---

Er det muligt at vise at arctan(x) differentieret er 1/(1+x2)
?

Jeg har ledt efter det på google, men uden held.


--
Mvh
Anders Lund
Anders@GEDzaim.dk
Fjern geden fra min email adresse

---

Anders Lund wrote:
> Er det muligt at vise at arctan(x) differentieret er 1/(1+x2)

Ja. Begynd med definitionen, tan(arctan(x)) = x, og differentiér mht. x
på begge sider af lighedstegnet:

   d/dx (tan(arctan(x))) = d/dx (x)

Det burde der komme noget brugbart ud af, når man indser, at venstre
side differentieres som en sammensat funktion.

--
Jonas Møller Larsen

---

Jonas Møller Larsen wrote:
>
> > Er det muligt at vise at arctan(x) differentieret er 1/(1+x2)
>
> Ja. Begynd med definitionen, tan(arctan(x)) = x, og differentiér mht. x
> på begge sider af lighedstegnet:
>
> d/dx (tan(arctan(x))) = d/dx (x)
>
> Det burde der komme noget brugbart ud af, når man indser, at venstre
> side differentieres som en sammensat funktion.

Ja.
Fordi (d/dy)tan y = 1 + (tan y)² , gælder (d/dx)arctan x = 1/(1+x²).

Mere generelt kan man vise en sætning om differentiation af invers
funktion der (lidt farligt!) kan sammenfattes i: dy/dx = 1/(dx/dy) .

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Anders Lund wrote in <c3fr90$h2j$1@sunsite.dk>:

> Er det muligt at vise at arctan(x) differentieret er
> 1/(1+x2) ?

Det er selvfølgeligt muligt. En vej at gå kunne være at
finde differentialkvotienten for tan(x). Du kan så benytte
at hvis f(x) = arctan(x) så er tan(f(x)) = x. Du kan
differentiere tan(f(x)) som en sammensat funktion, og
dermed finde f'(x) = 1/(1+x²).