Niels J wrote:
> Jeg sidder og prøver at forstå kovariansmatrixen samt dens egenvektorer
> lidt bedre end hidtil.
Prøv at læse numerical recepies kap. 15:
http://www.nrbook.com/a/bookcpdf.html
Du kan tænke på det grafisk:
Hvis du forestiller du har en gruppe af 2D datapunkter, og jeg antager
at middelværdierne er trukket fra, som du ønsker at beskrive med en
Gaussisk sandsynelighedsfordeling så har den formen
Nexp(- (a x^2 + by^2 + 2cxy) ).
a,b,c er omvent relateret til hvor spredte datapunkterne er
f.eks. a=1/2sigma_x^2.
Normalt vil usikkerheden på datapunkterne ikke være den samme i
x og y retningen, så de kan danne en ellipse der peger i en
vilkårlig retning.
Du kan opfinde et nyt drejet koordinatsystem x',y' således at
Nexp(- (a' x'^2 + b' y'^2) ).
Her er a' og b' ellipsens længde og tykkelse, mens x' og y'
aksen i det drejet koordinat system peger i ellipsens lange
og korte retning.
Egenværdierne (a' og b') og egenvektorene (x' og y') for
kovariansmatricen definerer netop denne ellipse.
> Spørgsmålet er så.. hvad er årsagen til at netop førsteaksen blev nul?
Da dine to punkter ligger på en linie, degenererer ellipsen
også til en linie. Der er ikke nogen usikkerhed vinkelret
på denne linie.
> Skal man tillægge aksernes order nogen som helst betydning, eller skal man
> se det som tilfældigt hvilken egenværdi der bliver førsteaksen da det er
> afhænger af ordningen af data eller andet ligegyldigt?
Du kan ombytte egenværdier og egenvektorer som du vel, det svarer blot
til at bytte om på hvad labels x',y' du bruger for den lange og korte
orientering af ellipsen.
> Hvordan skal ellipsen nu tolkes?
Tager du ovenstående fordeling og skærer den på punkter hvor sansyneligheden
er 0.5 så får du en ellipse. Denne vil indholde 68% af alle datapunkter.
Det giver dig en måde at karakterisere usikkerhederne på.
Laver du en måling og får X +/- deltaX så betyder det at 68% af
måleresultaterne ligger i intervallet [X-deltaX,X+deltaX] og det er
hvad der kaldes 1sigma errorbar.
Ellipsen er en 2D generalisering af dette.
--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://gauss.ffii.org softwarepatent database