---

Når man skal bevise noget inden for matematik bruger man tit axiomer, dvs.
postulater der ikke bevises som led i det man skal bevise. Er der regler for
disse axiomer ? Altså hvilke dele af matematikken man ikke behøver at bevise
men bare kan postulere i et bevis ?

Jeg spørger fordi jeg synes man på flere studier (bl.a.ingeniør studiet)
bruger flere og flere postulater i bevisførelsen....noget med at ligger
emnet på et lavere niveau (f.eks. mat. B eller A) behøver man ikke bevise én
sætning men kan umiddelbart inddrage den som et axiom.

---

Jan Pedersen wrote:

> Når man skal bevise noget inden for matematik bruger man tit axiomer,
> dvs. postulater der ikke bevises som led i det man skal bevise. Er
> der regler for disse axiomer ? Altså hvilke dele af matematikken man
> ikke behøver at bevise men bare kan postulere i et bevis ?

Der er syv grundlæggende aksiomer i matematikken:

a + b = b + a (kommutative lov)

a + (b + c) = (a + b) + c (associative lov)

a * (b + c) = a * b + a * c (distributive lov)

Der findes et element 0 så a + 0 = a

Der findes et element 1 så 1 * a = a

For alle a findes der et element -a så a + (-a) = 0

For alle a findes der et element 1/a så a * 1/a = 1

(...så hut jeg visker...)

Dette er matematiske sætninger (eller formodninger, om man vil; det er
derfor, det kaldes aksiomer) som ikke kan bevises, men som må formodes at
være så intuitivt korrekte og selvindlysende, at man har valgt at antage, at
de gælder, og derefter baseret hele matematikken på dem. Skulle et af disse
aksiomer en dag blive modbevist, falder hele matematikken sammen. Men det er
heldigvis ikke sket endnu, og det sker jo nok heller aldrig

/steen

---

"Steen" <virker@ikke.invalid> writes:

> Der er syv grundlæggende aksiomer i matematikken:

Det er for legemer, og ikke andet. Forskellige matematiske objekter
har forskellige aksiomatiseringer, og der er et utal af dem. Indenfor
mængdelæren, der med rimelighed kan siges at være grundlaget for
moderne matematik, har man et par forskellige
standardaksiometiseringer - den mest udbredte, ZF(C), har så vidt jeg
husker ca. 10.

> For alle a findes der et element 1/a så a * 1/a = 1

Bortset fra for a=0, altså.

> Dette er matematiske sætninger (eller formodninger, om man vil; det
> er derfor, det kaldes aksiomer) som ikke kan bevises, men som må
> formodes at være så intuitivt korrekte og selvindlysende, at man har
> valgt at antage, at de gælder,

Eller simpelthen besluttet at de gælder, og matematik er så simpelthen
studiet af konsekvenserne af disse aksiomer og de almindelige logiske
slutningsregler.

> Skulle et af disse aksiomer en dag blive modbevist,

Hvad forstår du ved et modbevis til et aksiom? Man kan potentielt
komme i en situation, hvor det kan vises at et aksiomsystem er
inkonsistent (dette er dog ikke tilfældet for de aksiomer du
præsenterede - der er nemlig eksempler på legemer). Og i den situation
er der helt klart et stort problem.

--
Stefan Holm
"Min lyserøde plastikstol skvulper."

---

"Steen" <virker@ikke.invalid> writes:

> de gælder, og derefter baseret hele matematikken på dem. Skulle et af disse
> aksiomer en dag blive modbevist, falder hele matematikken sammen. Men det er

Ikke-Euklidsk geometri stammer netop fra at man valgte at sige "Hvad
nu hvis Euklids femte postulat skrives på en anden måde".
--
Thorbjørn Ravn Andersen
http://unixsnedkeren.dk/ravn/

---

Stefan Holm <nospam@algebra.dk> writes:

> "Steen" <virker@ikke.invalid> writes:
>
>> Der er syv grundlæggende aksiomer i matematikken:
>
> Det er for legemer,

Ikke helt, i et legeme gælder de kommutative og associative love også
for multiplikation.

> standardaksiometiseringer - den mest udbredte, ZF(C), har så vidt jeg
> husker ca. 10.

Så vidt jeg husker er der 10 i standardformuleringen, men deriblandt er
der noget i retning af (det er langt væk så det er sikkert frygtelig
dårligt formuleret):
For alle mængder og alle prædikater kan danne delmængden af de elementer
der gør prædikatet sandt.

Nogen vil nok hævde at det er et aksionskema der giver anledning til et
aksiom pr. prædikat.

..Henrik

--
Det er da osse helt urimeligt at et saa udbredt topologisk rum som Q
ikke er lokalkompakt.               -- Stefan Holm

---

Henrik Christian Grove <grove@sslug.dk> writes:

> Ikke helt, i et legeme gælder de kommutative og associative love også
> for multiplikation.

Ahja. Så er det aksiomerne for de ikke-associative divisionsringe. En
klasse af objekter der vist ikke studeres så intensivt igen.

--
Stefan Holm
"Man can't exist without air and water and this bag."

---

"Stefan Holm" <nospam@algebra.dk> skrev i en meddelelse news:u7je865gw.fsf@banach.algebra.dk...
> Henrik Christian Grove <grove@sslug.dk> writes:
>
>> Ikke helt, i et legeme gælder de kommutative og associative love også
>> for multiplikation.
>
> Ahja. Så er det aksiomerne for de ikke-associative divisionsringe. En
> klasse af objekter der vist ikke studeres så intensivt igen.
>
Er det octonioner du tænker på
http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/

Mvh
Martin

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:

> Er det octonioner du tænker på

Det er et eksempel, i hvert fald.

--
Stefan Holm
"Get out! You're banned from this historical society!
You and your children, and your children's children! ... For three months."

---

"Stefan Holm" <nospam@algebra.dk> skrev i en meddelelse news:u1x4g5xfu.fsf@banach.algebra.dk...
> "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:
>
>> Er det octonioner du tænker på
>
> Det er et eksempel, i hvert fald.
>
De er måske ikke verdensfjerne nok?

Of superstring Lagrangians, it is the 10-dimensional octonionic
one that gives the most promising candidate for a realistic theory
of fundamental physics.

Mvh
Martin

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:
> "Stefan Holm" <nospam@algebra.dk> skrev i en meddelelse news:u1x4g5xfu.fsf@banach.algebra.dk...
> >
> De er måske ikke verdensfjerne nok?

Det sagde jeg intet om. Det var mere et spørgsmål om at jeg faktisk
ikke tænkte på nogen specifik ikke-associativ divisionsring.

--
Stefan Holm
"Do you mind? I'm talking to my demon."

---

"Stefan Holm" <nospam@algebra.dk> skrev i en meddelelse news:uslww4g8h.fsf@banach.algebra.dk...
> "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:
>> "Stefan Holm" <nospam@algebra.dk> skrev i en meddelelse news:u1x4g5xfu.fsf@banach.algebra.dk...
>> >
>> De er måske ikke verdensfjerne nok?
>
> Det sagde jeg intet om. Det var mere et spørgsmål om at jeg faktisk
> ikke tænkte på nogen specifik ikke-associativ divisionsring.
>
Jeg synes ikke mindst på grund af det citat jeg bragte, at din
indledende påstand var malplaceret - men det synes du altså ikke.

Mvh
Martin

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:

> Jeg synes ikke mindst på grund af det citat jeg bragte, at din
> indledende påstand var malplaceret - men det synes du altså ikke.

Dit citat påviste højst at der er folk der arbejder med en formalisme
der baseres i oktonioner, altså i én bestemt form for ikke-associativ
divisionsring - du kunne osse have valgt at nævne alle dem der
arbejder med reelle tal, der jo tydeligvis osse opfylder de givne
aksiomer (og lidt ekstra, men det gælder osse for den reelle algebra
vi kalder oktonionerne).

Det ville dog stadig ikke gøre at ikke-associative divisionsringe som
sådan blev studeret intensivt. På samme måde som lineær algebra altså
ikke er gruppeteori.

--
Stefan Holm
"Wow! Santa's head came off easier than I thought!"

---

"Stefan Holm" <nospam@algebra.dk> skrev i en meddelelse news:uhddc4abp.fsf@banach.algebra.dk...
>
> Det ville dog stadig ikke gøre at ikke-associative divisionsringe som
> sådan blev studeret intensivt. På samme måde som lineær algebra altså
> ikke er gruppeteori.
>
Næh, og hvem studerer egenlig klassen af objekter der
overhovedet kan studeres, særlig intensivt? - (bortset fra
os

Mvh
Martin

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:

> "Stefan Holm" <nospam@algebra.dk> skrev i en meddelelse news:uslww4g8h.fsf@banach.algebra.dk...
>> "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:
>>> "Stefan Holm" <nospam@algebra.dk> skrev i en meddelelse news:u1x4g5xfu.fsf@banach.algebra.dk...
>>> >
>>> De er måske ikke verdensfjerne nok?
>>
>> Det sagde jeg intet om. Det var mere et spørgsmål om at jeg faktisk
>> ikke tænkte på nogen specifik ikke-associativ divisionsring.
>>
> Jeg synes ikke mindst på grund af det citat jeg bragte, at din
> indledende påstand var malplaceret - men det synes du altså ikke.

Stefans indledende påstand var:
> Ahja. Så er det aksiomerne for de ikke-associative divisionsringe. En
> klasse af objekter der vist ikke studeres så intensivt igen.

Og det tror jeg han har ret i. Det er muligt at der er nogen (jeg tror
dog ikke det er mange) der studerer octonioner, men der er altså forskel
på det og så på at studere ikke-associative divisionsringe (=*klassen af
objekter*) generelt.

Faktisk tror jeg ikke der er mange der studerer ikke-associative
strukturer af nogen art.

..Henrik

--
"The ultimate goal of mathematics is to eliminate all need for
intelligent though" - Graffiti af ukendt i 'Concrete Mathematics'

---

"Henrik Christian Grove" <grove@sslug.dk> skrev i en meddelelse news:7gacj4l7j0.fsf@serena.fsr.ku.dk...
> "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:
>
> Stefans indledende påstand var:
>> Ahja. Så er det aksiomerne for de ikke-associative divisionsringe. En
>> klasse af objekter der vist ikke studeres så intensivt igen.
>
> Og det tror jeg han har ret i. Det er muligt at der er nogen (jeg tror
> dog ikke det er mange) der studerer octonioner, men der er altså forskel
> på det og så på at studere ikke-associative divisionsringe (=*klassen af
> objekter*) generelt.
>
> Faktisk tror jeg ikke der er mange der studerer ikke-associative
> strukturer af nogen art.
>
Antallet af personer der studerer, er et emne du nu bringer på bane.
Jeg har tidligere bragt et link til folk der søger oplysning.

Mvh
Martin

---

Henrik Christian Grove <grove@sslug.dk> writes:

> Faktisk tror jeg ikke der er mange der studerer ikke-associative
> strukturer af nogen art.

Heller ikke liealgebraer?

--
Stefan Holm
"Is the Pope Punjabi?"

---

Scripsit Henrik Christian Grove <grove@sslug.dk>

> Faktisk tror jeg ikke der er mange der studerer ikke-associative
> strukturer af nogen art.

Udover Lie-algebraer som Stefan gjorde opmærksom på, er det jo ikke
ualmindeligt at have struturer som *udover* associative operationer
har ikke-associative operationer. Og Steens aksiomer angav netop at i
det mindste + er associativ.

Tag fx kartetisk lukkede kategorier (og deres diverse
generaliseringer). Her har vi en associativ og kommutativ
produktoperator og en ikke-associativ eksponentialoperator. Og
faktisk distribuerer eksponentiering over produktet på netop den måde
Steens version af den distributive lov foreskriver :*)

--
Henning Makholm "Luk munden og se begavet ud!"

---

"Henning Makholm" <henning@makholm.net> wrote in message
news:87irxswcd7.fsf@kreon.lan.henning.makholm.net...
> --
> Henning Makholm "Luk munden og se begavet
> ud!"

Den gamle mode brød Einstein med, da han provokerede med at række tunge af
pressefotograferne - og gik uden sokker og var showman mere end
naturvidenskabsmand

Når autonome laver demo nøgne på Rådhuspladsen er det bl.a. Albert der har
sat sig spor, sammen med det øvrige blomsterbarnsoprør-anarkisme, som jeg
selv er medspiller i - men for egne penge.

---

Scripsit "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk>

> Næh, og hvem studerer egenlig klassen af objekter der
> overhovedet kan studeres, særlig intensivt?

Videnskabsteoretikere, logikere, grundlagsmatematikere.

--
Henning Makholm "Hør, hvad er det egentlig
der ikke kan blive ved med at gå?"

---

"Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse news:87ek8gwcb8.fsf@kreon.lan.henning.makholm.net...
> Scripsit "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk>
>
>> Næh, og hvem studerer egenlig klassen af objekter der
>> overhovedet kan studeres, særlig intensivt?
>
> Videnskabsteoretikere, logikere, grundlagsmatematikere.
>
Du forveksler klassen og objekterne.

Mvh
Martin

---

Stefan Holm <nospam@algebra.dk> writes:

> Henrik Christian Grove <grove@sslug.dk> writes:
>
>> Faktisk tror jeg ikke der er mange der studerer ikke-associative
>> strukturer af nogen art.
>
> Heller ikke liealgebraer?

Jo, jeg har godt nok hørt om folk med den slags tilbøjeligheder.

..Henrik

--
"The ultimate goal of mathematics is to eliminate all need for
intelligent though" - Graffiti af ukendt i 'Concrete Mathematics'

---

Scripsit "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk>
> "Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev
>> Scripsit "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk>

>>> Næh, og hvem studerer egenlig klassen af objekter der
>>> overhovedet kan studeres, særlig intensivt?

>> Videnskabsteoretikere, logikere, grundlagsmatematikere.

> Du forveksler klassen og objekterne.

Nej.

--
Henning Makholm "Jeg kunne ikke undgå at bemærke at han gik på hænder."

---

Jan Pedersen skrev:

> Når man skal bevise noget inden for matematik bruger man tit axiomer, dvs.
> postulater der ikke bevises som led i det man skal bevise. Er der regler for
> disse axiomer ?

Det kan man godt sige.

Det kan ikke lade sig gøre at bevise matematikken fra bar bund.
Man kan kun opstille et sæt ubeviselige grundregler og så finde
afledte sætninger derudfra. Grundreglerne kaldes "aksiomer". I
princippet skal man så sørge for at disse aksiomer ikke er i
indbyrdes modstrid, men det foresvæver mig at man i dag ved at
det er en umulighed. Det skal man vist ikke spekulere for dybt
over ...

> Altså hvilke dele af matematikken man ikke behøver at bevise
> men bare kan postulere i et bevis ?

Det er noget andet og et praktisk spørgsmål.

> Jeg spørger fordi jeg synes man på flere studier (bl.a.ingeniør studiet)
> bruger flere og flere postulater i bevisførelsen....noget med at ligger
> emnet på et lavere niveau (f.eks. mat. B eller A) behøver man ikke bevise én
> sætning men kan umiddelbart inddrage den som et axiom.

Det svarer til at man på danskstudiet på universitetet ikke
længere forklarer hvad et navneord er. Det tages for givet at de
studerende ved det.

Man forudsætter altså at visse ting allerede er bevist og ikke
bestandigt behøver at bevises igen. Med andre ord man fører ikke
nødvendigvis et nyt bevis helt tilbage til aksiomerne selv om det
kan lade sig gøre. Man nøjes med at føre det tilbage til allerede
beviste sætninger.

Det ville være en frygtelig klods om benene på forskerne hvis
alle beviser skulle føres helt i bund hver gang. Jeg tvivler på
at Andrew Wiles ville have kunnet løse Fermats problem under den
forudsætning.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   http://fiduso.dk/

---

"Bertel Lund Hansen" <nospamfilius@lundhansen.dk> wrote in message
news:1mb5iku017nbe$.4q8s33mjppgs$.dlg@40tude.net...

(snip)

> Det ville være en frygtelig klods om benene på forskerne hvis
> alle beviser skulle føres helt i bund hver gang. Jeg tvivler på
> at Andrew Wiles ville have kunnet løse Fermats problem under den
> forudsætning.
>
Er jeg den eneste, der tvivler på at Fermat selv havde et fikst lille bevis
for sin sætning, men som der desværre ikke var plads til i marginen (som
historien lyder)?


--
Malte Runz

---

"Malte Runz" <malte_runz@stofanet.dk> skrev i en meddelelse news:430f2d2a$0$7637$ba624c82@nntp02.dk.telia.net...
>
> Er jeg den eneste, der tvivler på at Fermat selv havde et fikst lille bevis
> for sin sætning, men som der desværre ikke var plads til i marginen (som
> historien lyder)?
>
Det tvivler jeg på.

Mvh
Martin

---

Scripsit "Malte Runz" <malte_runz@stofanet.dk>
> "Bertel Lund Hansen" <nospamfilius@lundhansen.dk> wrote in message

>> Det ville være en frygtelig klods om benene på forskerne hvis
>> alle beviser skulle føres helt i bund hver gang. Jeg tvivler på
>> at Andrew Wiles ville have kunnet løse Fermats problem under den
>> forudsætning.

> Er jeg den eneste, der tvivler på at Fermat selv havde et fikst lille bevis
> for sin sætning, men som der desværre ikke var plads til i marginen (som
> historien lyder)?

Den almindelige antagelse er at Fermat troede at han kunne føre et
bevis da han skrev sin note, men at han havde en fremgangsmåde i
tankerne der ikke fører til et generelt bevis. At han ikke gentog sin
påstand andre steder end i et privat marginnotat i sit eget eksemplar
af Arithmetica, tyder på at han selv senere indså at det bevis han
havde i tankerne, ikke kunne gennemføres.

--
Henning Makholm "*Her* sidder jaj & har *ild* bå cigarren
*imens* Pelle Jönsson i Nordnorge har mavepine."

---

"Jan Pedersen" <jantheman28@hotmail.com> wrote in message
news:430ef02c$0$68383$edfadb0f@dread14.news.tele.dk...
> Når man skal bevise noget inden for matematik bruger man tit axiomer, dvs.
> postulater der ikke bevises som led i det man skal bevise. Er der regler
> for
> disse axiomer ? Altså hvilke dele af matematikken man ikke behøver at
> bevise
> men bare kan postulere i et bevis ?
>
> Jeg spørger fordi jeg synes man på flere studier (bl.a.ingeniør studiet)
> bruger flere og flere postulater i bevisførelsen....noget med at ligger
> emnet på et lavere niveau (f.eks. mat. B eller A) behøver man ikke bevise
> én
> sætning men kan umiddelbart inddrage den som et axiom.

Et axiom er et dogme , altså et virkårligt vedtaget startpunkt og MAGT ER
RET afgør om man kan gennemtvinge dette guddommelige præmis.

---

"Bo Warming" <bwng@bwng.dk> writes:

> "Jan Pedersen" <jantheman28@hotmail.com> wrote in message
> news:430ef02c$0$68383$edfadb0f@dread14.news.tele.dk...
> > Når man skal bevise noget inden for matematik bruger man tit axiomer, dvs.
> > postulater der ikke bevises som led i det man skal bevise. Er der
> > regler for
> > disse axiomer ? Altså hvilke dele af matematikken man ikke behøver
> > at bevise
> > men bare kan postulere i et bevis ?
>
> Et axiom er et dogme , altså et virkårligt vedtaget startpunkt og MAGT
> ER RET afgør om man kan gennemtvinge dette guddommelige præmis.

Der er ingen magt involveret. Enhver person kan vælge at arbejde med
præcis de axiomer, han eller hun ønsker, bare det gøres klart havd
disse er. Fordelen ved at bruge de samme axiomer som andre er dog, at
man kan trække på deres arbejde og f.eks. bruge sætninger, som andre
har bevist.

Det er lidt det samme som VHS. Der er ingen, der tvinger dig til at
købe en videobåndoptager med VHS formatet, du kan sagtend købe
f.eks. en BETAMAX båndoptager, men du skal ikke forvente at kunne leje
så mange film eller købe dine bånd så billigt.

Der er iøvrigt mange forskellige axiomatiske systemer i matematikken,
og der bliver ustandseligt lavet flere. Som regel definerer man en
bestemt type matematiske objekter ud fra nogle egenskaber, som de
antages at besidde. Ved at betragte disse egenskaber som axiomer, kan
man vise mere komplekse egenskaber, som disse objekter må have.

Man snakker dog af og til om et axiomatisk grundlag for matematikken
som helhed, f.eks. Zermeno-Fraenkels axiomer. Det bygger i, at man ud
fra en bestemt type af matematisk objekt (f.eks. mængder eller
funktioner) kan modellere objekter axiomatiseret ved andre axiomer,
sådan at disse axiomer bliver en konsekvens af de grundlæggende
aksiomer.

F.eks. kan heltal modelleres som mængder: 0 som den tomme mængde, 1
som mængden, der kun indeholder den tomme mængde, 2 som mængden, der
indeholder mængden, der repræsenterer 1, osv., dvs 0 == {}, 1 = {{}},
2 = {{{}}}, osv. Man kan så definere addition osv. som operationer på
mængder, og så ud fra axiomerne om mængdelære vise Peanos axiomer om
heltal.

Der er dog kun få matematikere, der arbejder med axiomatisering af
hele matematikken, som regel arbejder man med mere specialiserede
axiomatiske systemer. Der er dog en dansker, der har lavet et
alternativ til Zermeno-Fraenkels axiomer (ZFC mængdelære), se
http://www.diku.dk/hjemmesider/ansatte/grue/ .

Torben

---

""Torben Ægidius Mogensen"" <torbenm@tyr.diku.dk> wrote in message
news:7zoe7k7nn8.fsf@tyr.diku.dk...
> "Bo Warming" <bwng@bwng.dk> writes:
>
>> "Jan Pedersen" <jantheman28@hotmail.com> wrote in message
>> news:430ef02c$0$68383$edfadb0f@dread14.news.tele.dk...
>> > Når man skal bevise noget inden for matematik bruger man tit axiomer,
>> > dvs.
>> > postulater der ikke bevises som led i det man skal bevise. Er der
>> > regler for
>> > disse axiomer ? Altså hvilke dele af matematikken man ikke behøver
>> > at bevise
>> > men bare kan postulere i et bevis ?
>>
>> Et axiom er et dogme , altså et virkårligt vedtaget startpunkt og MAGT
>> ER RET afgør om man kan gennemtvinge dette guddommelige præmis.
>
> Der er ingen magt involveret. Enhver person kan vælge at arbejde med
> præcis de axiomer, han eller hun ønsker, bare det gøres klart havd
> disse er. Fordelen ved at bruge de samme axiomer som andre er dog, at
> man kan trække på deres arbejde og f.eks. bruge sætninger, som andre
> har bevist.
>
> Det er lidt det samme som VHS. Der er ingen, der tvinger dig til at
> købe en videobåndoptager med VHS formatet, du kan sagtend købe
> f.eks. en BETAMAX båndoptager, men du skal ikke forvente at kunne leje
> så mange film eller købe dine bånd så billigt.

At VHS vandt over Betamax var vel et spørgsmål om magt, og hvis en
opinionsdannende gruppe matematikprofessorer slutter sammen om deres egne
indforståede axiomer , bliver andre holdt ude - same thing.

---

torbenm@tyr.diku.dk (Torben Ægidius Mogensen) writes:

> F.eks. kan heltal modelleres som mængder: 0 som den tomme mængde, 1
> som mængden, der kun indeholder den tomme mængde, 2 som mængden, der
> indeholder mængden, der repræsenterer 1, osv., dvs 0 == {}, 1 = {{}},
> 2 = {{{}}}, osv.

Jeg vil ikke udelukke at man kan få det til at virke (faktisk er jeg ret
sikker på at man kan), men det er ret unormalt. Hvis man vælger at bygge
på mængdelære, er der to mest almindelige måder at definere positive
heltal på:
1. Som mængden af alle mindre positive heltal (dvs. 2 = {0,1} = {{},{{}}})
2. Som ækvivalensklassen af mængden en given kardinalitet.

..Henrik

--
"Gud har skabt de hele tal, alt andet er menneskeværk" - Kronecker
"Gud har 'INTET' skabt. Alt andet er menneskeværk" - Flemming Topsøe

---

Henrik Christian Grove <grove@sslug.dk> writes:

> Jeg vil ikke udelukke at man kan få det til at virke (faktisk er jeg ret
> sikker på at man kan),

Umiddelbart virker X -> {X} ellers som en simplere
efterfølger-funktion (i Peano-aritmetik, fx) end den sædvanlige
X -> X U {X}, der selvfølgelig til gengæld har den fordel at tallene
får sig selv som kardinalitet.

> men det er ret unormalt.

Jeg er stødt på den før, men du har helt ret i at i hvert fald

> 1. Som mængden af alle mindre positive heltal (dvs. 2 = {0,1} =
> {{},{{}}})

er mere udbredt. Til gengæld tror jeg kun jeg har set

> 2. Som ækvivalensklassen af mængden en given kardinalitet.

hos Russell eller i forbindelse med kardinaltal.

--
Stefan Holm
"Mjah, den kan godt få en halv kæp ekstra
for den klasiske reference og hjemmesiden."