---

Hej

Hvilke fremgangsmåder kan man anvende til at finde irreducible polynomier f
tilhørende F_p^n[X] af en given grad d, hvor p er et primtal og F_p^n er et
legeme med p^n elementer?

Helt konkret har jeg at gøre med F_2[X] og bliver bedt om at finde to
irreducible polynomier f og g af grad 6 i F_2[X] (Opgave 1.c,
http://home.imf.au.dk/~niels/Alg1/eksjun01.ps)

Forinden har jeg vist at x, x+1, x^2+x+1, x^3+x+1 og x^3+x^2+1 er
de eneste irreducible polynomier af hhv. grad 1, 2 og 3. Jeg formoder at
disse oplysninger skal benyttes på en eller anden måde, men jeg kan ikke
lige se hvordan.

Jeg har gættet mig til x^6+x+1 og x^6+x^2+1 da de ikke har nogen rødder i
F_2, men det er jo ikke ensbetydende med at de er irreducible. Hvordan
viser man at de er irreducible på en let måde?

Man kan jo gøre det ved at dividere med samtlige irreducible polynomier af
grad 5 og derunder og konstatere at resten ikke bliver 0 idet man anvender
at F_2[X] er et entydigt faktoriseringsområde. Dermed må polynomierne være
irreducible. Denne fremgangsmåde synes jeg dog er lidt for tidskrævende i
en eksamenssituation - desuden kender jeg heller ikke de irreducible
polynomier af grad 4 og 5.

--
Jonas Kongslund <jonas(at)kongslund.dk> XNS: =Jonas Kongslund

When you want to change the world, you don't see the dawn by
getting up early - you see it by not sleeping through the night.

---

Scripsit Jonas Kongslund <gamma@post.tele.dk>

> Helt konkret har jeg at gøre med F_2[X] og bliver bedt om at finde to
> irreducible polynomier f og g af grad 6 i F_2[X] (Opgave 1.c,

> Forinden har jeg vist at x, x+1, x^2+x+1, x^3+x+1 og x^3+x^2+1 er
> de eneste irreducible polynomier af hhv. grad 1, 2 og 3. Jeg formoder at

> grad 5 og derunder og konstatere at resten ikke bliver 0 idet man anvender
> at F_2[X] er et entydigt faktoriseringsområde. Dermed må polynomierne være
> irreducible. Denne fremgangsmåde synes jeg dog er lidt for tidskrævende i
> en eksamenssituation - desuden kender jeg heller ikke de irreducible
> polynomier af grad 4 og 5.

Tidspresset har jeg ikke nogen ide til - men det er ikke nødvendigt at
kende de irreducible polynomier af grad 4 og 5 - idet et polynomium af
grad 6 enten vil være irreducibelt eller have et polynomium af grad 1,
2 eller 3 som (mindste) faktor.
--
Henning Makholm "Check the sprog."

---

Henning Makholm wrote:

> Tidspresset har jeg ikke nogen ide til - men det er ikke nødvendigt at
> kende de irreducible polynomier af grad 4 og 5 - idet et polynomium af
> grad 6 enten vil være irreducibelt eller have et polynomium af grad 1,
> 2 eller 3 som (mindste) faktor.

Nå ja, det er jo egentligt ganske indlysende! Nogen gange kan man ikke se
skoven for bare træer.

--
Jonas Kongslund <jonas(at)kongslund.dk> XNS: =Jonas Kongslund

When you want to change the world, you don't see the dawn by
getting up early - you see it by not sleeping through the night.

---

Scripsit Jonas Kongslund <gamma@post.tele.dk>

> Man kan jo gøre det ved at dividere med samtlige irreducible polynomier af
> grad 5 og derunder og konstatere at resten ikke bliver 0 idet man anvender
> at F_2[X] er et entydigt faktoriseringsområde.

Hvad skal du bruge entydig faktorisering til?

--
Henning Makholm "We can build reactors, we can melt
ice. Or engineers can be sent north for
re-education until they *do* understand ice."

---

Henning Makholm wrote:

> Hvad skal du bruge entydig faktorisering til?

For at sikre mig at alle elementer != 0 har en irreducibel faktorisering.

--
Jonas Kongslund <jonas(at)kongslund.dk> XNS: =Jonas Kongslund

When you want to change the world, you don't see the dawn by
getting up early - you see it by not sleeping through the night.

---

Scripsit Jonas Kongslund <gamma@post.tele.dk>
> Henning Makholm wrote:

> > Hvad skal du bruge entydig faktorisering til?

> For at sikre mig at alle elementer != 0 har en irreducibel faktorisering.

Det behøver du da ikke *entydig* faktorisering til, når bare ringen er
euklidisk?

--
Henning Makholm "They want to be natural, the anti-social
little beasts. They just don't realize that
everyone's good depends on everyone's cooperation."

---

Henning Makholm wrote:
> Det behøver du da ikke *entydig* faktorisering til, når bare ringen er
> euklidisk?

Korrekt. Det var mest dovenskab fra min side da det fulgte let af en
sætning i min lærebog som jeg lige kunne huske nummeret på (jeg træner til
eksamen og der skal man jo lave sætningshenvisninger hele tiden)

--
Jonas Kongslund <jonas(at)kongslund.dk> XNS: =Jonas Kongslund

When you want to change the world, you don't see the dawn by
getting up early - you see it by not sleeping through the night.

---

Henning Makholm wrote:


> Det behøver du da ikke *entydig* faktorisering til, når bare ringen er
> euklidisk?


En euklidisk ring er automatisk UFD.

-> Michael Knudsen

---

Scripsit Michael Knudsen <knudsen@imf.au.dk>
> Henning Makholm wrote:

> > Det behøver du da ikke *entydig* faktorisering til, når bare ringen er
> > euklidisk?

> En euklidisk ring er automatisk UFD.

Hm, ja. Hvad jeg vistnok *mente* var at selv om ringen er UFD har man
alligevel brug for at argumentere for at eventuelle faktorer i
polynomiet har lavere grad - derved har man allerede vist betingelsen
for at faktorisering (ikke nødvendigvis unik) findes, og at
faktoriseringen er unik udnyttes ikke i den pågældende opgave.

--
Henning Makholm "*Her* sidder jaj & har *ild* bå cigarren
*imens* Pelle Jönsson i Nordnorge har mavepine."

---

Michael Knudsen wrote:
>
> Henning Makholm wrote:
>
> > Det behøver du da ikke *entydig* faktorisering til, når bare ringen er
> > euklidisk?
>
> En euklidisk ring er automatisk UFD.

Øhm, at et element ikke er irreducibelt betyder vel at det kan skrives
som et produkt af to (ikke-invertible) elementer(?). Det skal man jo
ikke bruge UFD til, det gælder i enhver ring.

Hvis ringen derudover er "gradueret" som nu en polynomiumsring, så kan
man jo sige noget om graden af faktorerne i forhold til graden af det
oprindelige element.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>

> Øhm, at et element ikke er irreducibelt betyder vel at det kan skrives
> som et produkt af to (ikke-invertible) elementer(?). Det skal man jo
> ikke bruge UFD til, det gælder i enhver ring.

Nej, men for at kunne nøjes med at prøve at dividere med irreducible
elementer er man nødt til mindst at have irreducibel faktorisering. [*]
Det er der vist temmelig få af hyldevare-sætninger der udtaler sig om,
så det er nok lettere at snuppe en der giver UFD.

[*] Fx i den delring af R der genereres af { e^(½^n) | n i N0 }
er elementet e ikke irreducibelt - idet e = e^½ * e^½ - men har
alligevel ingen irreducible faktorer.

> Hvis ringen derudover er "gradueret" som nu en polynomiumsring, så kan
> man jo sige noget om graden af faktorerne i forhold til graden af det
> oprindelige element.

Det var det jeg forsøgte at sige oprindeligt - men det er for længe
siden jeg har haft algebra, så jeg kom til at blande "gradueringen"
sammen med den størrelsesfunktion der bruges i "euklidisk"-begrebet.
Min fejl.

--
Henning Makholm "Der er ingen der sigter på slottet. D'herrer konger agter
at triumfere fra balkonen når de har slået hinanden ihjel."

---

Jonas Kongslund wrote:

> Hej

Hej Jonas. Kig eventuelt på http://home.imf.au.dk/knudsen/EksAlg1.pdf.
Jeg opdaterer den løbende med de
eksamensopgaver, jeg har regnet.

-> Michael Knudsen

---

Michael Knudsen wrote:

> Hej Jonas. Kig eventuelt på http://home.imf.au.dk/knudsen/EksAlg1.pdf.
> Jeg opdaterer den løbende med de
> eksamensopgaver, jeg har regnet.

Cool.

--
Jonas Kongslund <jonas(at)kongslund.dk> XNS: =Jonas Kongslund

When you want to change the world, you don't see the dawn by
getting up early - you see it by not sleeping through the night.

---

[klip]
> > Hej Jonas. Kig eventuelt på http://home.imf.au.dk/knudsen/EksAlg1.pdf.
> > Jeg opdaterer den løbende med de
> > eksamensopgaver, jeg har regnet.
[klip]

Goddag alle-sammen.

Adobe Acrobat filen som der henvises til ovenfor udviser mærkelig adfærd når
jeg forsøger at læse den med Acrobat Reader. Teksten er grim og kantet og
slet ikke rar at læse.

Dette synes jeg meget tit sker for pdf-filer med oprindelse i LaTeX. Hvis
man åbner samme fil med en moderne ghostviewer ser det rigtig flot ud, så
det er vel næppe pdf-filen i sig selv der er noget galt med.

Er der ikke en der kan forklare anomalien og evt. har gode råd til hvordan
man laver sin LaTeX om til pæne pdf-dokumenter der altid vises pænt?

Venlig hilsen Anders

---

Anders Borum wrote:


> Dette synes jeg meget tit sker for pdf-filer med oprindelse i LaTeX. Hvis
> man åbner samme fil med en moderne ghostviewer ser det rigtig flot ud, så
> det er vel næppe pdf-filen i sig selv der er noget galt med.


Netop derfor bør man holde sig langt væk fra pdf-formatet. Det er kun
for folk, der, guderne må
vide hvorfor, har valgt at bruge wintendo...

-> Michael Knudsen

---

Michael Knudsen wrote:
> Netop derfor bør man holde sig langt væk fra pdf-formatet. Det er kun
> for folk, der, guderne må
> vide hvorfor, har valgt at bruge wintendo...

....sagde manden, der lavede pdf-dokumentet



--
Jonas Kongslund <jonas(at)kongslund.dk> XNS: =Jonas Kongslund

When you want to change the world, you don't see the dawn by
getting up early - you see it by not sleeping through the night.

---

Jonas Kongslund wrote:


> ...sagde manden, der lavede pdf-dokumentet

....for at der (formodentlig) var flere, der kunne læse det...

-> Michael Knudsen

---

Michael Knudsen wrote:


> ...for at der (formodentlig) var flere, der kunne læse det...

Dette var jo også en mulighed...

http://home.imf.au.dk/knudsen/EksAlg1.tex

men det er ikke så læsevenligt

-> Michael Knudsen

---

Michael Knudsen wrote:
> Dette var jo også en mulighed...
>
> http://home.imf.au.dk/knudsen/EksAlg1.tex
>
> men det er ikke så læsevenligt

Der er vel ikke noget til hinder for at stille flere forskellige formater
til rådighed på samme tid?

- tex for dem der vil selv
- pdf for dem der ikke kan selv
- ps for dem der sikkert kan selv, men ikke gider

--
Jonas Kongslund <jonas(at)kongslund.dk> XNS: =Jonas Kongslund

When you want to change the world, you don't see the dawn by
getting up early - you see it by not sleeping through the night.

---

Michael Knudsen <knudsen@imf.au.dk> writes:

> Anders Borum wrote:
>
>
> > Dette synes jeg meget tit sker for pdf-filer med oprindelse i LaTeX. Hvis
> > man åbner samme fil med en moderne ghostviewer ser det rigtig flot ud, så
> > det er vel næppe pdf-filen i sig selv der er noget galt med.
>
>
> Netop derfor bør man holde sig langt væk fra pdf-formatet. Det er kun
> for folk, der, guderne må
> vide hvorfor, har valgt at bruge wintendo...

Vrøvl. Brug de rigtige pakker og en opdateret tex, så funker det.
Acroread (Adobe) understøtter ikke bitmap-skrifttyper (de sælger ikke
sådanne), så de bliver grimme i acroread. Åbn pdf'en med gsview og det
er smukt.

Hvis det skal blive pænt i acroread skal man bruge type 1-typer i
latex.

Det får man med
\usepackage[T1]{fontenc}

Hvis man så vil bruge danske tegn skriver man
\usepackage{ae}

eller bruger en rigtig postscript-type:
\usepackage{times}
eller
\usepackage{palatino}
eller
\usepackage{bookman}
eller

--
Brian (remove the sport for mail)
http://www.rk-speed.dk http://fiduso.dk http://sunsite.auc.dk/dk-tug
\TeX, tak.

---

Scripsit Brian Elmegaard <brian@rk-speed-rugby.dk>

> Det får man med
> \usepackage[T1]{fontenc}

> Hvis man så vil bruge danske tegn skriver man
> \usepackage{ae}

Har det nogen fordel frem for

\usepackage[latin1]{fontenc}

som bør virke uanset font-indkodningen?

XFUT dk.edb.tekst

--
Henning Makholm "It was intended to compile from some approximation to
the M-notation, but the M-notation was never fully defined,
because representing LISP functions by LISP lists became the
dominant programming language when the interpreter later became available."

---

Hej,

> eller bruger en rigtig postscript-type:
> \usepackage{palatino}

Jeg sad fornyligt med samme LaTeX->PDF problem, hvor jeg løste problemet
ved at bruge Palatino-fonten. Desværre virkede dette trick kun på
brødteksten, dvs. at matematiken stadig blev vist i en bitmap-font.
Hvordan løses dette problem?

--
Jens Kristian Søgaard, Mermaid Consulting ApS,
jens@mermaidconsulting.dk,
http://www.mermaidconsulting.com/

---

Anders Borum wrote:
> Er der ikke en der kan forklare anomalien

Anvender jeg xpdf så får jeg følgende advarsel

"Error: This document uses Type 3 fonts - some text may not be correctly
displayed"

og resultatet på skærmen er ulæseligt.

Jeg ved ikke hvad /fonttype/ dækker over i PDF-terminologi.

--
Jonas Kongslund <jonas(at)kongslund.dk> XNS: =Jonas Kongslund

When you want to change the world, you don't see the dawn by
getting up early - you see it by not sleeping through the night.

---

"Jens Kristian Søgaard" <jens@mermaidconsulting.dk> writes:

>> \usepackage{palatino}
>
> Jeg sad fornyligt med samme LaTeX->PDF problem, hvor jeg løste
> problemet ved at bruge Palatino-fonten. Desværre virkede dette trick
> kun på brødteksten, dvs. at matematiken stadig blev vist i en
> bitmap-font. Hvordan løses dette problem?

\usepackage{mathpple}

FUT: dk.edb.tekst

---

"Anders Borum" <aborum@hotmail.com> writes:

> Dette synes jeg meget tit sker for pdf-filer med oprindelse i
> LaTeX. Hvis man åbner samme fil med en moderne ghostviewer ser det
> rigtig flot ud, så det er vel næppe pdf-filen i sig selv der er noget
> galt med.
>
> Er der ikke en der kan forklare anomalien

Ja, Acrobat er ekstremt dårlig til at vise Type 3 fonte. (Mit gæt på
årsagen er at da Adobe ikke sælger Type 3 fonte, er de ikke
interesserede i at forbedre Acrobat på det punkt).

> og evt. har gode råd til hvordan man laver sin LaTeX om til pæne
> pdf-dokumenter der altid vises pænt?

Brug pdflatex, som producerer pdf i stedet for dvi, eller kald dvips som
"dvips -Ppdf". Endelig kan der være nogle problemer med om man har de
nødvendige skrifttyper installeret, her kan det hjælpe at bruge pakken
"ae", \usepackage{ae}.

Jeg har sat opfølgning til dk.edb.tekst.