---

Hejsa,

Er der nogen, der har en idé (og kan give mig et hint) om, hvordan man kan
påvise, at det naturlige tal

k = (2n-1)*2^(m-1), n,m \in N; k>1

kan antage alle lige værdier. Primtalsfaktorisering kan vist benyttes, da
det er kendt, at k kan opløses i primfaktorer. Problemstillingen er opstået
fra "Hilberts Hotel".

På forhånd tak!

--
Jens Pedersen

---

"Jens Pedersen" <honesvamp@hotmail.com> writes:

> Hejsa,
>
> Er der nogen, der har en idé (og kan give mig et hint) om, hvordan man kan
> påvise, at det naturlige tal
>
> k = (2n-1)*2^(m-1), n,m \in N; k>1
>
> kan antage alle lige værdier.

Det kan også antage alle ulige værdier.

> Primtalsfaktorisering kan vist benyttes, da
> det er kendt, at k kan opløses i primfaktorer.

Opløs k i primfaktorer p1^k1*p2^k2*..., hvor p1, p2, ... er forskellige
primtal, og vi kan antage p1<p2<...

Hvis k var lige er p1=2, i så fald sætter du m=k1+1 og vælger n så det
løser ligningen 2n-1=p2^k2*p3^k3*... som har en heltallig løsning da
p2,p3,... og dermed produktet er ulige.

Hvis k var ulige sætter du m=1, og inkluderer p1^k1 i ligningen for n.

> Problemstillingen er opstået
> fra "Hilberts Hotel".

Jeg kan ikke se hvad det har med "Hilberts hotel" at gøre, kan du ikke
forklare det nærmere?

..Henrik

--
"Det er fundamentalt noget humanistisk vås, at der er noget,
der hedder blød matematik."
--- citat Henrik Jeppesen, dekan for det naturvidenskabelige fakultet

---

Henrik Christian Grove wrote:
>
> > påvise, at det naturlige tal
> >
> > k = (2n-1)*2^(m-1), n,m \in N; k>1
> >
> > kan antage alle lige værdier.
>
> Jeg kan ikke se hvad det har med "Hilberts hotel" at gøre, kan du ikke
> forklare det nærmere?

Så vidt jeg kan se, etablerer ligningen en 1-1-korrespondence mellem
mængden af naturlige tal k , og mængden af talpar (n,m) hvor n og
m er naturlige.

Man kan derfor fx slutte at N og N² har samme kardinalitet.

Hilberts hotel har derfor plads til alle de gæster der kan stå i en
»matrix« med uendeligt mange søjler og rækker.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Henrik Christian Grove" <grove@sslug.dk> skrev i en meddelelse
news:lasn7wcndt.fsf@server.fsr.ku.dk...

> Jeg kan ikke se hvad det har med "Hilberts hotel" at gøre, kan du ikke
> forklare det nærmere?

Det skal påvises, at alle værelserne på Hilberts Hotel bliver benyttet. Dvs.
ingen værelser står tomme.
Kø nr. n anbringes i værelserne

2^(n-1),3*2^(n-1),5*2^(n-1),...,(2m-1)*2^(n-1),...

For køen n=1 giver det talfølgen:

1,3,5,...,2n-1,...

Altså er alle de ulige værelsesnumre benyttet.
Der står så tilbage at påvise, at alle lige værelsesnumre er benyttet.
Derfor skal det vel vises, at det naturlige tal

k = (2m-1)*1^(2n-1)

kan antage alle lige værdier.

--
Jens Pedersen

---

Scripsit "Jens Pedersen" <honesvamp@hotmail.com>

> Altså er alle de ulige værelsesnumre benyttet.
> Der står så tilbage at påvise, at alle lige værelsesnumre er benyttet.
> Derfor skal det vel vises, at det naturlige tal

> k = (2m-1)*1^(2n-1)

> kan antage alle lige værdier.

Du mener vel

k = (2m-1)*2^(n-1)

Men at behandle de ulige tal som et særtilfælde gør bare opgaven
mere besværlig, når nu det hele kan klares i en omgang:

Primfaktoriser alle værelsesnumrene. Værelse nummer
2^a1 * 3^a2 * 5^a3 * ....
svarer til k netop for n = a1+1 og m = (3^a2 * 5^a3 ... + 1)/2
idet tælleren i brøken for m er lige fordi alle primtallene i
produktet er ulige.

--
Henning Makholm "No one seems to know what
distinguishes a bell from a whistle."

---

Jens Pedersen skrev:

>Er der nogen, der har en idé (og kan give mig et hint) om, hvordan man kan
>påvise, at det naturlige tal

>k = (2n-1)*2^(m-1), n,m \in N; k>1

>kan antage alle lige værdier.

Et vilkårligt lige tal er enten en potens af 2 eller også har det
en ulige faktor. Det er ligegyldigt om denne faktor er et primtal
eller et produkt af flere.

--
Bertel
http://lundhansen.dk/bertel/   FIDUSO: http://fiduso.dk/