---

Er der nogen som kan forklare sammenhænden mellem en almindelig
exponentiel distribution:

G(t) = 1- exp(-l * t)   (1)

og

t = (-log(1-x)) / (l)    (2)

kan x i (2) udtryk sammenlignes med G(t) for (1)? Hvis
ja, hvad betyder det så rent faktisk hvis man sætter et tilfældigt tal
mellem 0 og 1 ind på x's plads i (2)?
(1) giver fint nok mening hvis man siger, at til tiden t
er der er en sandsynlighed på G(t) for at en proces med fordelingen (1)
udløber, men hvad med den anden vej rundt?

Med venlig hilsen

Allan Weber

---

Allan Weber wrote:
>
> Er der nogen som kan forklare sammenhænden mellem en almindelig
> exponentiel distribution:
>
> G(t) = 1- exp(-l * t) (1)
>
> og
>
> t = (-log(1-x)) / (l) (2)


Den første formel er fordelingsfunktionen for en stokastisk variabel X
der er eksponentialfordelt med parameter L (jeg bruger lige et stort L
af typografiske grunde), hvilket vil sige at der gælder

{ 1 - exp(-L·t) for t>0
P( X < t ) = {
{ 0 ellers

Denne funktion af t er absolut kontinuert. Den er også differentiabel
(undtagen i t=0), og dens differentialkvotient er

{ L·exp(-L·t) for t>0
g(t) = {
{ 0 ellers


Man kan realisere eksponentialfordelingen på følgende måde. Start med
en stokastisk variabel U der er uniformt fordelt på [0;1], altså har
U fordelingsfunktionen

{ 0 for t<0
P( U < t ) = { t for t mellem 0 og 1
{ 1 for t>1

med tilhørende differentialkvotient

{ 0 for t<0
f(t) = { 1 for t mellem 0 og 1
{ 0 for t>1

Definér så en ny stokastisk variabel X ud fra U ved

X = -log(U)/L [ eller X = -log(1-U)/L , det er ét fedt ]

hvor L er en positiv konstant, og log er den naturlige logaritme. Så
bliver X eksponentialfordelt med parameter L.

Hvis du fx har et programmeringssprog der giver dig en (pseudo)uniform
fordelt variabel U, så kan du bruge formlen X=-log(U)/L til at lave en
ny variabel X der er eksponentialfordelt.

Jeg véd ikke om dette besvarer dit spørgsmål?

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

> Jeg véd ikke om dette besvarer dit spørgsmål?

Tildels.
Lad os nu sige man har en proces med ankomstraten L. Så kan man vha.

G(t) = 1 - exp(-L * t)        (1)

sige, at til tiden t er sandsynligheden for en ankomst G(t). Hvis man så
bruger

t = (-log(1-x)) / (L)   (2)

hvad betyder resultatet, t, så rent faktisk hvis man på x's plads indsætter
en række tilfældige tal ml. 0 og 1?
Jeg har en række processer med ankomstraten L (poisson processer), og skal
lave et program som simulerer ankomsten af processer. For at finde ud af
hvornår en process skal ankomme bruger jeg (2), og indsætter et tilfældigt
tal (fra en ligefordeling) på x's plads for at få ligefordelingen lavet om
til en eksponential fordeling, og dermed et tidspunkt for hvornår processen
skal ankomme. Giver det mening?

Med venlig hilsen

Allan Weber

---

Heino wrote:
>
> t = (-log(1-x)) / (L) (2)
>
[...]
> Jeg har en række processer med ankomstraten L (poisson processer), og skal
> lave et program som simulerer ankomsten af processer. For at finde ud af
> hvornår en process skal ankomme bruger jeg (2), og indsætter et tilfældigt
> tal (fra en ligefordeling) på x's plads for at få ligefordelingen lavet om
> til en eksponential fordeling, og dermed et tidspunkt for hvornår processen
> skal ankomme. Giver det mening?

Ja, hvis x er ligefordelt (uniformt fordelt) på [0;1], og t er givet
ved formlen herover, så bliver t netop eksponentialfordelt som du
ønsker.

Og ja, i Poisson-processen er de successive ventetider netop eksponen-
tialfordelte, så ved at blive ved med at regne nye værdier af t ud ud
fra formlen (2), får du hvor lang tid der går fra hver ankomst til den
næstfølgende ankomst. Det er fordi de successive ventetider også er
uafhængige (som stokastiske variable).

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Tak for svarene, jeg har vist fået den information jeg har brug for nu.

/Weber