---

Et objekt er med en fjeder forbundet til et punkt. Objektet kan bevæge sig
frem og tilbage langs en linie altså med en frihedsgrad.
Fjederen har en hvilelængde på 0m, en fjederkonstant på k Newton og objektet
har en masse på 1kg.

Benævnes positionen x, så er accelerationen=x''=k*x
Hvis jeg ønsker at finde funktionen x(t), så kan jeg integrere k*x for t og
få x'=k*x*t+c, ikke sandt?
Det kan integreres igen så jeg får x=½*k*x*t^2+c, hvor c er startpositionen.

Forudsat at det overhovedeter korrekt så langt, hvad gør jeg så herefter for
at få isoleret x på den ene side?

Er kraften istedet en konstant F, så vil positionen for et frit legemen
kunne opskrives nogenlunde lige sådan som oven over.

s''=F/m
s'=F/m*t
s=F/m*½*t^2

Og det er jo korrekt nok. Det virker bare ikke som om det er måden for
fjedereksemplet.

---

Jens Klasen wrote:

> Benævnes positionen x, så er accelerationen=x''=k*x

Mangler der ikke en masse i udtrykket? k*x er (hvis jeg husker ret) en
kraft og ikke en accelleration.

mvh
Peter

---

> Mangler der ikke en masse i udtrykket? k*x er (hvis jeg husker ret) en
> kraft og ikke en accelleration.

Til dig og Anders
"og objektet har en masse på 1kg."
Jeg har ladet værre med at gange med 1.

---

"Jens Klasen" <jkla@home.inet.dk> skrev i en meddelelse
news:4465021a$0$60779$157c6196@dreader1.cybercity.dk...

>
> Benævnes positionen x, så er accelerationen=x''=k*x
Nej. Der mangler en masse. Og normalt har man også et minus med. så

d^2x/dt^2 = -k*x/m

Læg mærke til at jeg skriver den anden afledede af x på en anden måde, for
bedre at markere at den jo blive afledt i forhold til tiden.



> Hvis jeg ønsker at finde funktionen x(t), så kan jeg integrere k*x for t
> og få x'=k*x*t+c, ikke sandt?
> Det kan integreres igen så jeg får x=½*k*x*t^2+c, hvor c er
> startpositionen.

Nej. Du kan ikke bare integrere, det er jo en differentielligning.

Du kan indse at det er forkert da du kan se ud fra ligningen

d^2x/dt^2 = -k*x/m

at dit resultat skal kunne differentieres 2 gange og så stadig give sig
selv.



Ved at løse ligningen finder du en løsning på formen

x(t)=A cos(wt + ø) , hvor A, ø og w er konstanter.

A er amplituden af svingningen, ø er fasen og w er vinkelfrekvensen som er
givet ved, w^2=k/m





Mvh

Anders Lund

---

Jens Klasen

> Et objekt er med en fjeder forbundet til et punkt. Objektet kan bevæge
sig
> frem og tilbage langs en linie altså med en frihedsgrad.
> Fjederen har en hvilelængde på 0m, en fjederkonstant på k Newton og
objektet
> har en masse på 1kg.

Dette kalder man en harmonisk oscillator.

> Benævnes positionen x, så er accelerationen=x''=k*x

Husk fortegn: x'' = -kx


> Hvis jeg ønsker at finde funktionen x(t), så kan jeg integrere k*x for
t og
> få x'=k*x*t+c, ikke sandt?
> Det kan integreres igen så jeg får x=½*k*x*t^2+c, hvor c er
startpositionen.

Dette udtryk for x er ikke en løsning til differentialligningen, hvilket
du fx kan se ved at indsætte.

Du skal finde et løsningsudtryk der differentieret to gange giver sig
selv pånær en konstant. Der er en bestemt funktion der differentieret
giver sig selv tilbage pånær en konstant og som ofte kan bruges når man
løser lineære differentialligninger. Denne funktion har ydermere den
egenskab, at når man indsætter imaginære tal så fremkommer der
harmoniske funktioner.

Hvis forgående afsnit var sort tale, så prøv om ikke du kan få den mest
almindelige trigonometriske funktion du kan komme i tanke om til at
blive til en løsning.


> Er kraften istedet en konstant F, så vil positionen for et frit
legemen
> kunne opskrives nogenlunde lige sådan som oven over.
>
> s''=F/m
> s'=F/m*t
> s=F/m*½*t^2
>
> Og det er jo korrekt nok. Det virker bare ikke som om det er måden for
> fjedereksemplet.

Du har ret. Differentialligningen har her ikke nogen afhængighed af x
(eller s som du bruger lige ovenfor) og det har stor betydning for
løsningen.


Mvh,
--
Filip Larsen

---

> x=½*k*x*t^2+c, hvor c er
> Dette udtryk for x er ikke en løsning til differentialligningen, hvilket
> du fx kan se ved at indsætte.

Differentieret giver det kxt og en gang mere må det vel være kx?

> Du skal finde et løsningsudtryk der differentieret to gange giver sig
> selv pånær en konstant. Der er en bestemt funktion der differentieret
> giver sig selv tilbage pånær en konstant og som ofte kan bruges når man
> løser lineære differentialligninger. Denne funktion har ydermere den
> egenskab, at når man indsætter imaginære tal så fremkommer der
> harmoniske funktioner.

Tænker du på e^(kx) der differentieret er k*e^(kx)?

Hvis man tager det et skridt ad gangen og siger
a=-kx så er v=a integreret over t, så v=-kxt+v0
Hvad er det der går galt, som gør at dette udtryk er ubrugeligt? Det er
meget godt at sige man skal finde noget der to gange integreret giver sig
selv og en konstant, men hvori ligger fejlen i at hele enkelt integrere
funktionsns dobbelt afledede?

---

Jens Klasen skrev

> > x=½*k*x*t^2+c, hvor c er
> > Dette udtryk for x er ikke en løsning til differentialligningen,
hvilket
> > du fx kan se ved at indsætte.
>
> Differentieret giver det kxt og en gang mere må det vel være kx?

Isolér først x inden du differentierer to gange.


> > Du skal finde et løsningsudtryk der differentieret to gange giver
sig
> > selv pånær en konstant. Der er en bestemt funktion der
differentieret
> > giver sig selv tilbage pånær en konstant og som ofte kan bruges når
man
> > løser lineære differentialligninger. Denne funktion har ydermere den
> > egenskab, at når man indsætter imaginære tal så fremkommer der
> > harmoniske funktioner.
>
> Tænker du på e^(kx) der differentieret er k*e^(kx)?

Netop, men brug et andet symbol i stedet for k så du ikke blander det
sammen med den specifikke fjederkonstant. Sætter man fx. e^(qx) ind får
man

x'' = -kx =>
q^2 e^(qx) = -k e^(qk) =>
q = +/- kvadratrod(-k)
= +/- j kvadratrod(k)
= +/- j omega

hvor j er den imaginære enhed kvadratrod(-1). Man kan så benytte Eulers
ligninger til at få løsningen udtrykt som trigonometriske funktioner af
t og omega (eller kvadratrod(k) om du vil).


> Hvis man tager det et skridt ad gangen og siger
> a=-kx så er v=a integreret over t, så v=-kxt+v0
> Hvad er det der går galt, som gør at dette udtryk er ubrugeligt?

Du kan ikke umiddelbart separere de to variable x og t og kan dermed
heller ikke integrere de to sider hver for sig. Der er sikkert en
matematiker her der bedre end jeg kan forklarer hvordan man kan
integrere sig frem hvis man absolut vil.


Mvh,
--
Filip Larsen

---

Jeg skrev

> Sætter man fx. e^(qx) ind får man ..

Der skal selvfølgelig stå x = e^(qt), dvs. qt i stedet for qx.


Mvh,
--
Filip Larsen

---

> Hvis man tager det et skridt ad gangen og siger
> a=-kx så er v=a integreret over t, så v=-kxt+v0
> Hvad er det der går galt, som gør at dette udtryk er ubrugeligt? Det er
> meget godt at sige man skal finde noget der to gange integreret giver sig
> selv og en konstant, men hvori ligger fejlen i at hele enkelt integrere
> funktionsns dobbelt afledede?

Det er en differantialligning fordi x både optræder som x og som x''.
Din løsningsform ville være helt fin hvis x ikke optrådte som x'' fx:
dq/dt=-k*x /m
Med det er ikke tilfældet her, så du er nød til at løse det som en
differantialligning.
Hvis du ikke kender til differantialligninger, så er du ikke matematisk
udrustet til at løse problemet.

Mvh
Anders Lund
Stud. polyt. nanotek.