---

Hej,

Jeg har et matematisk problem der kan reduceres til

a x = exp (x) - 1

og har brug for en løsning > 0.

Kan det løses analytisk? Hvis ikke, hvad er en god numerisk metode at
løse det på?

Og nej, det er ikke en hjemmeopgave, det er et rigtigt problem
(rodfordeling efter Gerwitz & Page hvis nogen er nysgerrige).

Mvh,

Per

---

Per Abrahamsen wrote:
> Jeg har et matematisk problem der kan reduceres til
> a x = exp (x) - 1

Hmm.. exp(x)=1+x-x²/2 +..

ax = x-x²/2 + x³/6..

a = 1-x/2 +x²/6 -..

Så til laveste orden er 2(1-a)=x approximaivt løsning,
næst laveste orden er en andengradsligning.

Hvis a>0 og a<1 så bør der være en løsning for x>0

Bemærk a = (exp(x)-1)/x = f(x)

Dvs. f^-1(a)=x så kan du finde den inverse til f så
er du flyvende. Der findes metoder til invertering af
powerseries, men jeg kender ikke noget til dem.

f^-1(y)=integral 1/(df/dx) dx fra 0 til y men det
er ikke et pænt udtryk.

> Hvis ikke, hvad er en god numerisk metode at
> løse det på?

g(x) = (exp(x)-1)/x-a = 0 du skal så bare finde nulpunkter
for g(x) fx. via Newton-Raphson eller en anden iterativ metode.

--
Carsten Svaneborg
http://www.mpip-mainz.mpg.de/~svanebor

---

Scripsit Carsten Svaneborg <carsten.svaneborg@se.organisation.header.se>
> Per Abrahamsen wrote:
> > Jeg har et matematisk problem der kan reduceres til

> > a x = exp (x) - 1

> Hvis a>0 og a<1 så bør der være en løsning for x>0

Når jeg tegner mig en graf fremgår det hurtigt at der er en positiv
løsning for a>1. For 0<a<1 er der en negativ løsning, og a<=0 giver 0
som eneste reelle løsning.

> g(x) = (exp(x)-1)/x-a = 0 du skal så bare finde nulpunkter
> for g(x) fx. via Newton-Raphson eller en anden iterativ metode.

Hvorfor ikke rent ud
h(x) = e^x-a-ax
Den er endda let at differentiere, og der synes ikke umiddelbart at
være store numeriske problemer med den naive iterationsformel.

--
Henning Makholm "We will discuss your youth another time."

---

Henning Makholm wrote:
>> g(x) = (exp(x)-1)/x-a = 0 du skal så bare finde nulpunkter
> Hvorfor ikke rent ud
> h(x) = e^x-a-ax

Det er fordi g(-x) er Hammoudas udtryk for form faktor amplituden
(FFA) fra en Gaussisk polymer med x=(qRg)²/6, hvor q er længden af
moment-transfer vektoren i spredningsprocessen og Rg er
gyrationsradius for polymeren (det andet moment af excess-
spredningslængde tæthedsfordelingen).

L uendelig
Dvs. g(-x)= integral dl/L integral dr 4pir² sin(qr)/(qr) W(r,l)
0 0

hvor W(r,l) er en gaussisk fordeling i 3D med standard deviation
sigma=bL/6, hvilket er gennemsnits end-to-end afstanden for polymeren
hvis den er L lang, og b er gennemsnits længden af random walk skridt.

Dvs. at g(-x)*g(-x)*S(q) er spredningsinterferens biddraget
mellem to polymere hvis S(q) er Fourier transformationen af
deres par fordelingen for afstanden mellem deres ender.

Dvs. at der er en masse at sige om dette interessante udtryk.

Kan du sige lige så meget interessant om h(x)?

--
Carsten Svaneborg
http://www.mpip-mainz.mpg.de/~svanebor

---

Scripsit Carsten Svaneborg <carsten.svaneborg@se.organisation.header.se>
> Henning Makholm wrote:

> >> g(x) = (exp(x)-1)/x-a = 0 du skal så bare finde nulpunkter

> > Hvorfor ikke rent ud
> > h(x) = e^x-a-ax

> Det er fordi g(-x) er Hammoudas udtryk for form faktor amplituden
[blablabla]

> Kan du sige lige så meget interessant om h(x)?

Næh - men når man bare skal finde nulpunkter kan det da være hip som hap.

--
Henning Makholm "*Se*!! Nu hælder den vand ud
af ørerne *igen*!! *Et mirakel*!!!"

---

Henning Makholm wrote:
>> Kan du sige lige så meget interessant om h(x)?
> Næh - men når man bare skal finde nulpunkter kan det da være hip som hap.
Yeps.

Jeg kan bare godt lide funktioner, hvis række udvikling starter med 1,
det er klassen af dejlige funktioner. ;*)

--
Carsten Svaneborg
http://www.mpip-mainz.mpg.de/~svanebor

---

Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk> writes:
> Jeg har et matematisk problem der kan reduceres til
>
> a x = exp (x) - 1
>
> og har brug for en løsning > 0. Kan det løses analytisk? Hvis
> ikke, hvad er en god numerisk metode at løse det på?

Nu har jeg ikke lige regnet det igennem, men mon ikke du kan formulere
det ved hjælp af Lambert's W-Function. Lamberts funktion er den inverse til

f(x) = x exp(x)

http://mathworld.wolfram.com/LambertsW-Function.html

Skriv igen, hvis det lykkes (og hvis det ikke lykkes), og hils Bo.

--
Niels L Ellegaard http://dirac.ruc.dk/~gnalle/
SPECIAL OFFER! I proofread unsolicited commercial email sent to this
address at a rate of US $500.00 per incident! Include billing address
in your message and save US $500.00 per hour off ordinary address
resolution and tracking charge!