---

1: Hvad betyder tegnet "nabla"? Det ligner næsten et "V", men det er et
"lukket" V, med hvilket jeg mener at det er en trekant (V med streg over)...

Bruges f.eks. ifb. med formler til beregninger på fluider...


2: Jeg har tidligere lært noget om tøjnings- og spændings-tensorer. Men
har glemt hvad det går ud på. Hvem kan forklare om begrebet "en tensor"
og opresumere hvad det går ud på?


På forhånd tak,


Med venlig hilsen / Best regards
Martin Jørgensen

--
---------------------------------------------------------------------------
Home of Martin Jørgensen - http://www.martinjoergensen.dk

---

Martin Jørgensen wrote:
-snip-

Okay... Ved ikke om jeg var for hurtig med at spørge... Har lige googlet
lidt rundt, men det ser lidt indviklet ud. Hvem kan f.eks. forklare
eller henvise til en "begynder-hjemmeside" som på letforståelig måde
forklarer noget om spørgsmålene?

Se f.eks. denne side:

http://www-math.mit.edu/~djk/18_022/chapter14/section01.html

Jeg er ikke just vant til den notation...


Med venlig hilsen / Best regards
Martin Jørgensen

--
---------------------------------------------------------------------------
Home of Martin Jørgensen - http://www.martinjoergensen.dk

---

Scripsit Martin Jørgensen <unoder.spam@spam.jay.net>

> 1: Hvad betyder tegnet "nabla"? Det ligner næsten et "V", men det er
> et "lukket" V, med hvilket jeg mener at det er en trekant (V med streg
> over)...

I de fleste sammenhænge kan man betragte nabla som en forkortelse for
en vektor der består af n partielle differentialoperatorer, hvor n er
antal dimensioner i det rum man snakker om. I tre dimensioner:

nabla == (d/dx, d/dy, d/dz)

Notationer der involverer nabla kan i de fleste tilfælde udfoldes ved
at regne symbolsk som om det *var* en vektor, bortset fra at
faktorernes orden ikke længere er ligegyldig. Hvis f og og (p,q,r) er
henholdsvis en skalar og en vektor der afhænger af x, y, z, får vi

gradient:

nabla f = (d/dx, d/dy, d/dz) f = (df/dx, df/dy, df/dz)

divergens:

nabla · (p,q,r) = (d/dx, d/dy, d/dz) · (p,q,r) = dp/dx + dq/dy + dr/dz

rotation:

nabla × (p,q,r) = (d/dx, d/dy, d/dz) × (p,q,r)
= (dq/dy - dr/dz, dr/dx - dp/dz, dp/dy - dq/dx)

Laplace-operatoren:

(nabla·nabla) f = nabla² f = ( (d/dx, d/dy, d/dz)·(d/dx, d/dy, d/dz) ) f
= ( d²/dx² + d²/dy² + d²/dz² ) f = d²f/dx² + d²f/dy² + d²f/dz²

Hvis man vil være mere formel end som så, bliver man nok nødt til at
betragte yderenderne af disse tre udregninger som uafhængige
definitioner og "vektor af differentialoperatorer" som blot en
huskeregel.

Eller også skal man betragte problemet datalogisk og kaste noget
elementær kategoriteori efter det, men det er nok overkill.

--
Henning Makholm "The Board views the endemic use of PowerPoint
briefing slides instead of technical papers as an
illustration of the problematic methods of technical communicaion at NASA."

---

Martin Jørgensen wrote:
> 2: Jeg har tidligere lært noget om tøjnings- og spændings-tensorer. Men
> har glemt hvad det går ud på.

Er det stress-strain tensorene du taler om? (kender ikke dansk notation)

Du kan huske på det som hooks lov: F(x)=kx

x er hvor meget du trækker. (svarer til strain)
F er kraften du måler for en given afstand. (svarer til stress)

Lidt mere generelt: Stress(Strain)=G Strain

Strain er den relative forlængelse af den originale
x,y,z størrelse til hvad den er efter deformationen.
Trækker du en elastik så den er to gange så lang i
x retningen er strain_xx=2 bemærk at den er dimensionsløs.

G er en elastic modulus (dimension energi/volumen=
kraft/areal= tryk).

Stress er kraft normeret med det deformeret areal. F.eks.
er Stress_xx kraften over et plan med normal x retning/
prøvens areal i yz planet.


> Hvem kan forklare om begrebet "en tensor"
> og opresumere hvad det går ud på?

Matematisk set er en tensor en matrix af funktioner
der afhænger af et sæt koordinater, og som har den
særlige egenskab at vælger du et andet koordinatsystem,
så skal du blot gange en matrix på tensoren for at få
den transformeret til det nye koordinatsystem.

F.eks. skal stress-strain relationen for et materiale
være den samme ligegyldig hvad koordinatsystem du vælger
at beskrive prøven i. Fysiske egenskaber bør jo ikke
afhænger af hvad for subjektivt valg du gør mht.
koordinatsystem.

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://gauss.ffii.org

---

Scripsit Carsten Svaneborg <zqex@sted.i.tyskland.de>

> Matematisk set er en tensor en matrix af funktioner
> der afhænger af et sæt koordinater, og som har den
> særlige egenskab at vælger du et andet koordinatsystem,
> så skal du blot gange en matrix på tensoren for at få
> den transformeret til det nye koordinatsystem.

Men det er en temmelig formalistisk og u-intuitiv defintion. Jeg
foretrækker at tænke koordinatfrit så langt jeg kan komme til det:

1. Vi forudsætter at vi ved hvad et vektorrum er.

2. En _kovariant tensor_ af rang n over et vektorrum V er en funktion
f(v1,...,vn) der tager n vektorer og giver en skalar, sådan at når
man holder n-1 af vektorerne konstant, afhænger f lineært af den
ikke-konstante vektor.

Hovedeksempler: Gradienten af et skalarfelt er en kovektor af rang 1.
Prikproduktet (og indre produkter i almindelighed) er kovektorer af
rang 2.

3. Specielt er en kovariant tensor af rang 1 en lineær afbildning
fra V til skalarlegement. Sådan en kaldes også en _kovektor_.

4. Mængden af kovariante tensorer af rang n udgør på naturlig vis
et vektorrum. Rummet af kovektorer over V er det _duale_ vektorrum
til V, skrevet V^bot.

5. En vektor v i V inducerer naturligt et element i V^bot^bot. Denne
indlejring er altid injektiv, og hvis V har endelig dimension, er
den også på; vi kan derfor identificere V med V^bot^bot.

6. En kontravariant tensor over V er det samme som en kovariant tensor
over V^bot. Specielt er en "kontravariant tensor af rang 1" en
indviklet måde at sige "vektor" på.

7. En blandet tensor af rang (n,m) er en funktion der tager n vektorer
og m kovektorer og giver en skalar der afhænger lineært af hver
parameter.

Ved passende currying kan man også opfatte en blandet tensor som en
funktion der tager n vektorer og giver en kontravariant tensor af
rang m. Specielt er en blandet tensor af rang (1,1) det samme som
en lineær afbildning fra V til V.

Så kan jeg ikke komme længere. Engang lykkedes det mig at indse
hvordan tensorkontraktion (den højererangs analogi til spor af
matricer) kan defineres i dette koordinatfri sprog, men jeg kan ikke
huske hvordan det virkede.

Men jeg kan fortsætte ad en datalogisk tangent:

8a. Ovenstående giver anledning til en model for klassisk ren lineær
logik.
b. Dette forklarer igen hvorfor tensorprouktet i lineær logik hedder
som det gør.
c. Tensorkontraktion svarer vistnok til cut-reglen.
d. Ved at gå ud fra et uendeligdimensionelt V hvor V^bot^bot (så vidt
jeg kan se) ikke er det samme som V, bør man opnå intuitionistisk
lineær logik. Tror jeg nok.
e. Nej, jeg forventer ikke at noget videre udsnit af læserskaren
i dk.videnskab kan forstå tangenten. Eksponentialobjekt!

--
Henning Makholm "Vend dig ikke om! Det er et meget ubehageligt syn!"

---

Henning Makholm wrote:
> Men det er en temmelig formalistisk og u-intuitiv defintion.

Enig. Jeg har ikke fundet nogen god og brugervenlig måde at
forklare det på.

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://gauss.ffii.org

---

"Carsten Svaneborg" <zqex@sted.i.tyskland.de> skrev i en meddelelse
news:0g1oi2-6c4.ln1@dhcp024.mpipks-dresden.mpg.de...
> Martin Jørgensen wrote:
>> 2: Jeg har tidligere lært noget om tøjnings- og spændings-tensorer. Men
>> har glemt hvad det går ud på.
>
> Er det stress-strain tensorene du taler om? (kender ikke dansk notation)
>
> Du kan huske på det som hooks lov: F(x)=kx
>
> x er hvor meget du trækker. (svarer til strain)
> F er kraften du måler for en given afstand. (svarer til stress)
>
> Lidt mere generelt: Stress(Strain)=G Strain
>
> Strain er den relative forlængelse af den originale
> x,y,z størrelse til hvad den er efter deformationen.
> Trækker du en elastik så den er to gange så lang i
> x retningen er strain_xx=2 bemærk at den er dimensionsløs.
>
> G er en elastic modulus (dimension energi/volumen=
> kraft/areal= tryk).
>
> Stress er kraft normeret med det deformeret areal. F.eks.
> er Stress_xx kraften over et plan med normal x retning/
> prøvens areal i yz planet.
>
>
>> Hvem kan forklare om begrebet "en tensor"
>> og opresumere hvad det går ud på?
>
> Matematisk set er en tensor en matrix af funktioner
> der afhænger af et sæt koordinater, og som har den
> særlige egenskab at vælger du et andet koordinatsystem,
> så skal du blot gange en matrix på tensoren for at få
> den transformeret til det nye koordinatsystem.
>
> F.eks. skal stress-strain relationen for et materiale
> være den samme ligegyldig hvad koordinatsystem du vælger
> at beskrive prøven i. Fysiske egenskaber bør jo ikke
> afhænger af hvad for subjektivt valg du gør mht.
> koordinatsystem.

Med et emne placeret i sit koordinatsystems 0,0,0 er relationerne enkle.
Bruger du 'koordinatsystem' som en måde at se emnet på, når det fx. er
drejet fra 0,0,0?.. eller vist sagt på en anden måde: værdierne bliver
projiceret ned på nye axer?

Carsten



Carsten

---

Carsten Svaneborg wrote:
-snip-
> Matematisk set er en tensor en matrix af funktioner
> der afhænger af et sæt koordinater, og som har den
> særlige egenskab at vælger du et andet koordinatsystem,
> så skal du blot gange en matrix på tensoren for at få
> den transformeret til det nye koordinatsystem.
>
> F.eks. skal stress-strain relationen for et materiale
> være den samme ligegyldig hvad koordinatsystem du vælger
> at beskrive prøven i. Fysiske egenskaber bør jo ikke
> afhænger af hvad for subjektivt valg du gør mht.
> koordinatsystem.

Tak for jeres forklaringer. Jeg kigger lidt på det - har været lidt
ophængt et par dage...


Med venlig hilsen / Best regards
Martin Jørgensen

--
---------------------------------------------------------------------------
Home of Martin Jørgensen - http://www.martinjoergensen.dk