---

Et vektorielt produkt er en vektor og kan så vidt jeg ved kun frembringes
ved to 3-dimensionelle vektorer ?

Men længden af denne vektor (det vektorielle produkt) af to 2-dimensionelle
vektorer svarer nøje til determinanten for vektorparret af to
2-dimensionelle vektorer ??

Hvis man kan udregne længden af en vektor (det vektorielle produkt af to 2
dimensionelle vektorer) hvorfor kan man så ikke udregne vektorens
komposanter???

Forvirringen skyldes bogen Matematisk Opslagsbog, William Karush (Politikens
Forlag) der netop siger:

"Det vektorielle produkt af to vektorer V1 og V2 er en vektor V3 der dannes
på følgende måde: V3 skal stå vinkelret på den plan som indeholder V1 og V2,
og til den side, hvor V1,V2 og V3 i den nævnte rækkefølge peger som
henholdsvis tommel-, pege- og langfinger på højre hånd, altså således , at
de tre vektorer danner et højreorienteret hjørne.Længden af V3 er produktet
af de to givne vektorers længder og sinus til vinklen mellem dem".
".....Længden af V3 er lig med arealet af det parallelogram, som udspændes
af V1 og V2. Det vektorielle produkt af V1 og V2 skrives: V1 x V2."

---

Jan Pedersen wrote:
> Et vektorielt produkt er en vektor og kan så vidt jeg ved kun frembringes
> ved to 3-dimensionelle vektorer ?

Jeg går ud fra at du mener krydsproduktet. I så fald er svaret "ja"
(efter min bedste overbevisning). Det er noget, som kun giver mening i
tre dimensioner.

En hurtig formel for hvordan man kan regne krydsproduktet af vektorerne
[a,b,c] og [m,n,o] ud er ved at regne denne determinant ud:

| x y z |
| a b c |
| m n o |

Hvor x, y og z er enhedsvektorerne [1,0,0], [0,1,0] og [0,0,1].

> Men længden af denne vektor (det vektorielle produkt) af to 2-dimensionelle
> vektorer svarer nøje til determinanten for vektorparret af to
> 2-dimensionelle vektorer ??

Der findes en todimensionel version af krydsproduktet, som for
vektorerne [a,b], [m,n] blot er determinanten am-bn. Som følge af
definitionen, er determinanten af to todimensionelle vektorer blot en
skalar - altså ikke en vektor. Derfor giver det ikke nogen mening at
tale om længder i denne sammenhæng. Desuden kan dette tal meget vel være
negativt, hvilket ikke nødvendigvis giver nogen mening, hvis man skal
tillægge det en længdefortolkning.

> Hvis man kan udregne længden af en vektor (det vektorielle produkt af to 2
> dimensionelle vektorer) hvorfor kan man så ikke udregne vektorens
> komposanter???

Det følger af definitionen. Krydsproduktet i to dimensioner giver blot
et tal. På samme måde prikproduktet som heller ikke giver andet end tal.

> Forvirringen skyldes bogen Matematisk Opslagsbog, William Karush (Politikens
> Forlag) der netop siger:
>
> "Det vektorielle produkt af to vektorer V1 og V2 er en vektor V3 der dannes
> på følgende måde: V3 skal stå vinkelret på den plan som indeholder V1 og V2,
> og til den side, hvor V1,V2 og V3 i den nævnte rækkefølge peger som
> henholdsvis tommel-, pege- og langfinger på højre hånd, altså således , at
> de tre vektorer danner et højreorienteret hjørne. Længden af V3 er produktet
> af de to givne vektorers længder og sinus til vinklen mellem dem".
> ".....Længden af V3 er lig med arealet af det parallelogram, som udspændes
> af V1 og V2. Det vektorielle produkt af V1 og V2 skrives: V1 x V2."

Den beskrivelse dækker tredimensionelle vektorer. Du kan se definitionen
af krydsproduktet for todimensionellem vektorer på denne side (lidt
under midten):

http://mathworld.wolfram.com/CrossProduct.html

Men jeg skal lige advare: jeg har ikke set krydsproduktet anvendt på
andet end tredimensionelle vektorer endnu. (En gang for 15 år siden
snakkede en af mine venner om at det kunne bruges til at regne ud
hvilken side på et polygon der vender opad, hvis man projicerer det ned
på en flade, men siden har jeg ikke hørt om det.) Det kan være at din
konkrete opgave skal løses med tredimensionelle vektorer.

Mvh. Michael.
--
Which is more dangerous? TV guided missiles or TV guided families?
Visit my home page at http://michael.zedeler.dk/
Get my vcard at http://michael.zedeler.dk/vcard.vcf

---

Michael Zedeler fortalte:

> Der findes en todimensionel version af krydsproduktet, som for
> vektorerne [a,b], [m,n] blot er determinanten am-bn. Som følge af
> definitionen, er determinanten af to todimensionelle vektorer blot en
> skalar - altså ikke en vektor. Derfor giver det ikke nogen mening at
> tale om længder i denne sammenhæng. Desuden kan dette tal meget vel
> være negativt, hvilket ikke nødvendigvis giver nogen mening, hvis man
> skal tillægge det en længdefortolkning.
>
Determinanten kan ligesom længden af x-produktet i 3-d fortolkes som
arealet af det af vektorerne udspændte parallellogram og her kommer
længderne ind.
Areal = |a||b|sin(v)

Mvh
Martin
--
Tat twam asi

---

Scripsit Michael Zedeler <michael@zedeler.dk>

> Jeg går ud fra at du mener krydsproduktet. I så fald er svaret "ja"
> (efter min bedste overbevisning). Det er noget, som kun giver mening i
> tre dimensioner.

Der er flere forskellige måder at generalisere krydsproduktet til
andre dimensioner end 3 - der er bare ingen af dem der bevarer alle
det tredimensionelle krydsprodukts velkendte egenskaber.

> En hurtig formel for hvordan man kan regne krydsproduktet af
> vektorerne [a,b,c] og [m,n,o] ud er ved at regne denne determinant ud:

> | x y z |
> | a b c |
> | m n o |

> Hvor x, y og z er enhedsvektorerne [1,0,0], [0,1,0] og [0,0,1].

Denne definition kan direkte generaliseres til et "tværprodukt" (et
ord jeg har opfundet til dette indlæg) af N-1 vektorer i et
N-dimensionelt vektorrum med et indre produkt. I 2 dimensioner er
tværproduktet af én vektor det samme som tværvektoren (x,y) -> (-y,x).

I 4 dimensioner vil tværproduktet af tre vektorer stå vinkelret på de
tre faktorer, og så videre.

Man han forholdsvis let vise at tværprodukt er invariant under
rotation af koordinatsystemet. Skifter man til et vilkårligt andet
ortogonalt koordinatsystem kan man risikere at tværproduktet skifter
fortegn. Det sker fx hvis man negerer et ulige antal af
basisvektorerne.

Ved at vælge en passende basis og anvende at determinanten er rækkevis
lineær kan man også se at den numeriske længde af tværproduktet er det
samme som målet af det (N-1)-dimensionelle parallelliped som de N-1
produkter udspænder. Det er en analogi til fortolkningen af
krydsproduktets længde som arealet af et parallellogram.

> Der findes en todimensionel version af krydsproduktet, som for
> vektorerne [a,b], [m,n] blot er determinanten am-bn.

Det er en anden generalisering af krydsproduktet; vi kan kalde den
"algebraisk" i stedet for det "geometriske" tværprodukt. Ifølge denne
generalisering er et "krydsprodukt" altid en operation der tager to
vektorer som argumenter, men resultatet ligger ikke nødvendigvis i
samme vektorrum som argumenterne. Mere formelt:

1. Lad et vektorrum V være givet.

2. En _antisymmetrisk bilinearform_ er en afbildning f: V x V -> W
fra par af vektorer i V til et andet vektorrum W, som har egenskaberne

a) f(v,u) = -f(u,v)
b) f(av,u) = af(v,u)
c) f(v1+v2,u) = f(v1,u)+f(v2,u)

3. f: V × V -> W er en "universel" antisymmetrisk bilinearform hvis
der for enhver _anden_ antisymmetrisk bilinearform h : V × V -> U
findes en lineær arbildning k : W -> U således at

h(u,v) = k(f(u,v)) for alle u og v

4. Som følge af denne egenskab kan vi sige at en surjektiv universel a.b.
må være entydig op til isomorfi. (Den generalisering vi her er i
færd med, er "algebraisk" fordi den kun definerer ting op til isomorfi).

5. Hvis f er universel a.b. og V har en basis e_1, e_2, ..., e_n ser
man let at mængden
H = { (e_i,e_j) | 1 <= i < j <= n }
udgør en basis for f's billedmængde. På den anden side ser vi
også at vi kan konstruere en universel a.b. ved at lade W være
mængden af formelle linearkombinationer af H's vektorer.
Universelle a.b.er findes altså for ethvert vektorrum V med
en basis.

6. Lad "krydsproduktet" være den universelle a.b. vi definerede
sidst i punkt (5).

Krydsproduktet altså en funktion der tager to N-dimensionelle
vektorer fra V og producerer én vektor i det
N(N-1)/2-dimensionelle vektorrum W.

7. Netop når V har dimension 3, vil W have samme dimension som V.
I det tilfælde - men ikke i andre - kan vi ved at vælge en
alternativ basis for W, nemlig ((e_2,e_3),-(e_1,e_3),(e_1,e_2)),
opnå at krydsproduktet respekterer rotationer, dvs
A(v × u) = Av × Au
når A er en tredimensionel rotationsmatrix.

Denne generalisering af krydsproduktet bevarer det tredimensionelle
krydsprodukts geometriske egenskab: Hvis vi brugte en ortogonal basis
i V til at konstruere H og vi så danner en norm for W på den normale
måde ved at bruge H som basis, vil

|(v × u)| = |v|*|u|*|sin theta|

hvor theta er vinklen mellem v og u, holde ganske som i det
tredimensionelle tilfælde.

> Som følge af definitionen, er determinanten af to todimensionelle
> vektorer blot en skalar - altså ikke en vektor. Derfor giver det
> ikke nogen mening at tale om længder i denne sammenhæng.

Joda - en skalar er jo et element i vektorrummet R¹, og den har længde
ligesom vektorer i højere dimensioner. Længden falder i dette tilfælde
sammen med skalarens absolutte værdi.

--
Henning Makholm "They have a word for people our age.
They call us children and treat us like mice."

---

Scripsit Michael Zedeler <michael@zedeler.dk>

> Men jeg skal lige advare: jeg har ikke set krydsproduktet anvendt på
> andet end tredimensionelle vektorer endnu.

I den højere fysik støder man ofte på det under navne som
"antisymmetrisk ydre produkt" og skrevet i tensornotation
(A_pB_q - A_qB_p). Da tjener det som en nærliggende måde
at generalisere den formelle struktur af en tredimensionel
teori til andre dimensioner.

For eksempel kan vektorfeltoperatoren "cirkulation", som traditionelt
skrives

nabla × A

generaliseres til fire dimensioner ved at lade nabla =
(d/dx,d/dy,d/dx,d/dt) og bruge den firedimensionelle "algebraiske"
generalisering af krydsproduktet fra mit forrige indlæg. Det bruger
man fx i relativistisk elektrodynamik, hvor "cirkulationen" af det
firedimensionelle vektorpotentiale er en antisymmetrisk tensor som
indeholder de ikke-relativistiske E- og B-felter.

--
Henning Makholm "Also, the letters are printed. That makes the task
of identifying the handwriting much more difficult."

---

Jan Pedersen wrote:
> Et vektorielt produkt er en vektor og kan så vidt jeg ved kun frembringes
> ved to 3-dimensionelle vektorer ?

Ja.

> Men længden af denne vektor (det vektorielle produkt) af to 2-dimensionelle
> vektorer svarer nøje til determinanten for vektorparret af to
> 2-dimensionelle vektorer ??

Næsten - den numeriske værdi af determinanten.

> Hvis man kan udregne længden af en vektor (det vektorielle produkt af to 2
> dimensionelle vektorer) hvorfor kan man så ikke udregne vektorens
> komposanter???

For to ikke-nulvektorer, er krydsproduktet mellem to 3-dimensionelle
vektorer a og b defineret ved følgende egenskaber:

i) |a x b| = |a||b| sin(vinkel ml. a og b)
ii) a x b er vinkelret på både a og b
iii) a, b og a x b udgør et højresystem

Forestil dig nu, at vi vil udvide definitionen til 4-dimensionelle
vektorer. Egenskab i) kan godt generaliseres, for både længde og
vinkel kan generaliseres til 4 dimensioner. ii) er heller ikke
problem. Men - hvad med iii) ?

Hvis man har to 3-dimensionelle vektorer, så findes der to
(modsatrettede) vektorer, som opfylder i) og ii). For at fastlægge
krydsproduktet a x b entydigt, benytter man så iii) til at vælge
den ene retning.

Problemet er nu, at i 4 dimensioner består et højresystem består af 4
4-dimensionlle vektorer. Udfra de kun tre vektorer a, b og a x b kan
man altså ikke entydigt fastlægge en retning.

--
Jens Axel Søgaard

---

En generalisering af den 3-dimensionale vektorregning til n-dimensioner har
man i den Geometriske Algebra GA, der særligt er blevet promoveret af David
Hesteness. Prøv en Googlesøgning paa "Geometric Algebra" eller "David
Hesteness".

Krydsproduktet af to multivektorer bliver i GA generaliseret til
wedgeproduktet (^), der har to fundamentale egenskaber

a^b = -b^a, antisymmetri.
a^(b^c) = (a^b)^c, associvitet.

I modsætning til krydsproduktet, der ikke er associativ.

GA finder anvendelse inden for fysiken og bruges ogsaa systematisk ved
computeranimeringer. Jeg kan varmt anbefale et nærmere studium.

Aage

---

Scripsit "Aage Andersen" <aaa(REMOVE)@email.dk>

> En generalisering af den 3-dimensionale vektorregning til n-dimensioner har
> man i den Geometriske Algebra GA, der særligt er blevet promoveret af David
> Hesteness. Prøv en Googlesøgning paa "Geometric Algebra" eller "David
> Hesteness".

Både den beskrivelse og indledningen til de første links jeg får frem
hos Google får mit intuitive crackpottometer til at slå ud. Men jeg
havde samme fornemmelse første gang jeg læste om hperbolsk geometri,
og den underliggende matematik er så vidt jeg umiddelbart kan skønne
respektabel nok.

> Krydsproduktet af to multivektorer bliver i GA generaliseret til
> wedgeproduktet (^), der har to fundamentale egenskaber
> a^b = -b^a, antisymmetri.
> a^(b^c) = (a^b)^c, associvitet.
> I modsætning til krydsproduktet, der ikke er associativ.

Jeg synes ikke man kan tillade sig at kalde det en generalisering, når
det man "generaliserer" _fra_ ikke er et eksempel på resultatet.

Antisymmetri af wedgeproduktet gælder i øvrigt kun når faktorerne er
rene vektorer. (GA indeholder også linearkombinationer af vektorer med
ting der ikke selv af vektorer, og for disse elementer gælder
antisymmetrien ikke nødvendigvis).

--
Henning Makholm "Hør, hvad er det egentlig
der ikke kan blive ved med at gå?"

---

"Henning Makholm"
> Jeg synes ikke man kan tillade sig at kalde det en generalisering, når
> det man "generaliserer" _fra_ ikke er et eksempel på resultatet.

Ja jeg burde have sat generalisering i gaaseøjen. Men der er nær sammenhæng
mellem krydsprodukt og wedgeproduct i det tredimensionale rum, i det de
begge kan opfattes geometrisk som et orienteret areal med numerisk værdi lig
med arealet, der udspændes mellem de to vektorer. Wedgeproduktet har den
fordel at det let generaliseres til N dimensioner og som anført er det
associativt.

> Antisymmetri af wedgeproduktet gælder i øvrigt kun når faktorerne er
> rene vektorer. (GA indeholder også linearkombinationer af vektorer med
> ting der ikke selv af vektorer, og for disse elementer gælder
> antisymmetrien ikke nødvendigvis).

korrekt, der gælder mere komplicerede regler.

Aage

ps. "Hesteness" skal være "Hestenes"