke får ram på nul-vinklen
(parallelle halv-linier i samme retning) og et punkt på en ret linie
(parallelle halv-linier i hver sin retning.

> Men differentiation kommer jo næppe på tale før definitionsmængden er
> et interval af de reelle tal.

Lad mig nu se... Indfør nu en topologi på det rum, du beskriver, og
konstruer en homeomorfi til R/Z. Skaler dette rum, så du får den slags
grader, du foretrækker. Så har vi vel sluppet uden om buelængde. Du
skal selvfølgelig fange den rigtige topologi.

Det var nu ikke definitionen af vinkler som buelængder der irriterede
mig oprindelig, men snarere at det ser ud til at langt de fleste mener
at lim_{x -> 0} (sin x)/x = 1 er trivielt. De beviser vi har set
benytter alle arealer eller er forkerte/ufuldstændige. Areal bliver
som regel først indført efter differentiation i lærebøgerne. Gad vide
hvordan Bourbaki gør den slags...

Simon

--
The good Christian should beware of mathematicians, and all those who
make empty prophecies. The danger already exists that the
mathematicians have made a covenant with the devil to darken the
spirit and to confine man in the bonds of Hell. -- St. Augustin

---

Simon Kristensen wrote:
>
> Det giver i hvert fald en definition af vinkel, der ikke er afhængig
> af buelængde, bortset fra at du ikke får ram på nul-vinklen
> (parallelle halv-linier i samme retning) og et punkt på en ret linie
> (parallelle halv-linier i hver sin retning.

Nå ja, det var dét der var selve formålet med definitionen oprindelig.
Se news:3CD430D7.810792DB@jeppesn.dk .

For menigmand er nulvinklen og den lige vinkel ikke »vinkler«. Af de
vinkler jeg indfører på min måde, er der kun de spidse, den rette og
de stumpe.

Hvad er det i øvrigt nu man kalder en vinkel fra ] 180° ; 360° [ ?

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>

> Hvad er det i øvrigt nu man kalder en vinkel fra ] 180° ; 360° [ ?

Hm... konkav?

--
Henning Makholm "*Dansk Folkeparti*, nazistisk orienteret dansk parti
1941-1945, grundlagt af Svend E. Johansen og Th.M. Andersen"

---

Scripsit Simon Kristensen <spam_me_senseless@simonsays.dk>

> Det var nu ikke definitionen af vinkler som buelængder der irriterede
> mig oprindelig, men snarere at det ser ud til at langt de fleste mener
> at lim_{x -> 0} (sin x)/x = 1 er trivielt. De beviser vi har set
> benytter alle arealer eller er forkerte/ufuldstændige. Areal bliver
> som regel først indført efter differentiation i lærebøgerne.

Er det et problem? Man udnytter jo ikke de afledede af sin og cos i
den videre udvikling frem mod integration og hovedsætningen.

--
Henning Makholm "De er da bare dumme. Det skal du bare sige til dem."

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Scripsit Simon Kristensen <spam_me_senseless@simonsays.dk>
>
> > Det var nu ikke definitionen af vinkler som buelængder der irriterede
> > mig oprindelig, men snarere at det ser ud til at langt de fleste mener
> > at lim_{x -> 0} (sin x)/x = 1 er trivielt. De beviser vi har set
> > benytter alle arealer eller er forkerte/ufuldstændige. Areal bliver
> > som regel først indført efter differentiation i lærebøgerne.
>
> Er det et problem? Man udnytter jo ikke de afledede af sin og cos i
> den videre udvikling frem mod integration og hovedsætningen.

Ikke umiddelbart, men det gør jo at enhver gennemgang må blive
utilfredsstillende, eftersom man er nødt til enten at tage røven på
sine studerende ved at lave et suspekt argument eller at udsætte
stringens til værktøjerne er der. Problemet er pædagogisk, ikke
matematisk. Det var dette, der motiverede hele diskussionen på mit
arbejde.

--
Simon Kristensen

---

Simon Kristensen wrote:
> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
>
>> Scripsit Simon Kristensen <spam_me_senseless@simonsays.dk>
>>
>>> Det var nu ikke definitionen af vinkler som buelængder der
>>> irriterede mig oprindelig, men snarere at det ser ud til at langt
>>> de fleste mener at lim_{x -> 0} (sin x)/x = 1 er trivielt. De
>>> beviser vi har set benytter alle arealer eller er
>>> forkerte/ufuldstændige. Areal bliver som regel først indført efter
>>> differentiation i lærebøgerne.

Jeg har kigget lidt i A.F.Andersen og Poul Mogensens "Matematik II"
for det matematiske gymnasium fra 1965. Såvidt jeg kan se, undgår
de at anvende arealer. Til gengæld skal man behandle måltal (længder)
for cirkelbuer uden at anvende integralteori, hvilket betyder, at man
skal gennem nogen målteoretiske overvejelser som ligger "skjult" i
integralet.

Men det kan enhver jo komme at sige, så I får lige kapiteloverskrifterne.
Den logiske fremfærd burde kunne ses. De var ret grundige dengang.
Jeg kan godt lide bogen; men jeg er nu glad for at jeg ikke skal undervise
efter den.

Emneoverskrifterne er som følger [Bogen begynder her]

I. Talmængder og talfølger
A. Ordning og begrænsning
1. Ordnede mængder
2. Undertal og overtal
3. Undergrænse og overgrænse
4. Talbestemmelse ved mængdeindsnævring

De er så klar til at kunne behandle længder på cirkelbuer.

B. Længden af cirkelbue og cirkelperiferi
5. Måltallets bestemmelse
[ Buen AB tillægges et måltal M(AB). Dette gøres ved hjælp af
talbestemmelse ved mængdeindsnævring af længderne på om- og
indskrevne
polygoner ]
7. Grundregler for cirkelbuers måltal
[ Heri vises reglerne
A. Enhver bue har et positivt måltal.
B. Kongruente buer har samme måltal.
C. Når buen er sammensat af buerne b og c, er
M(a) = M(b) + M(c). ]

Så går turen til grænseværdi for følger.

C. Talbestemmende talfølger

Først derefter kommer vi til

II Funktioner
A Relationer og funktioner
[Funktioner introduceres ved hjælp af relationer]

17. Størrelsen af funktionsværdierne sin x, tg x og cos x i sammenligning
med vinkelmåltallet x.
[ Her vises først ulighederne (1) sin x <x og (2) x < tg x under
anvendelse af det
indførte måltal. Dernæst sammensættes udfra den sædvanlige figur til
1 - x < (sin x)/x < x
]

Konklusionen udskydes til næste kapitel for vi mangler jo lige at få en
enkelt ting eller to på plads:

B. Grænseværdi for funktion
18. Betydningen af symbolet f(x)->a for x->uendelig
20. Betydningen af symbolet f(x)->a for x->x_0
[ Her kan de så endelig skrive at (sin x)/x -> 1 for x->0 ]



For de nysgerrige kan det nævnes, at de i behandlingen af integralteorien,
som er placeret sidst i bogen har:

60. Eksistensbevis for arealet af et cirkeludsnit og et cirkelområde.

Se det kalder jeg grundighed.

--
Jens Axel Søgaard

---

"Morten" <mozart@mobilixnet.dk> writes:


> Jeg vil gerne spørge, om der nogen kan hjælpe mig med, at bevise sætningerne
> om defferention af sinus og cosinus funktionerne, enten direkte her i
> nyhedsgruppen eller vha. en henvisning på internettet, hvor man kan læse om
> disse beviser.

Den afledte til an funktion f i punktet x er defineret som

f(x+d)-f(x)
lim -----------
d->0 d


Hvis vi indsætter sin som f, bliver brøken

sin(x+d)-sin(x)
---------------
d


Vi bruger nu formlen for sin(x+d) = sin(x)cos(d)+cos(x)sin(d) og
bruger at sin(d) -> d for d -> 0 og cos(d) -> 1 for d -> 0. det
betyder at brøken går mod

sin(x)+cos(x)d-sin(x)
--------------------- = cos(x)
d

QED.

   Torben Mogensen (torbenm@diku.dk)

---

Torben Ægidius Mogensen wrote:
> Vi bruger nu formlen for sin(x+d) = sin(x)cos(d)+cos(x)sin(d) og

Men så skulle du gerne komme med et bevis for dette, og uden
komplekse tal er det en træls omgang geometri.

--
Carsten Svaneborg

---

Carsten Svaneborg <not_anywhere@on.the.net> writes:

> Torben Ægidius Mogensen wrote:
> > Vi bruger nu formlen for sin(x+d) = sin(x)cos(d)+cos(x)sin(d) og
>
> Men så skulle du gerne komme med et bevis for dette, og uden
> komplekse tal er det en træls omgang geometri.

Sådan kan man jo blive ved, indtil vi kommer til aksiomerne fra ZFC.
Sumformlen var velkendt længe før differentialregning (og bliver lært
i gymnasiet før), så jeg gjorde bare som jeg ville forvente en datidig
matematiker ville, og noget, der ville kunne forstås af en
gymnasieelev.

Jeg ville i højere grad have forventet en eller anden ville brokke sig
over at jeg sagde sin(d) -> d når d -> 0, da den korrekte måde at sige
det på er at sin(d)/d -> 1 når d -> 0. Det kræver selvfølgelig også
et bevis, men det er ret nemt ved at se at cirkelbuen nærmer sig
lodret, når d -> 0.

   Torben

---

"Torben Ægidius Mogensen" wrote:
>
> > > Vi bruger nu formlen for sin(x+d) = sin(x)cos(d)+cos(x)sin(d) og
>
> Sumformlen var velkendt længe før differentialregning (og bliver lært
> i gymnasiet før),

Nej, sumformlen/additionsformlen læres slet ikke i gymnasiet i dag.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

> "Torben Ægidius Mogensen" wrote:
> >
> > > > Vi bruger nu formlen for sin(x+d) = sin(x)cos(d)+cos(x)sin(d) og
> >
> > Sumformlen var velkendt længe før differentialregning (og bliver lært
> > i gymnasiet før),
>
> Nej, sumformlen/additionsformlen læres slet ikke i gymnasiet i dag.

Jeg er rystet.

   Torben

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
> Nej, sumformlen/additionsformlen læres slet ikke i gymnasiet i dag.
Siden hvornår?


- Martin

---

"Martin C. Petersen" <nospam@fyrreklitten.dk> writes:

> Jeppe Stig Nielsen wrote:
> > Nej, sumformlen/additionsformlen læres slet ikke i gymnasiet i dag.
> Siden hvornår?

Jeg blev student i 1995 og har ikke lært den.

Søren

---

Søren Galatius Smith wrote:
>>>Nej, sumformlen/additionsformlen læres slet ikke i gymnasiet i dag.
> Jeg blev student i 1995 og har ikke lært den.
Så må den være blevet genindført - selv blev jeg student i 2001 og vi
havde den som obligatorisk stof.


- Martin

---

"Martin C. Petersen" wrote:
>
> Søren Galatius Smith wrote:
> >>>Nej, sumformlen/additionsformlen læres slet ikke i gymnasiet i dag.
> > Jeg blev student i 1995 og har ikke lært den.
> Så må den være blevet genindført - selv blev jeg student i 2001 og vi
> havde den som obligatorisk stof.

Er det htx eller alment gymnasium? På det almene gymnasium er formlen
svjv. overhovedet ikke obligatorisk. Jeg tvivler på den har været det
siden »grengymnasiet« (matematisk-fysisk linje).

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
> "Martin C. Petersen" wrote:
>> Søren Galatius Smith wrote:
>>>>> Nej, sumformlen/additionsformlen læres slet ikke i gymnasiet i
>>>>> dag.
>>> Jeg blev student i 1995 og har ikke lært den.
>> Så må den være blevet genindført - selv blev jeg student i 2001 og vi
>> havde den som obligatorisk stof.
>
> Er det htx eller alment gymnasium? På det almene gymnasium er formlen
> svjv. overhovedet ikke obligatorisk. Jeg tvivler på den har været det
> siden »grengymnasiet« (matematisk-fysisk linje).

Måske har Martin haft den som del af et valgfrit emne i 3.g?
Den har så været "obligatorisk" for ham

--
Jens Axel Søgaard

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
>>>>>Nej, sumformlen/additionsformlen læres slet ikke i gymnasiet i dag.
> Er det htx eller alment gymnasium? På det almene gymnasium er formlen
> svjv. overhovedet ikke obligatorisk. Jeg tvivler på den har været det
> siden »grengymnasiet« (matematisk-fysisk linje).
Alment - det står ellers i bekendtgørelsen af 1999:
http://us.uvm.dk/gymnasie//almen/lov/bilag23.htm


- Martin

---

"Martin C. Petersen" <nospam@fyrreklitten.dk> writes:

> Alment - det står ellers i bekendtgørelsen af 1999:
> http://us.uvm.dk/gymnasie//almen/lov/bilag23.htm

Er det "Sinus, cosinus og tangens." du hentyder til. Det passer da
meget godt på det vi lærte i '91, men vi fik heller ikke lige den
formel med. Der var specialtilfældet sin(2x)=2sin(x)cos(x), men jeg
mindes ikke at have set den generelle formel. Hmm, selv med matematik
som sidefag havde jeg stadig ikke set den før.

Disclaimer: Det kan bare være jeg har glemt den. Jeg kan heller aldrig
huske hvordan man differentierer en sammensat funktion...

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
'Faith without judgment merely degrades the spirit divine.'

---

Lasse Reichstein Nielsen wrote:

>>Alment - det står ellers i bekendtgørelsen af 1999:
>>http://us.uvm.dk/gymnasie//almen/lov/bilag23.htm
>
>
> Er det "Sinus, cosinus og tangens." du hentyder til. Det passer da
> meget godt på det vi lærte i '91, men vi fik heller ikke lige den
> formel med. Der var specialtilfældet sin(2x)=2sin(x)cos(x), men jeg
> mindes ikke at have set den generelle formel. Hmm, selv med matematik
> som sidefag havde jeg stadig ikke set den før.
Citat fra bekendtgørelsen (ad 2. geometri og vektorer):
"For sinus og cosinus udledes desuden additionsformlerne og formlerne
for den dobbelte vinkel."


- Martin

---

"Martin C. Petersen" wrote:
>
> Citat fra bekendtgørelsen (ad 2. geometri og vektorer):
> "For sinus og cosinus udledes desuden additionsformlerne og formlerne
> for den dobbelte vinkel."

Ja, det har du ret i. Jeg tog fejl her.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
>
> "Martin C. Petersen" wrote:
> >
> > Citat fra bekendtgørelsen (ad 2. geometri og vektorer):
> > "For sinus og cosinus udledes desuden additionsformlerne og formlerne
> > for den dobbelte vinkel."
>
> Ja, det har du ret i. Jeg tog fejl her.

Med fare for at tage fejl igen vil jeg gætte på at det er noget der
er genindført samtidig med introduktionen af det treårige forløb til
A-niveau. Hvis man tager toårigt B-niveau efterfulgt af etårigt A-
niveau, møder man ikke (nødvendigvis) additionsformlerne.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
> Jeppe Stig Nielsen wrote:
>> "Martin C. Petersen" wrote:
>>>
>>> Citat fra bekendtgørelsen (ad 2. geometri og vektorer):
>>> "For sinus og cosinus udledes desuden additionsformlerne og
>>> formlerne for den dobbelte vinkel."
>>
>> Ja, det har du ret i. Jeg tog fejl her.
>
> Med fare for at tage fejl igen vil jeg gætte på at det er noget der
> er genindført samtidig med introduktionen af det treårige forløb til
> A-niveau. Hvis man tager toårigt B-niveau efterfulgt af etårigt A-
> niveau, møder man ikke (nødvendigvis) additionsformlerne.

Hmm. Vi har nok kigget for meget i eksamensopgaverne...
Findes der vejledende eksamensopgaver, hvor de optræder?
Hvis ikke kan der "vist nok" først stilles opgaver i det, når det
udkommer en ny.

Men det varer vel heller ikke så længe inden, at matematikbekendtgørelsen
skal ændres.

--
Jens Axel Søgaard

---

On Wed, 15 May 2002 23:35:08 +0200, Søren Galatius Smith wrote:

> Jeg blev student i 1995 og har ikke lært den.

Så er det da på tide, du lærer den

-> Michael Knudsen

P.S. Det er her IKKE sjovt!

---

Morten wrote:
> Jeg vil gerne spørge, om der nogen kan hjælpe mig med, at bevise
> sætningerne om defferention af sinus og cosinus funktionerne, enten
> direkte her i nyhedsgruppen ...

Hej Morten.

Bliv nu ikke helt overvældet af de mange indlæg.
Det er ikke så galt som det ser ud til at være -
det er kun, hvis man vil have /alle/ detaljer med,
at det bliver svært.

Er det et bevis i en lærebog, der volder problemer?
Hvis det er, så vil du få bedre hjælp, hvis du fortæller,
hvad der står i bogen, og hvor der er problemer.

(Fortæl også gerne, hvilken bog du har - men husk
at ikke alle har den.)

Mvh.,
Jens Axel Søgaard

---

> Hej Morten.
>
> Bliv nu ikke helt overvældet af de mange indlæg.
> Det er ikke så galt som det ser ud til at være -
> det er kun, hvis man vil have /alle/ detaljer med,
> at det bliver svært.
>
> Er det et bevis i en lærebog, der volder problemer?
> Hvis det er, så vil du få bedre hjælp, hvis du fortæller,
> hvad der står i bogen, og hvor der er problemer.
>
> (Fortæl også gerne, hvilken bog du har - men husk
> at ikke alle har den.)
>
> Mvh.,
> Jens Axel Søgaard
>
Hej.
Jeg er meget taknemmelig for de mange indlæg som mit spørgsmål har
tilvejebragt. Jeg er selv meget interesseret i matematik, men har pt. noget
svært ved at forstå alle detajlerne i de mange indlæg, som er kommet. Jeg
ville i første omgang, kun se have bevise(r) på de trigonometriske
funktioner. I den forbindelse ville jeg meget gerne vide, hvor man kan hente
ydeligere viden fx. i form af revevant litteratur el. på internettet, om
beviser for defferention af de trigonemetriske funktioner og om
beviser/analyser vedrørende differention af forskellige funktioner generelt.
Jeg indrømmer, at mit matematiske niveau og viden ikke når særlig langt over
det er svarer til A-niveau i gymnasiet.

Hilsen Morten
mozart@mobilixnet.dk

---

Morten skrev:

> Jeg ville i første omgang, kun se have bevise(r) på de
> trigonometriske funktioner. I den forbindelse ville jeg meget gerne
> vide, hvor man kan hente ydeligere viden fx. i form af revevant
> litteratur el. på internettet, om beviser for defferention af de
> trigonemetriske funktioner og om beviser/analyser vedrørende
> differention af forskellige funktioner generelt.

Det er svært at finde lærebøger i matematik på nettet.
Mit bedste bud er få lov til at se matematiksamlingen.
Kig efter 2.g bøger. Som Simon nævner et sted er
den gamle klassiske gymnasielærebog Kristensen og
Rindung ikke så tosset. De var meget grundige. Det
så godt som sikkert, at I har et eksemplar et sted.

Mvh,
--
Jens Axel Søgaard

---

"Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> writes:

> Morten skrev:
>
> > Jeg ville i første omgang, kun se have bevise(r) på de
> > trigonometriske funktioner. I den forbindelse ville jeg meget gerne
> > vide, hvor man kan hente ydeligere viden fx. i form af revevant
> > litteratur el. på internettet, om beviser for defferention af de
> > trigonemetriske funktioner og om beviser/analyser vedrørende
> > differention af forskellige funktioner generelt.
>
> Det er svært at finde lærebøger i matematik på nettet.
> Mit bedste bud er få lov til at se matematiksamlingen.
> Kig efter 2.g bøger. Som Simon nævner et sted er
> den gamle klassiske gymnasielærebog Kristensen og
> Rindung ikke så tosset. De var meget grundige. Det
> så godt som sikkert, at I har et eksemplar et sted.

Selv om der er et lille problem med Kristensen og Rindungs bevis for
differentiabilitet af sinus, så er deres lærebogssystem helt
fantastisk. Der er forældede kapitler (brug af regnestok o.lign.), men
de øvrige dele er ganske fortræffelige. Jeg vil anbefale dem til snart
sagt al matematik på gymnasieniveau. Jeg er forøvrigt ikke (mig
bekendt) i familie med den ene forfatter, så der er ikke tale om en
familietjeneste

--
Simon Kristensen

---

"Morten" <mozart@mobilixnet.dk> posting:

>ville i første omgang, kun se have bevise(r) på de trigonometriske

Her er i hvert fald noget konkret at tage fat på -- indscannet fra
en B-niveausbog ("Matematik HF tilvalg", Axelsen, Bøttcher,
Schrøder)

http://home12.inet.tele.dk/chrmax/temp/tri-dif1.gif
http://home12.inet.tele.dk/chrmax/temp/tri-dif2.gif

--
/CBH
Computerspil..phff.. http://my.opera.com/graphics/pondus/2002/05/02.gif
Mobilnørder..phff.. http://my.opera.com/graphics/pondus/2002/04/27.gif
Cool.. phff.. http://my.opera.com/graphics/pondus/2002/04/24.gif

---

Disse grafiske illustrationer er gode.

http://www.itc.fa.dk/software/ies-math/calculus/applets/LimSinX/LimSinX.html
http://www.itc.fa.dk/software/ies-math/calculus/applets/difsin2/difsin2.html

De gør det dog ikke ud for et bevis.

--
Jens Axel Søgaard