---

Hejsa

Hvis vi har en følge af punkter {x_i} i et topologisk rum X, er den
oplagte definition af at {x_i} konvergerer mod x at det for enhver
åben omegn U af x skal gælde, at alle på nær endeligt mange af
x_i'erne skal tilhøre U. I den trivielle topologi konvergerer enhver
følge så mod ethvert punkt, og i den diskrete er det kun følger der er
konstante fra et vist trin som konvergerer.

Hvis X er Hausdorff (aka T2) er det ikke svært at vise, at en følge
højst kan have et grænsepunkt. Ejheller er det svært at finde et
eksempel på et Tychonoff-rum (aka T1) med en konvergent følge som
konvergerer mod to punkter (tag standardeksemplet med den reelle akse
hvor man fordobler punktet 0; så vil en følge af positive reelle tal
der konvergerer mod tallet 0 konvergere mod begge kopier af 0).

Mit spørgsmål er så nu: Kan man sige noget mere præcist om i hvilke
topologiske rum det gælder, at en konvergent følge har netop et
grænsepunkt? Umiddelbart har jeg svært ved at tro på, at det kun er
Hausdorff-rummene, men jeg kan ikke finde noget på nettet om emnet.

/Rasmus

--

---

Scripsit Rasmus Villemoes <burner+usenet@imf.au.dk>

> Mit spørgsmål er så nu: Kan man sige noget mere præcist om i hvilke
> topologiske rum det gælder, at en konvergent følge har netop et
> grænsepunkt? Umiddelbart har jeg svært ved at tro på, at det kun er
> Hausdorff-rummene, men jeg kan ikke finde noget på nettet om emnet.

Jeg mener at have lært at hvis man skal gå den anden vej, er man nødt
til at generalisere følger til net eller filtre. Men jeg kan ikke
huske detaljerne.

--
Henning Makholm "No one seems to know what
distinguishes a bell from a whistle."

---

Henning Makholm wrote:
> Scripsit Rasmus Villemoes <burner+usenet@imf.au.dk>

>>Mit spørgsmål er så nu: Kan man sige noget mere præcist om i hvilke
>>topologiske rum det gælder, at en konvergent følge har netop et
>>grænsepunkt? Umiddelbart har jeg svært ved at tro på, at det kun er
>>Hausdorff-rummene, men jeg kan ikke finde noget på nettet om emnet.

> Jeg mener at have lært at hvis man skal gå den anden vej, er man nødt
> til at generalisere følger til net eller filtre. Men jeg kan ikke
> huske detaljerne.

Et opslag i Analysis Now leder hen til:

1.3.6 Proposition

A point x in a topological space (x,tau) belongs to the closure
of a set Y iff there is a net in Y converging to x.

Senere bemærkes:

1.3.10 Remark

It follows from 1.3.6 that a topology is determined by the family
of convergent nets on the space. In priciple, convergense is
therefore an alternative way to describe topological phenomena
(cf. your high school curriculum ir freshman calculus course). One
may say that a description in terms of open sets gives a static
view of the problem, whereas convergence arguments yield a more
dynamic descrition. Which one to choose often depends on the
nature of the problem, so keep both in mind.


--
Jens Axel Søgaard

---

Rasmus Villemoes <burner+usenet@imf.au.dk> writes:

> Mit spørgsmål er så nu: Kan man sige noget mere præcist om i hvilke
> topologiske rum det gælder, at en konvergent følge har netop et
> grænsepunkt? Umiddelbart har jeg svært ved at tro på, at det kun er
> Hausdorff-rummene, men jeg kan ikke finde noget på nettet om emnet.

Et rum med den egenskab kaldes sekventielt hausdorff. Som andre har
nævnt er hausdorff-egenskaben ækvivalent med at net højst har et
grænsepunkt, og jeg vil uden videre påstå at hvis man antager
førstetællelighed[1] af rummet, vil hausdorff-egenskaben være
kvivalent med entydighed af grænser for følger.

1) Ethvert punkt har en tællelig omegnsbasis - altså en følge (U_n)
af omegne, så det for enhver omegn V gælder at der findes et n, så
U_n er indeholdt i V
--
Stefan Holm
"Don't warn the tadpoles!"

---

Stefan Holm <nospam@algebra.dk> writes:

> og jeg vil uden videre påstå at hvis man antager
> førstetællelighed[1] af rummet, vil hausdorff-egenskaben være
> kvivalent med entydighed af grænser for følger.

Ved nærmere eftertanke bør jeg nok egentlig komme med et bevis - om
ikke andet så for min egen skyld. Hausdorff-egenskaben medfører som
nævnt klart entydighed, så lad os se på den anden vej.

Vi viser det kontraponerede udsagn, altså at ikke-hausdorff medfører
en følge med to grænsepunkter. Lad altså x og y være to forskellige
punkter uden disjunkte omegne.

Førstetællelighed giver omegnsbaser (U_n) og (V_n) - vi kan
selvfølgelig vælge dem så U_n er indeholdt i U_(n+1) og tilsvarende
for V_n, og pr. antagelse har vi at hvis vi lader T_n være
fællesmængden af U_n og V_n, så vil T_n være ikke-tom for alle n.

Ved udvalgsaksiomet findes en følge (x_n), så x_n ligger i T_n, men
en sådan følge må konvergere mod både x og y.

--
Stefan Holm
"Deponér til forsøget er betalt - det er din ret!"

---

Stefan Holm wrote:
>
> > Mit spørgsmål er så nu: Kan man sige noget mere præcist om i hvilke
> > topologiske rum det gælder, at en konvergent følge har netop et
> > grænsepunkt? Umiddelbart har jeg svært ved at tro på, at det kun er
> > Hausdorff-rummene, men jeg kan ikke finde noget på nettet om emnet.
>
> Et rum med den egenskab kaldes sekventielt hausdorff.

Ineterssant. Ved at søge på dette begreb finder jeg
http://www.math.ku.dk/~topsoe/3mi6.ps
til sidst i hvilken fil der i Opgave 36 og efterfølgende bemærkning
gives et eksempel på et sekventielt hausdorff rum der *ikke* er
hausdorff.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)