---

Hej allesammen

Min forelæser i sandsynlighedsteori kom i dag med en sætning, som han sagde
var temmelig svær at bevise. Han sagde endvidere, at han godt ville give 10
øl til den af os studerende der først kom med et bevis. Men jeg har ikke
tænkt mig at forsøge selv, da jeg ikke har nogen anelse om hvordan det skal
gøres, og gider heller ikke at bruge tid på det. Men det kunne jo være at en
af jer lige havde dette bevis liggende et sted, eller ville synes det var
sjovt at forsøge. Men her kommer i hvert fald sætningen:

Hvis en uendelig sum fra n=1 til uendelig af a_n er konvergent, men den
uendelige sum fra n=1 til uendelig af |a_n| er divergent,
s
å vil der for ethvert x i de reelle tal eksistere en funktion sigma, fra de
naturlige tal, til de naturlige tal, som er bijektiv,

så den uendelige sum fra n=1 til uendelig af a_sigma(n) = x.

Forstår i min tekstuelle udgave af denne sætning? og er der nogen der kan
hjælpe mig med et bevis.

På forhånd tak
Henrik Davidsen

---

Henrik Davidsen wrote:

> Hej allesammen


Hej!


> Min forelæser i sandsynlighedsteori kom i dag med en sætning, som han sagde
> var temmelig svær at bevise. Han sagde endvidere, at han godt ville give 10
> øl til den af os studerende der først kom med et bevis.


Gode gamle Hoffmann

> Hvis en uendelig sum fra n=1 til uendelig af a_n er konvergent, men den
> uendelige sum fra n=1 til uendelig af |a_n| er divergent,


En sådan række kaldes "betinget konvergent".


> så vil der for ethvert x i de reelle tal eksistere en funktion sigma, fra de
> naturlige tal, til de naturlige tal, som er bijektiv,
>
> så den uendelige sum fra n=1 til uendelig af a_sigma(n) = x.
>
> Forstår i min tekstuelle udgave af denne sætning? og er der nogen der kan
> hjælpe mig med et bevis.


Ja, sagt lidt mere løst: Du kan få et hvilket som
helst reelt tal, hvis bare du summer tallene i den
rigtige rækkefølge.

Et hint: Vis, at der må findes uendeligt mange
negative og uendeligt mange positive tal i summen.
Lad epsilon > 0 og x reel være givet. Bliv ved med
at lægge positive tal sammen, indtil du er over x.
Læg da negative tal til, indtil du er under x. Læg
igen positive tal til, indtil du er over x etc....

Til sidst: Formaliser det!

God fornøjelse!

-> Michael Knudsen

> På forhånd tak


Derfor ikke.

---

Henrik Davidsen wrote:
>
> Hvis en uendelig sum fra n=1 til uendelig af a_n er konvergent, men den
> uendelige sum fra n=1 til uendelig af |a_n| er divergent,
> s
> å vil der for ethvert x i de reelle tal eksistere en funktion sigma, fra de
> naturlige tal, til de naturlige tal, som er bijektiv,
>
> så den uendelige sum fra n=1 til uendelig af a_sigma(n) = x.

Som Michael også skriver siger sætningen at man kan opnå enhver sum x
ved at omordne (permutere) leddene. Man kan også få summen x=+oo eller
x=-oo.

Dette gælder hvis både delsummen af de negative led a_n<0 og delsummen
af de positive led a_n>0 divergerer, og hvis følgen af alle leddene
går imod 0.

Hvis man tillader a_n at være komplekse tal, bliver det nok temmelig
anderledes. I en betinget konvergent række af komplekse tal kan man
sikkert godt ændre summen ved at omordne leddene, men man kan ikke
altid få enhver sum z frem på denne måde.

Har man for resten ikke beviset for din sætning i kurset Mat 11?

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:


> Har man for resten ikke beviset for din sætning i kurset Mat 11?


Det havde man ikke, da jeg havde det i 2000/2001.
Lærebogen er vist stadig den samme.

-> Michael Knudsen

---

Michael Knudsen wrote:
>
> Jeppe Stig Nielsen wrote:
>
>
> > Har man for resten ikke beviset for din sætning i kurset Mat 11?
>
> Det havde man ikke, da jeg havde det i 2000/2001.
> Lærebogen er vist stadig den samme.

I Tage Gutmanns noter som vi havde i Mat 11, er det Bemærkning 5 i
kapitel X, §6. Der er dog kun anført en skitse til et bevis. Men mon
ikke Ebbe (forelæseren) tog det i pinlige detaljer? Dét tror jeg nok
han gjorde.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:


> I Tage Gutmanns noter som vi havde i Mat 11, er det Bemærkning 5 i
> kapitel X, §6. Der er dog kun anført en skitse til et bevis. Men mon
> ikke Ebbe (forelæseren) tog det i pinlige detaljer? Dét tror jeg nok
> han gjorde.


Ebbe gjorde det ikke paa vores aargang. Jeg mener,
at udtrykket "betinget konvergent raekke" bliver
naevnt i Ebbes noter, men saa er der i hvert fald
ikke mere om det. Jeg tror, at det kom som et chok
for mange, da Hoffmann i SS1 stillede hin opgave.
Paa det tidspunkt havde man stadig den
forstilling, at uendelige raekker (som dem i
mat11) opfoerte sig skikkeligt, ogsaa selv om ikke
alle ledene var (semi)positive.

-> Michael Knudsen

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:

> I Tage Gutmanns noter ...

Skriiig...

-Claus

---

Claus Rasmussen <clr@cc-consult.dk> writes:

> Jeppe Stig Nielsen wrote:
>
> > I Tage Gutmanns noter ...
>
> Skriiig...

Forhåbentlig et fan-hysteri-skrig. Jeg tager stadig mine Gutmann-noter
frem, når jeg har glemt et eller andet elementært. Gutmann Forever!

Simon

--
The good Christian should beware of mathematicians, and all those who
make empty prophecies. The danger already exists that the
mathematicians have made a covenant with the devil to darken the
spirit and to confine man in the bonds of Hell. -- St. Augustin

---

Simon Kristensen wrote:
> Forhåbentlig et fan-hysteri-skrig. Jeg tager stadig mine Gutmann-noter
> frem, når jeg har glemt et eller andet elementært. Gutmann Forever!

Store ting/folk/handlinger altid har en polariserende effekt på folk.
Enten er de 110% for eller 110% imod, ligesom LotR og softwarepatenter.

Jeg har også stadig mine Gutmann noter, men dog ikke på mig.
Jeg kan også stadig huske da Gutmann forklarede løsningen
på det spørgsmål denne tråd handler om, det tilfældige tal
x var selvfølgeligt 42 (der jo er det mindst tilfældige af
alle hele tal ;*). Så Mat 1Ma er da ikke helt glemt.

--
Mvh. Carsten Svaneborg
Hvilke softwarepatenter har du krænket idag?
se http://www.softwarepatenter.dk for at finde ud af det.

---

Carsten Svaneborg <See_organization@for_email.in.de> writes:

> Simon Kristensen wrote:
> > Forhåbentlig et fan-hysteri-skrig. Jeg tager stadig mine Gutmann-noter
> > frem, når jeg har glemt et eller andet elementært. Gutmann Forever!
>
> Store ting/folk/handlinger altid har en polariserende effekt på folk.
> Enten er de 110% for eller 110% imod, ligesom LotR og softwarepatenter.
>
> Jeg har også stadig mine Gutmann noter, men dog ikke på mig.
> Jeg kan også stadig huske da Gutmann forklarede løsningen
> på det spørgsmål denne tråd handler om, det tilfældige tal
> x var selvfølgeligt 42 (der jo er det mindst tilfældige af
> alle hele tal ;*). Så Mat 1Ma er da ikke helt glemt.

Jeg har aldrig haft fornøjelsen af at se Gutmann forelæse, da jeg
havde Mat11 i Århus og ikke Mat 1Ma i København. Til gengæld har jeg
også min favorit-passage fra noterne (Indledningen til IV.3 efter at
have nævnt integral- og differential-regningens hovedsætning):

"Det er differential- og integralregningens krondiamant, men de
studerende har brugt den som værktøj så ofte, at kun få ænser dens
glans."

Så er det ligesom sagt!

Simon

--
The good Christian should beware of mathematicians, and all those who
make empty prophecies. The danger already exists that the
mathematicians have made a covenant with the devil to darken the
spirit and to confine man in the bonds of Hell. -- St. Augustin

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
>
> Som Michael også skriver siger sætningen at man kan opnå enhver sum x
> ved at omordne (permutere) leddene. Man kan også få summen x=+oo eller
> x=-oo.

Endelig kan man omordne således at følgen af afsnitssummer får limsup
lig med +oo og samtidig liminf lig med -oo, altså en ret »voldsom«
divergens.

Denne følge af afsnitssummer bliver jo tæt i R.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

> Hvis man tillader a_n at være komplekse tal, bliver det nok temmelig
> anderledes. I en betinget konvergent række af komplekse tal kan man
> sikkert godt ændre summen ved at omordne leddene, men man kan ikke
> altid få enhver sum z frem på denne måde.

Sjovt... Man bemærker i øvrigt at multiplikationen i c ikke er vigtig
i denne forbindelse, og at samme spørgsmål kan stilles i R^n: Givet
en række \sum v_i af vektorer i R^n, hvordan kan delmængden

{ \sum v_s(i) | s: N -> N en bijektion }

af R^n så se ud?


Søren

--
Søren Galatius Smith http://home.imf.au.dk/galatius/

---

Søren Galatius Smith wrote:
>
> Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:
>
> > Hvis man tillader a_n at være komplekse tal, bliver det nok temmelig
> > anderledes. I en betinget konvergent række af komplekse tal kan man
> > sikkert godt ændre summen ved at omordne leddene, men man kan ikke
> > altid få enhver sum z frem på denne måde.
>
> Sjovt... Man bemærker i øvrigt at multiplikationen i c ikke er vigtig
> i denne forbindelse, og at samme spørgsmål kan stilles i R^n: Givet
> en række \sum v_i af vektorer i R^n, hvordan kan delmængden
>
> { \sum v_s(i) | s: N -> N en bijektion }
>
> af R^n så se ud?

Aner det ikke... Et affint underrum?

Hvis nu én af »koordinat-rækkerne« er absolut konvergent, vil den
tilsvarende koordinat i sumvektoren være fast... På denne måde er
det vist let at skabe alle de affine underrum der er parallelle med
et underrum udspændt af nogle af koordinatakserne.

Men da vektoraddition egentlig er uafhængigt af valget af koordinat-
system, må man på denne måde kunne lave alle affine underrum.

Spørgsmplet er så om andre mængder end et affint underrum kan
fremkomme... En slags kegler, måske?

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit galatius+usenet@imf.au.dk (Søren Galatius Smith)

> Sjovt... Man bemærker i øvrigt at multiplikationen i c ikke er vigtig
> i denne forbindelse, og at samme spørgsmål kan stilles i R^n: Givet
> en række \sum v_i af vektorer i R^n, hvordan kan delmængden

> { \sum v_s(i) | s: N -> N en bijektion }

> af R^n så se ud?

Det er et irriterende godt spørgsmål. Som Jeppe siger må alle
sideunderrum kunne forekomme (uden tab af generalitet kan vi vel kræve
at den oprindelige række har sum 0, og så er det blot alle underrum
der er tale om). Men selv om min intuition er at de er de eneste
muligheder er det pokkers svært at finde et bevis, selv i 2
dimensioner.

--
Henning Makholm "... and that Greek, Thucydides"

---

Henning Makholm wrote:
>
> Scripsit galatius+usenet@imf.au.dk (Søren Galatius Smith)
>
> > Sjovt... Man bemærker i øvrigt at multiplikationen i c ikke er vigtig
> > i denne forbindelse, og at samme spørgsmål kan stilles i R^n: Givet
> > en række \sum v_i af vektorer i R^n, hvordan kan delmængden
>
> > { \sum v_s(i) | s: N -> N en bijektion }
>
> > af R^n så se ud?
>
> Det er et irriterende godt spørgsmål. Som Jeppe siger må alle
> sideunderrum kunne forekomme (uden tab af generalitet kan vi vel kræve
> at den oprindelige række har sum 0, og så er det blot alle underrum
> der er tale om). Men selv om min intuition er at de er de eneste
> muligheder er det pokkers svært at finde et bevis, selv i 2
> dimensioner.

Der er dog et »hul« i mit argument for at ethvert affint underrum kan
forekomme. Umiddelbart er det kun indlysende at ethvert 0- eller 1-
dimensionalt affint underrum kan forekomme.

Hvordan laver man en række af led fra R² som ved omordning af leddene
kan give ethver sum x i R²?

Jeg tror dog også at svaret på Galatius' spørgsmål er at det netop er
de affine underrum der kan fremkomme på denne måde.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
>
> Der er dog et »hul« i mit argument for at ethvert affint underrum kan
> forekomme. Umiddelbart er det kun indlysende at ethvert 0- eller 1-
> dimensionalt affint underrum kan forekomme.
>
> Hvordan laver man en række af led fra R² som ved omordning af leddene
> kan give ethver sum x i R²?

Nå ja, men fletter vel bare med en masse nuller.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Betragt rækken

c + 0 + 0 + 0 + ...

der er absolut konvergent mod c (en skalar i R), og rækken

1/1 - 1/1 + 1/2 - 1/2 + 1/3 - 1/3 + 1/4 - ...

der er betinget konvergent og ved omordning af leddene kan bringes
til at få en vilkårlig sum r.

Ud fra disse udgangsrækker kan vi lave rækker med led fra R^n der
konvergerer mod alle punkter i et affint underrum af typen

{ (c1,c2,...,ck,r1,r2,...,rj) | ri tilhører R } (*)

hvor ci'erne er konstanter.

Man tager nemlig bare de n standardrækker af typen jeg nævnte øverst,
og ganger dem med standardbasisvektorerne ei (for i=1,...,n; hver række
ganges med én af disse) og fletter de resulterende tupel-led.

Øh, jeg håber I forstår.

Dermed er det bevist at ethvert affint underrum kan fremkomme (hvis
underrummet ikke er på formen (*) vælger man bare en anden koordinati-
sering af R^n som bringer det på denne form).

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Carsten Svaneborg <See_organization@for_email.in.de> writes:

> x var selvfølgeligt 42 (der jo er det mindst tilfældige af
> alle hele tal ;*). Så Mat 1Ma er da ikke helt glemt.

Vrøvl. Det mindst(e) tilfældig() tal er 17.

--
Når folk spørger mig, om jeg er nørd, bliver jeg altid ilde til mode
og svarer lidt undskyldende: "Nej, jeg bruger RedHat".
-- Allan Olesen på dk.edb.system.unix

---

Peter Makholm wrote:
>> x var selvfølgeligt 42 (der jo er det mindst tilfældige af
>> alle hele tal ;*).
> Vrøvl. Det mindst(e) tilfældig() tal er 17.

Hvordan kan 17 være mindre tilfældigt end 42 ? ;?)

Laver vi en demokratisk afstemning, hvor folk får lov til
at vælge et tilfældigt tal mellem 0 og 99, så vil der
sandsyneligvis være en peak ved 42, mens resten er fladt,
ergo er 42 mindre tilfældigt end andre tal mellem 0 og 99.

--
Mvh. Carsten Svaneborg
Hvilke softwarepatenter har du krænket idag?
Se http://www.softwarepatenter.dk

---

Carsten Svaneborg <See_organization@for_email.in.de> writes:

> Hvordan kan 17 være mindre tilfældigt end 42 ? ;?)

Hele joken 'The least random number' knytter sig til 17. 42 er en helt
anden joke.

Proof by Authority:
http://www.tuxedo.org/~esr/jargon/html/entry/random-numbers.html


--
Når folk spørger mig, om jeg er nørd, bliver jeg altid ilde til mode
og svarer lidt undskyldende: "Nej, jeg bruger RedHat".
-- Allan Olesen på dk.edb.system.unix

---

Peter Makholm wrote:
> Proof by Authority
;*)

--
Mvh. Carsten Svaneborg
Hvilke softwarepatenter har du krænket idag?
Se http://www.softwarepatenter.dk