---

Så mangler jeg lige lidt hjælp igen

Vi har ligningen

y^3-(y^2)x-y(x^2)=5

Vi skal finde dy/dx og vise at dy/dx=55/36 for x=3 og y=5

Jeg differentierer og får

dy/dx=(3y^2)y'-y^2-2xy'-2xy-(x^2)y'

Jeg vil nu isolere y' så jeg kan finde dy/dx for x=3 og y=5

(3y^2)y'-xy'-x^2y'=y^2+2xy <=>

y'=(y^2+2xy)/(3y^2-2x-x^2)

men der må være noget galt. Tælleren giver rigtigt nok 55, men nævneren
giver 60 og skal kun give 36 iflg. opgaven. Hvad gør jeg galt?

/Mia

---

Mia wrote:
> Vi har ligningen
>
> y^3-(y^2)x-y(x^2)=5
>
> Vi skal finde dy/dx og vise at dy/dx=55/36 for x=3 og y=5
>
> Jeg differentierer og får
>
> dy/dx=(3y^2)y'-y^2-2xy'-2xy-(x^2)y'

Det er ikke rigtigt. Når du differentierer begge sider af ligningen mht.
x, giver venstre side

(3y^2)y'-y^2-2xy'-2xy-(x^2)y',

mens højre side giver d(5)/dx = 0, så

(3y^2)y'-y^2-2xy'-2xy-(x^2)y' = 0.


(Og skal 2xy'-leddet ikke være 2xyy'?)

--
Jonas Møller Larsen

---

"Jonas Møller Larsen" <nospam@nospam.invalid> skrev i en meddelelse
news:41586ccd$0$14246$ba624c82@nntp02.dk.telia.net...

> > Jeg differentierer og får
> >
> > dy/dx=(3y^2)y'-y^2-2xy'-2xy-(x^2)y'
>
> Det er ikke rigtigt. Når du differentierer begge sider af ligningen mht.
> x, giver venstre side
>
> (3y^2)y'-y^2-2xy'-2xy-(x^2)y',
>
> mens højre side giver d(5)/dx = 0, så
>
> (3y^2)y'-y^2-2xy'-2xy-(x^2)y' = 0.
>
>
> (Og skal 2xy'-leddet ikke være 2xyy'?)
>
> --
> Jonas Møller Larsen

Ehm - det jeg har skrevet er da fuldstændig identitisk med det du har
skrevet bortset fra at du skrev =0 og jeg skrev dy/dx. Jeg forstår i hvert
fald ikke lige hvor du vil hen? Desværre

Og hvorfor vil du have 2xy' til at give 2xyy'?

/Mia

---

Mia wrote:
> Ehm - det jeg har skrevet er da fuldstændig identitisk med det du har
> skrevet bortset fra at du skrev =0 og jeg skrev dy/dx. Jeg forstår i hvert
> fald ikke lige hvor du vil hen? Desværre

Jeg ser nu på det oprindelige indlæg, at dy/dx "bare" var en skrivefejl,
og at du derefter faktisk regner, som om der stod 0.

> Og hvorfor vil du have 2xy' til at give 2xyy'?

Fordi d(y²x)/dx = 2yy'x + y². Og det giver det vist endda det rigtige,
når du erstatter 2x=2*3-leddet i nævneren i det sidste udtryk med 2xy =
2*3*5, men regn hellere efter.

--
Jonas Møller Larsen

---

"Jonas Møller Larsen" <nospam@nospam.invalid> skrev i en meddelelse
news:41587d26$0$23087$ba624c82@nntp05.dk.telia.net...

>
> Fordi d(y²x)/dx = 2yy'x + y². Og det giver det vist endda det rigtige,
> når du erstatter 2x=2*3-leddet i nævneren i det sidste udtryk med 2xy =
> 2*3*5, men regn hellere efter.
>
> --
> Jonas Møller Larsen

Arh - jeg har lige regnet opgaven igen og du har ret - tak for forklaringen.
Jeg er med nu

/Mia

---

"Jonas Møller Larsen" <nospam@nospam.invalid> skrev i en meddelelse
news:41586ccd$0$14246$ba624c82@nntp02.dk.telia.net...
> Mia wrote:
> > Vi har ligningen
> >
> > y^3-(y^2)x-y(x^2)=5


> (Og skal 2xy'-leddet ikke være 2xyy'?)

Er det diff. reglerne for produkt og sammensat funktion, der er anvendt
ovenfor ?

Lad os sige at vi har :

f(x,y) = (y^2)x

og bestemme den 1. afledte mht. x

f '(x,y) = (2y*y')*x + (y^2)*1

f '(x,y) = 2xyy' + y^2

Er det sådan man anvender implicit differentiation ?

--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen

---

Torben W. Hansen wrote:
> Er det diff. reglerne for produkt og sammensat funktion, der er anvendt
> ovenfor ?

Ja.

> Lad os sige at vi har :
>
> f(x,y) = (y^2)x
[...]
> Er det sådan man anvender implicit differentiation ?

Nej. Implicit differentiation bruges til at differentiere en funktion,
selvom man ikke kender dens forskrift.

Eksempel: Betragt funktionen y, der opfylder ligningen

   ln(y(x)) = 7*y(x)*x

Vi kender ikke forskriften for y, og det er håbløst at isolere y(x) i
denne ligning, så man skulle tro, det var endnu mere håbløst at
differentiere y. Men her er tricket så, at man differentierer begge
sider af ligningen (efter de sædvanlige regler) og derved får en ny
ligning, hvor y' indgår.

   (1/y)*y' = 7y'x + 7y*1

Nu kan man så isolere y':

   y' = 7y/(1/y - 7x)

Det er faktisk ret snedigt.

--
Jonas Møller Larsen

---

"Jonas Møller Larsen" <nospam@nospam.invalid> skrev i en meddelelse
news:415ae201$0$13745$ba624c82@nntp03.dk.telia.net...

> ... y' = 7y/(1/y - 7x)
> Det er faktisk ret snedigt.
Ja, det må siges.

I denne forbindelse måtte jeg lige repetere. I mine matematikbøger er der
lidt notationsforvirring omkring beviset for differentiation af sammensat
funktion h(x) = f(g(x)).

Den første afledte h'(x) mht. x er så :

h'(x) = f '(g(x)) * g'(x)

hvilket betyder at den indre funktion g differenteres mht. x og den ydre
funktion f differenteres mht. g og derefter multipliceres.

Her er mit spørgsmål: Kan man istedet for h'(x) skrive f '(g'(x)) som
nedenfor ?

f '(g'(x)) = f '(g(x)) * g'(x)

--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen

---

Torben W. Hansen wrote:
> I mine matematikbøger er der
> lidt notationsforvirring omkring beviset for differentiation af sammensat
> funktion h(x) = f(g(x)).
>
> Den første afledte h'(x) mht. x er så :
>
> h'(x) = f '(g(x)) * g'(x)

Formelen kan også skrives df/dx = df/dg * dg/dx. Det er knap så præcist
som gymnasieformuleringen (for man kan ikke se, i hvilke punkter de
enkelte faktorer skal evalueres), men lettere at huske og bruge.

> Her er mit spørgsmål: Kan man istedet for h'(x) skrive f '(g'(x)) som
> nedenfor ?
>
> f '(g'(x)) = f '(g(x)) * g'(x)

Nej, den holder ikke. For et modeksempel så vælg f.eks. f(x) = 2x og
g(x) = 3x. Ligningen reducerer så til 2=2*3.

--
Jonas Møller Larsen

---

"Jonas Møller Larsen" <nospam@nospam.invalid> skrev i en meddelelse
news:415c6762$0$13743$ba624c82@nntp03.dk.telia.net...
> > Her er mit spørgsmål: Kan man istedet for h'(x) skrive f '(g'(x)) som
> > nedenfor ?
> >
> > f '(g'(x)) = f '(g(x)) * g'(x)
>
> Nej, den holder ikke. For et modeksempel så vælg f.eks. f(x) = 2x og
> g(x) = 3x. Ligningen reducerer så til 2=2*3.

Hvordan vil man så udtrykke venstresiden af ligningen med ovenstående
differentiationsnotation ?

måske noget alá dette:

(f (g(x)))' = f '(g(x)) * g'(x)

Med den anden notation gøres det vel sådan:

df/dx = df/dg * dg/dx

--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen

---

Scripsit "Torben W. Hansen" <nospam@cybercity.dk>
> "Jonas Møller Larsen" <nospam@nospam.invalid> skrev i en meddelelse

> > > f '(g'(x)) = f '(g(x)) * g'(x)

> > Nej, den holder ikke.

> Hvordan vil man så udtrykke venstresiden af ligningen med ovenstående
> differentiationsnotation ?

Det kan man ikke. Mærke-notationen duer kun til at angive
differentialkvotienter af navngivne funktioner [1]. Hvis man vil
differentiere vilkårlige udtryk, skal man have fat i d/dx eller
lignende.

[1] eller funktioner som i det mindste fremstår som et selvstændigt
matematisk objekt adskilt fra argumentet. Man kan godt skrive
(f o g)'(x)

--
Henning Makholm "Ambiguous cases are defined as those for which the
compiler being used finds a legitimate interpretation
which is different from that which the user had in mind."

---

"Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse
news:87zn37zcna.fsf@kreon.lan.henning.makholm.net...

> Det kan man ikke. Mærke-notationen duer kun til at angive
> differentialkvotienter af navngivne funktioner [1]. Hvis man vil
> differentiere vilkårlige udtryk, skal man have fat i d/dx eller
> lignende.
>
> [1] eller funktioner som i det mindste fremstår som et selvstændigt
> matematisk objekt adskilt fra argumentet. Man kan godt skrive
> (f o g)'(x)

Det er nok det bedste bud indtil videre så længe man anvender
mærke-notationen.

(f o g)'(x) = f '(g(x)) * g'(x)

--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen

---

Torben W. Hansen wrote:
> Hvordan vil man så udtrykke venstresiden af ligningen med ovenstående
> differentiationsnotation ?

h'(x), hvor h = f o g.

> måske noget alá dette:
>
> (f (g(x)))' = f '(g(x)) * g'(x)

Jo, det er vist set før. Men det virker umiddelbart grimt, at mærke (')
på højresiden opererer på en funktion, mens mærke på venstresiden
opererer på hvad, en funktionsforskrift? Et tal? Man kan da ikke
differentiere et tal. Hvad mon andre siger til denne notation?

> Med den anden notation gøres det vel sådan:
>
> df/dx = df/dg * dg/dx

Ja, det er den samme formel, som jeg skrev.

--
Jonas Møller Larsen

---

"Jonas Møller Larsen" <nospam@nospam.invalid> skrev i en meddelelse
news:415c769b$0$23080$ba624c82@nntp05.dk.telia.net...
>
> h'(x), hvor h = f o g.
Nu når du siger det, så har jeg da set denne notation før.

> > (f (g(x)))' = f '(g(x)) * g'(x)
> Jo, det er vist set før. Men det virker umiddelbart grimt, at mærke (')
> på højresiden opererer på en funktion, mens mærke på venstresiden
> opererer på hvad, en funktionsforskrift? Et tal? Man kan da ikke
> differentiere et tal. Hvad mon andre siger til denne notation?
Enig, det er grimt og sikkert også forkert. Jeg kunne bare ikke lige komme i
tanke om andre foreslag.

> > df/dx = df/dg * dg/dx
>
> Ja, det er den samme formel, som jeg skrev.

Ja - jeg bemærkede det selvfølgelig kun et splitsekund efter at jeg havde
postet.

--
Med venlig hilsen
Torben W. Hansen