"Carsten Svaneborg" <deadend@zqex.dk> skrev i en meddelelse
news:vl3oq4-9a8.ln1@zqex.dk...
> Kasper Egebo wrote:
>> Vil gerne kunne bestemme inertimomentet af et givent uniform cirkulært
>> enme, fx et cykelhjul, ved et givent rpm.
>
> Inertimomentet er uafh. rpm.
>
>> At regne sig frem til det vil kræve en præcis 2D mesh indeling (masse
>> fordeling) af hele hjulet og er umuligt i praksis, for almindelige
>> mennesker som mig.
>
> Det er vel også at gøre livet kompliceret.
>
> Inerti momentet er vist I=integral |R|^2 rho(R) dR hvor R er en
> vektor og rho(R) er masse fordelingen i rummet.
>
> Men i planen med rotationssymmetri I=integral r^2 rho(r) 2pi r dr
> hvor r nu er radius, og rho(r) er den radiale fordelingen af masse.
>
> Du kan se at det der tæller mest er massen langt væk fra aksen,
> så det ville være dæk + fælg for et cykel hjul. Så du kan blot
> antage at hele hjulets masse M er i afstand R fra aksen. Så er
> fordelingen rho(r)=M/(2pi R)*delta(R-r) hvilet giver I=M R^2 tilnærmet.
>
> M/(2pi R) skyldes transformationen fra en 3D masse fordeling til en
> radial masse fordeling, massen er jo fordelt på en cirkels omkreds.
> Der skal jo gælde at M=integral rho(r) 2pi r dr, dvs. at integralet
> af massefordelingen giver den totale masse.
>
>
>
>> Min ide er så om man ikke kan bestemme det ved hjælp af et forsøg.
>
> Det kan du også.
>
> Det kraft-moment du yder er T = r X F
>
> hvor r er vektoren fra aksen til kraftens angrebspunkt, og F er kraften,
> da de er vinkelrette kan det simplificers, og |T| = R M g hvor R er
> radius,
> M massen af lodet og g tyngdeaccelerationen.
>
> I analogi med Newton II F=ma=m dv/dt så er T=I dw/dt,
> hvor w er rotationshastigheden.
>
> Dvs. T dt = I dw eller integral[0:t] T dt = RMgt = I w(t)
>
> Så måler du rotationshastigheden w(t), som funktion af tiden, så vil den
> vokse linært med tiden og forholdet I=RMgt/w(t) er tidsuafhængigt.
>
> Når lodet rammer jorden så har det afsat en energi Epot=Mgh til
> julets rotation Erot= 0.5 I w^2(t') hvor t' er tiden hvor lodet
> rammer jorden. (igen i analog til kinetisk energi 0.5 M v^2)
>
> Epot=Erot => Mg h = 0.5 I w^2(t') så w(t') = sqrt( 2Mgh/I )
>
> Min første ligning galdt for ethvert tidspunkt, også t' så
>
> I = RMg t'/w(t') = RMg t'/sqrt(2Mgh/I) = R t' sqrt(I Mg) / sqrt(2h)
>
> eller I = ( R t')^2 Mg/(2h)
>
> En alternativ approach er at måle hvor lang tid t'', det tager
> hulet at rotere N gange. Så er w=N/t'' og så bruge
> I = 2 Mgh/w^2 = 2 Mgh (t''/N)^2.
Nørd
