---

Hej,

Hvis man kigger på det komplekse tal på formen: a+i*b, og tager cos af
(0 + 1*i), så svarer det sikkert ikke til at tage cos (arg(a+i*b) ) =
cos (90 grader eller Pi/2) = 1...

1) Ti-89 kan ikke tage cos(i) -> den skriver: "Error: Domain error", når
man står i "grader" mode.

2) Når man stiller den i "radianer" mode giver cos(i) = cosh(1) =>
evalueres til 1,54308 radianer. Dette kan man omregne til 88,4 grader...

Temmeligt mærkeligt at cos(i) skulle være 88,4 grader og selvfølgeligt
er det nok heller ikke det, så forklaringen er nok noget med den der
cosh + at cos(kvadratrod -1) nok er lidt kontroversielt eller hvad det
hedder. Hvem kan forklare hvad der sker? (vel noget når man går fra
cos(i) til cosh(1) )


Med venlig hilsen / Best regards
Martin Jørgensen

--
---------------------------------------------------------------------------
Home of Martin Jørgensen - http://www.martinjoergensen.dk

---

Martin Jørgensen wrote:
> 1) Ti-89 kan ikke tage cos(i) -> den skriver: "Error: Domain error", når
> man står i "grader" mode.
>
> 2) Når man stiller den i "radianer" mode giver cos(i) = cosh(1) =>
> evalueres til 1,54308 radianer. Dette kan man omregne til 88,4 grader...
>
> Temmeligt mærkeligt at cos(i) skulle være 88,4 grader og selvfølgeligt
> er det nok heller ikke det, så forklaringen er nok noget med den der
> cosh + at cos(kvadratrod -1) nok er lidt kontroversielt eller hvad det
> hedder. Hvem kan forklare hvad der sker? (vel noget når man går fra
> cos(i) til cosh(1) )

Hvad er cos(x), når x er er reelt tal?

En måde at definere cos(x) på er ved hjælp af potensrækker:

x^2 x^4 x^6
cos(x) = 1 - ----- + ----- - ----- + ...
2! 4! 6!

Når man skal udvide definitionen af cosinus fra de reelle
tal til de komplekse tal er det derfor naturligt at vedtage,
at cosinus til et komplekst tal z er givet ved:

z^2 z^4 z^6
cos(z) = 1 - ----- + ----- - ----- + ...
2! 4! 6!

Indsættes nu z=i får vi:

i^2 i^4 i^6
cos(i) = 1 - ----- + ----- - ----- + ...
2! 4! 6!

-1 1 -1
= 1 - ----- + ----- - ----- + ...
2! 4! 6!

1 1 1
= 1 + ----- + ----- + ----- + ...
2! 4! 6!

Da potensrækken for hyperbolsk cosinus er

x^2 x^4 x^6
cos(x) = 1 + ----- + ----- + ----- + ...
2! 4! 6!

har man altså at

1^2 1^4 1^6
cos(1) = 1 + ----- + ----- + ----- + ...
2! 4! 6!


1 1 1
= 1 + ----- + ----- + ----- + ...
2! 4! 6!

Konklusionen er altså at

cos(i) = cosh(1)

--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard wrote:
> Martin Jørgensen wrote:
-snip-

> Hvad er cos(x), når x er er reelt tal?

Tal ml. -1 og 1; For trekanter: hosliggende/hypotenusen, SVJH.

-snip-

> Da potensrækken for hyperbolsk cosinus er
>
> x^2 x^4 x^6
> cos(x) = 1 + ----- + ----- + ----- + ...
> 2! 4! 6!

Der skal vel også nærmere stå: cosh(x) = 1 + .... hvis det er det du
mener? Såvidt jeg kan se er forskellen, at i cosh(x) er det rene plusser.

> har man altså at
>
> 1^2 1^4 1^6
> cos(1) = 1 + ----- + ----- + ----- + ...
> 2! 4! 6!
>
>
> 1 1 1
> = 1 + ----- + ----- + ----- + ...
> 2! 4! 6!
>
> Konklusionen er altså at
>
> cos(i) = cosh(1)

Det ser rigtigt nok ud, tak for svaret. Vil lige slå det op og se om jeg
er helt enig, i aften.


Med venlig hilsen / Best regards
Martin Jørgensen

--
---------------------------------------------------------------------------
Home of Martin Jørgensen - http://www.martinjoergensen.dk

---

Martin Jørgensen wrote:
> Der skal vel også nærmere stå: cosh(x) = 1 + .... hvis det er det du
> mener? Såvidt jeg kan se er forskellen, at i cosh(x) er det rene plusser.

Ja.

--
Jens Axel Søgaard

---

Martin Jørgensen wrote:
> Hvis man kigger på det komplekse tal på formen: a+i*b, og tager cos af
> (0 + 1*i), så svarer det sikkert ikke til at tage cos (arg(a+i*b) ) =
> cos (90 grader eller Pi/2) = 1...

Der gælder:

cos(z) = [exp(iz)+exp(-iz)]/2
sin(z) = [exp(iz)-exp(-iz)]/2i

Så med z=i er det særligt simpelt da cos(i)= [exp(-1)+exp(1)]/2 = 1.5431


> 2) Når man stiller den i "radianer" mode giver cos(i) = cosh(1) =>
> evalueres til 1,54308 radianer. Dette kan man omregne til 88,4 grader...

cos(i) er et dimensionsløst tal! Det kan du ikke omregne.

Derimod svarer det at gange et komplekst tal med i, til at dreje
det 90 grader eller pi/2 i en polær repræsentation. Alt efter om
du foretrækker grader eller radianer i din polære repræsentation.
Men resultatet af cos er nu engang det samme tal.

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://gauss.ffii.org

---

Carsten Svaneborg wrote:
> Martin Jørgensen wrote:
>
>>Hvis man kigger på det komplekse tal på formen: a+i*b, og tager cos af
>>(0 + 1*i), så svarer det sikkert ikke til at tage cos (arg(a+i*b) ) =
>>cos (90 grader eller Pi/2) = 1...
>
>
> Der gælder:
>
> cos(z) = [exp(iz)+exp(-iz)]/2
> sin(z) = [exp(iz)-exp(-iz)]/2i

I min bog står der: y(t) = e^(i*w*t) = cos(w*t) + i*sin(w*t), hvor
w=omega. Jeg kan ikke lige gennemskue om det er det samme som det du
skriver, umiddelbart.

> Så med z=i er det særligt simpelt da cos(i)= [exp(-1)+exp(1)]/2 = 1.5431

Ok, godt.

>>2) Når man stiller den i "radianer" mode giver cos(i) = cosh(1) =>
>>evalueres til 1,54308 radianer. Dette kan man omregne til 88,4 grader...
>
>
> cos(i) er et dimensionsløst tal! Det kan du ikke omregne.

Nå, nej. Det er klart. Det var nok bare en tanketorsk, der kom svømmende.

> Derimod svarer det at gange et komplekst tal med i, til at dreje
> det 90 grader eller pi/2 i en polær repræsentation. Alt efter om
> du foretrækker grader eller radianer i din polære repræsentation.
> Men resultatet af cos er nu engang det samme tal.

Bare mærkeligt at ti-89 ikke gider at tage cos(i), når den står i
grader. Og det er ikke et enestående tilfælde. Kan huske noget med at vi
prøvede at løse Colebrook's formel (noget med friktion og strømning) og
det ville den kun løse når den stod i radianer...

Er der egentligt nogen der så kan forklare denne opførsel, fordi
radianer og grader er jo blot en omregningsfaktor til forksel?


Med venlig hilsen / Best regards
Martin Jørgensen

--
---------------------------------------------------------------------------
Home of Martin Jørgensen - http://www.martinjoergensen.dk

---

Martin Jørgensen wrote:
>> cos(z) = [exp(iz)+exp(-iz)]/2
>> sin(z) = [exp(iz)-exp(-iz)]/2i
> I min bog står der: y(t) = e^(i*w*t) = cos(w*t) + i*sin(w*t), hvor
> w=omega.

Yeps. Og generelt kan du skrive e^z som e^|z|*[cos(w)+isin(w)]
hvor w(z) er argumentet til z, dvs. w=arctan(ImZ/ReZ).


> Jeg kan ikke lige gennemskue om det er det samme som det du
> skriver, umiddelbart.

Det er det. Du kan isolere cos(wt) på den ene side. Du får en
anden ligningen ved at substitutere w-> -w. Adderer du de to
ligninger og bruger at cos(x)=cos(-x) og sin(x)=-sin(-x) så
følge mine udtryk straks.


> Bare mærkeligt at ti-89 ikke gider at tage cos(i), når den står i
> grader. Og det er ikke et enestående tilfælde.

Lyder som en ged med regnemaskinen.

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://gauss.ffii.org

---

Carsten Svaneborg fortalte:

> Martin Jørgensen wrote:
>
>> Bare mærkeligt at ti-89 ikke gider at tage cos(i), når den står i
>> grader. Og det er ikke et enestående tilfælde.
>
> Lyder som en ged med regnemaskinen.

Hvor er det man bruger komplekse grader?

Mvh
Martin
--
Je suis Bacchus qui pressure pour les hommes le nectar delicieux

---

Martin Larsen wrote:
> Carsten Svaneborg fortalte:
>
>> Martin Jørgensen wrote:
>>
>>> Bare mærkeligt at ti-89 ikke gider at tage cos(i), når den står i
>>> grader. Og det er ikke et enestående tilfælde.
>>
>>
>> Lyder som en ged med regnemaskinen.
>
>
> Hvor er det man bruger komplekse grader?

I nøjagtigt de samme opgaver som der hvor man har maskinen indstillet
til radianer. Prøv at solve colebrook's ligning:

http://www.cheresources.com/colebrook1.shtml

Her er det f du skal solve for. Bare sæt de andre konstanter til
et-eller-andet, f.eks. 1. SVJH gider TI-89 ikke medmindre lommeregneren
står i radianer. Temmeligt ulogisk for alle jeg har mødt.


Med venlig hilsen / Best regards
Martin Jørgensen

--
---------------------------------------------------------------------------
Home of Martin Jørgensen - http://www.martinjoergensen.dk

---

Martin Jørgensen wrote:
> Martin Larsen wrote:

>> Hvor er det man bruger komplekse grader?
>
> I nøjagtigt de samme opgaver som der hvor man har maskinen indstillet
> til radianer.

Martin L og jeg er nysgerrige efter at vide, hvad for eksempel

( 1 + i ) grader

betyder.

--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard wrote:
> Martin Jørgensen wrote:
>
>> Martin Larsen wrote:
>
>
>>> Hvor er det man bruger komplekse grader?
>>
>>
>> I nøjagtigt de samme opgaver som der hvor man har maskinen indstillet
>> til radianer.
>
>
> Martin L og jeg er nysgerrige efter at vide, hvad for eksempel
>
> ( 1 + i ) grader
>
> betyder.

Nu har jeg jo sådan set aldrig skrevet at jeg brugte komplekse grader
til noget som helst. Derfor antog jeg at Martin Larsen ikke har forstand
på komplekse tal eller sammenhængen mellem radianer og grader. Dette
betyder også at jeg tolkede hans spørgsmål som om at han ikke forstod
hvad det var jeg skrev og derfor fik han det svar, at jeg har brug for
at min lommeregner kan regne

>> I nøjagtigt de samme opgaver som der hvor man har maskinen indstillet
>> til radianer.

Det undrer mig lidt at han overhovedet stiller det underlige spørgsmål
til mig... Men eftersom at han spørger om noget der er fuldstændigt sort
snak og eftersom at du åbenbart ser ud til at være enig i Martin's
spørgsmål eller ihvertfald ser ud til at forstå Martin's spørgsmål, så
kunne du jo passende prøve at forklare hvad man bruger komplekse grader
til fordi jeg forstår det ikke, men lavede en antagelse om hvad jeg
troede han mente...

Denne er åbenbart forkert, kan jeg forstå på dit spørgsmål men så må du
jo uddybe hvad du eller i mener fordi hvordan skal jeg kunne vide noget
om et emne jeg aldrig har bragt på banen, af denne type?


Med venlig hilsen / Best regards
Martin Jørgensen

--
---------------------------------------------------------------------------
Home of Martin Jørgensen - http://www.martinjoergensen.dk

---

Martin Jørgensen wrote:
> Jens Axel Søgaard wrote:

>> Martin L og jeg er nysgerrige efter at vide, hvad for eksempel
>>
>> ( 1 + i ) grader
>>
>> betyder.
>
> Nu har jeg jo sådan set aldrig skrevet at jeg brugte komplekse grader
> til noget som helst. Derfor antog jeg at Martin Larsen ikke har forstand
> på komplekse tal eller sammenhængen mellem radianer og grader. Dette
> betyder også at jeg tolkede hans spørgsmål som om at han ikke forstod
> hvad det var jeg skrev og derfor fik han det svar, at jeg har brug for
> at min lommeregner kan regne

Det skyldes, at du skrev:

>>> Bare mærkeligt at ti-89 ikke gider at tage cos(i), når den står i
>>> grader. Og det er ikke et enestående tilfælde.

Når man stiller lommeregneren til grader og skriver for eksempel
cos(30) omregnes 30 først til radianer, og så udregnes cosinus.
Når du undrer dig over at lommeregneren ikke kan tage cos(i) gættede
vi på, at du mente at i grader kunne omregnes til noget lommeregneren
kunne tage cosinus til.

> >> I nøjagtigt de samme opgaver som der hvor man har maskinen indstillet
> >> til radianer.
>
> Det undrer mig lidt at han overhovedet stiller det underlige spørgsmål
> til mig... Men eftersom at han spørger om noget der er fuldstændigt sort
> snak ..

Det var det, der var formålet - at få dig til at indse, at man ikke
snakker om komplekse grader - og at det derfor ikke er så underligt
at lommeregneren ikke vil udregne cos(i), når den er stillet til
at regne med grader.

--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard wrote:
> Martin Jørgensen wrote:
-snip-

> Når man stiller lommeregneren til grader og skriver for eksempel
> cos(30) omregnes 30 først til radianer, og så udregnes cosinus.
> Når du undrer dig over at lommeregneren ikke kan tage cos(i) gættede
> vi på, at du mente at i grader kunne omregnes til noget lommeregneren
> kunne tage cosinus til.

Men lommeregneren kan jo regne ud hvad det er man mener fordi der ikke
er noget der mig bekendt hedder i grader. Men pyt, jeg kan se din
pointe. Derfor behøver den slet ikke at omregne til radianer, når det
allerede er angivet.

>> >> I nøjagtigt de samme opgaver som der hvor man har maskinen indstillet
>> >> til radianer.
>>
>> Det undrer mig lidt at han overhovedet stiller det underlige spørgsmål
>> til mig... Men eftersom at han spørger om noget der er fuldstændigt
>> sort snak ..
>
>
> Det var det, der var formålet - at få dig til at indse, at man ikke
> snakker om komplekse grader - og at det derfor ikke er så underligt
> at lommeregneren ikke vil udregne cos(i), når den er stillet til
> at regne med grader.

Ja, ok. Den forklaring giver mening og det må jeg indrømme at jeg ikke
tænkte på selvom det ville være rart om den selv kunne tænke sig frem
til hvad man mener.


Med venlig hilsen / Best regards
Martin Jørgensen

--
---------------------------------------------------------------------------
Home of Martin Jørgensen - http://www.martinjoergensen.dk

---

Carsten Svaneborg wrote:
> Martin Jørgensen wrote:
>
>>>cos(z) = [exp(iz)+exp(-iz)]/2
>>>sin(z) = [exp(iz)-exp(-iz)]/2i
>>
>>I min bog står der: y(t) = e^(i*w*t) = cos(w*t) + i*sin(w*t), hvor
>>w=omega.
>
>
> Yeps. Og generelt kan du skrive e^z som e^|z|*[cos(w)+isin(w)]
> hvor w(z) er argumentet til z, dvs. w=arctan(ImZ/ReZ).
>
>
>
>>Jeg kan ikke lige gennemskue om det er det samme som det du
>>skriver, umiddelbart.
>
>
> Det er det. Du kan isolere cos(wt) på den ene side. Du får en
> anden ligningen ved at substitutere w-> -w. Adderer du de to
> ligninger og bruger at cos(x)=cos(-x) og sin(x)=-sin(-x) så
> følge mine udtryk straks.
-snip-

Det prøver jeg lige:

e^(i*w*t) = cos(w*t) + i*sin(w*t) => cos(wt) = e^(i*w*t) - i*sin(w*t)

Substitution: w => -w: => cos(-wt) = e^(-i*w*t) - i*sin(-w*t)

Addition:

cos(-wt) = e^(-i*w*t) - i*sin(-w*t)
   +
cos(z) = [exp(iz)+exp(-iz)]/2
   =
cos(-wt)+cos(z)= [ e^(-i*w*t) - i*sin(-w*t) ] + [ [exp(iz)+exp(-iz)]/2 ]



.... Det var vist ikke det du mente... Det med cos(x)=cos(-x) og
sin(x)=-sin(-x) forstår jeg ikke helt...


Med venlig hilsen / Best regards
Martin Jørgensen

--
---------------------------------------------------------------------------
Home of Martin Jørgensen - http://www.martinjoergensen.dk

---

Martin Jørgensen wrote:
> Carsten Svaneborg wrote:
>
>> Martin Jørgensen wrote:
>>
>>>> cos(z) = [exp(iz)+exp(-iz)]/2
>>>> sin(z) = [exp(iz)-exp(-iz)]/2i
>>>
>>>
>>> I min bog står der: y(t) = e^(i*w*t) = cos(w*t) + i*sin(w*t), hvor
>>> w=omega.
>>
>>
>>
>> Yeps. Og generelt kan du skrive e^z som e^|z|*[cos(w)+isin(w)]
>> hvor w(z) er argumentet til z, dvs. w=arctan(ImZ/ReZ).
>>
>>
>>
>>> Jeg kan ikke lige gennemskue om det er det samme som det du
>>> skriver, umiddelbart.
>>
>>
>>
>> Det er det. Du kan isolere cos(wt) på den ene side. Du får en
>> anden ligningen ved at substitutere w-> -w. Adderer du de to
>> ligninger og bruger at cos(x)=cos(-x) og sin(x)=-sin(-x) så
>> følge mine udtryk straks.
>
> -snip-
>
> Det prøver jeg lige:
>
> e^(i*w*t) = cos(w*t) + i*sin(w*t) => cos(wt) = e^(i*w*t) - i*sin(w*t)

Ja, og så substitution:

e^(i*-w*t) = cos(-w*t) + i*sin(-w*t) =>
cos(wt) = e^(i*-w*t) + i*sin(w*t)

Adder de to ligninger:
cos(wt) = e^(i*w*t) - i*sin(w*t)
+
cos(wt) = e^(i*-w*t) + i*sin(w*t)

cos(wt) = [e^(i*w*t) + e^(i*-w*t)]/2

Differensen giver sinus:
cos(wt) = e^(i*w*t) - i*sin(w*t)
-
cos(wt) = e^(i*-w*t) + i*sin(w*t)

sin(w*t) = [e^(i*w*t) - e^(i*-w*t)]/(2i)

/Andreas