"Carsten Troelsgaard" <carsten.troelsgaard@mail.dk> skrev i en meddelelse
news:418f6eae$0$86952$edfadb0f@dread16.news.tele.dk...
>
> "Filip Larsen" <filip.larsen@nospam.dk> skrev i en meddelelse
news:cmma77$t32$1@news.cybercity.dk...
> > KL skrev
> >
> > > Hvad mener du med "fri rotation"? Ethvert 3d fysisk objekt har vel
> > ingen
> > > akse om hvilken "fri" rotationer mulig?
> >
> > Fri rotation er når et legeme roterer uden at udveklse kraftmoment med
> > omgivelserne, et begreb der er parallelt med, at et legeme siges at være
> > i frit fald når den resulterende kraft fra omgivelserne er nul.
> >
> > Men det vigtige begreb er ikke så meget fri rotation, men derimod
> > hovedrotationsakser og hovedinertimoment [Jeg har kigget lidt i min
> > tekniske ordbog og er blevet enig med mig selv om, at "principal" i
> > denne forbindelse må oversættes til "hoved" på dansk, selvom jeg kaldte
> > det for "primær" tidligere].
>
> Jeg prøver at supplere: Primære akse er den akse, hvorom systemet har sin største inerti. Jorden
har
> fx større radius omkring equator og spinner derfor helst om den vinkelrette akse. Hvis du sætter
> Jorden (eller en mønt) skævt mellem dine tommlefingre og giver den et spin vil den hurtigt rette
sig
> ind efter orienteringen af sin primære akse og spinne om den: Centrifugal-kræfterne virker ikke
> symmetrisk om den akse du anvender og kombinerer til et kraftmoment som prøver at rette spinnets
> akse til den primære akse. Hvis Jorden ikke har egenspin i sin rotation omkring solen vil den
svinge
> sin primære akse ned i plan med Jord/Sol rotationen - i denne position har Jorden ikke noget
> asymmetrisk kraftmoment mht Solen.
>
> Dit spørgsmål : "...hvordan beregner jeg inertien omkring netop den akse krafterne vil
> have legemet til at rotere omkring?"
> Det kan du ikke før du kender aksen.
> Problemsættet har en formel løsning, men som Filip Larsen nævner er det at rykke fra begynder til
> (mindst) let øvet.
>
> Jeg kan ikke finde et link jeg har mødt og som viser et rimelig enkelt eksempel, hvor der er en
> overskuelig opstilling af 'tingene', Så du må nøjes med
> Principal axis:
>
http://kwon3d.com/theory/moi/prin.html
>
http://theory.ph.man.ac.uk/~mikeb/lecture/pc167/rigidbody/principal.html
>
> Hvis du har positioner beskrevet i et indledende koordinatsystem, så har du måske mulighed for at
> beregne det kraftmoment som virker asymmetrisk pga ovennævnte ... men det kræver jo igen, at du
> kender orienteringen på de primære akser. Det er altså dem du først skal finde.
> ... ikke at jeg lige skal fortælle dig hvordan.
>
> I tilfældet med terningerne kan du prøve at vurdere symmetriforhold og vælge symmetriakser som
dine
> lokale referencer.
> Du må forvente at terningen drejer omkring sit symmetricentrum/akser - at få det til at spinne
> omkring (1,2,3) kan du kun ved at påføre et kompliceret set af kræfter/momenter lige så længe du
> ønsker 'spinnet' bevaret.
> Men du mener måske 'hvad sker der ved at lade en kraft virke i (1,2,3)':
> Beregn kraftmoment mht de symmetri-akser du har gættet (7 styk?) ... Et symmetricentrum i
teoretisk
> krystallografisk forstand er (mit gæt) brugbart som fælles centrum, altså, terningen kan bevæge
sig
> som om det var en kugle. Det er muligvis ikke strengt taget korrekt, men kan være en tilnærmelse.
> Reelt: vurder om der er forskel i inerti på de symmetriakser der står vinkeltret på fladerne, og
de
> der går gennem hjørnerne. Hvis der er forskel (fx hjørner størst)
> vil jeg forvente at spinnet vil vælge en sådan akse
Om igen. Spinnet har (imo) en omdrejning sensu stricto om hver af disse akser - summen af disse
omdrejningshastigheder (med deres forskellige inertier) formoder jeg vil være den hastighed der kan
beregnes fra indledende kraftpåvirkning mht centrum. Pga asymmetrier varierer hele molevitten
precessivt. At forsøge at 'gribe' det med sin forstand er nok lige så let som at jongelere med den
skov af differentialligninger Philip kan lave. 'Valget' vil være den akse som har det største moment
i øjeblikket for kraftpåvirkning - altså den akse der får den hurtigst omdrejningshastighed slår
stærkest ind på din opfattelse af bevægelse.
> (eller måske rettere at precessere omkring aksen i forsøget på at rette op). Når
> der virker et kraftmoment over tid (difference i centrifugal-påvirkning ca vinkelret på
> omdrejningsakse), er der en ændring af bevægelsesmængden: Den eksisterende bevægelsesmængde følger
> (er orienteret med) omdrejningsaksen - den modererende bevægelsesmængde-vektor er vinkeltret
herpå.
>
> Jeg har prøvet at supplere den rigoristiske fysiske formalisme, men vær kritisk når du læser det.
> .............
> Om projektion af et punkt P ned på x,y: Når z er omdrejningsaksen er længden af den vinkeltrette
> vektor fra P på z lig (x^2+y^2)^-2. Du skal bruge denne størrelse til at beregne P's inerti mm.
> omkring z osv
> .........
>
> > Hvis du fx. kaster et objekt op i luften så vil det snurre rundt om en
> > hovedrotationsakse. Inertielt symmetriske objekter kan have flere
> > ligeværdige sæt af hovedrotationsakser, men for helt asymmetriske
> > objekter er der kun et sæt af akser og sådanne objekter kan altså kun
> > roterer frit om disse (der er faktisk yderligere begrænsninger hvis man
> > skal være pernitten, men de er ikke så vigtige her).
> >
> >
> > > Ok, så jeg finder den akse som alle krafterne vil have mit legeme til
> > at
> > > rotere omkring. Dernæst finder jeg inertien for rotation om netop den
> > akse.
> > > Finder derfra vinkelaccelerationen, og integrerer den over tiden for
> > at
> > > finde vinkelhastighedsændringen. Lægger denne til den gamle
> > vinkelhastighed
> > > og får den nuværende hastighed. Samme princip for orienteringen...
> > > men...hvordan beregner jeg inertien omkring netop den akse krafterne
> > vil
> > > have legemet til at rotere omkring?
> >
> > Ikke helt. Princippet er sådan set enkelt nok, men i praksis bliver det
> > alligvel lynhurtigt langhåret at holde styr på de forskellige
> > koordinatsystemer og transformationer der er nødvendige hvis man skal
> > modellerer den virkelige verden. Så lad os kun se på det simple tilfælde
> > med et legeme der hænger frit i et inertielt rum.
> >
> > Et legemes stilling (eng. attitude) i rummet er beskrevet ved to
> > første-ordens differentialligninger. Den ene ligning beskriver den
> > kinematiske sammenhæng mellem rotationsvektoren og legemets stilling i
> > rummet. Til at angive et legemes stilling benytter man som regel enten
> > en transformationmatrix (også kaldet retningscosinus'er), Euler vinkler,
> > eller quaternioner. For quaternioner, som du nævnte, at du bruger, er
> > den kinematiske sammenhængen mellem stillingen q = (q0,q1,q2,q3) og
> > rotationsvektoren w = (w1,w2,w3) beskrevet ved
> >
> > dq/dt = 1/2 * W * q,
> >
> > hvor W er en 4x4 matrix med elementerne
> >
> > 0 -w1 -w2 -w3
> > w1 0 w3 -w2
> > w2 -w3 0 w1
> > w3 w2 -w1 0
> >
> > Har du q til tiden nul (fx. beregnet ud fra Eulervinklerne) og w som
> > funktion af tiden kan du dermed integrerer dig frem til q som funktion
> > af tiden.
> >
> > Benytter man retningscosinus'er i stedet for quaternioner får man en
> > tilsvarende simpel ligning, dog med 9 variable i stedet for 4. Dette
> > betyder, at den resulterende transformationmatrix jævnligt skal
> > orthonormaliseres. Til gengæld har man så direkte rotationsmatricen
> > mellem legemes hovedkoordinater og de inertielle rumkoordinater der med
> > quaternioner først skal beregnes.
> >
> > Den anden ligning er Eulers bevægelsesligning som beskriver sammenhængen
> > mellem kraftmoment og ændring af rotationsvektoren. Euler
> > bevægelsesligning for 3 dimensioner er (gentaget fra mit forrige
> > indlæg):
> >
> > I1*dw1/dt - w2*w3*(I2-I3) = N1
> > I2*dw2/dt - w3*w1*(I3-I1) = N2
> > I3*dw3/dt - w1*w2*(I1-I2) = N3
> >
> > hvor alle størrelse er udtrykt i legemets hovedkoordinatsystem. Har du w
> > til tiden nul og N som funktion af tiden kan man altså integrerer sig
> > frem til w som funktion af tiden.
> >
> > Kraftmomentvektoren N kan findes ved at summere alle de enkelte
> > kraftmomenter Ni = Ri x Fi, hvor Fi er en kraft der angriber i
> > radiusvektor Ri fra massecenteret. De kræfter og kraftmomenter der er
> > givet i inertielle koordinater skal dog først roteres til legemets
> > koordinatsystem, fx. ved at benytte før omtalte rotationsmatrix.
> >
> > For at beregne position og stilling af et legeme skal du altså samlet
> > set integrere 13 skalare første-ordens differentialligninger (med
> > quaternioner) samt evt. vedligeholde eller beregne en rotationmatrix.
> >
> >
> > > Har en af jer tid og lyst til at give et lille eksempel? Eksempelvis
> > en
> > > terning med sidelængder 1m. I hvert hjørne er en masse på 1kg. Borset
> > fra
> > > disse masser vejer terningen intet. Hvordan kan jeg nu beregne
> > inertien for
> > > drejning omkring (1,2,3) i normaliseret form?
> >
> > Du burde altså kunne finde noget om dette på nettet, søg fx. efter
> > "moment of inertia". Prøv først selv at lave beregningen ud fra
> > definitionen af inertimoment og skriv så her hvis det evt. går i
> > hårdknude. Hvis jeg må være lidt fri, så bør du altså have styr på
> > inertimomenter før du kaster dig over advancerede anvendelser såsom at
> > løse Newton-Euler systemer.
> >
> >
> > Med venlig hilsen,
> > --
> > Filip Larsen
> >
> >
>
>