---

Jeg har siddet og leget lidt med Keplers ligning, som giver "mean anomaly",
M, (hvad hedder det på dansk? Middelanomalien?) som funktion af
excentriciteten, e, og den excentriske anomali, E:

M = E - e sin E

Som det ses, kan E ikke isoleres - der er tale om en transcendent ligning.
Det er dog relativt enkelt at finde E ud fra M og e ved iteration; hvis man
f.eks. løser

E = M + e sin E

og sætter E=0 ind først, og så bruger det nye resultat i den næste
beregning, så konvergerer værdierne hurtigt.

Mit spørgsmål: hvordan kan man være sikker på, at forskellige initialværdier
for E ikke giver konvergens ved forskellige værdier?

Mvh Steen

---

Scripsit "Steen" <virker@ikke.invalid>

> E = M + e sin E

> og sætter E=0 ind først, og så bruger det nye resultat i den næste
> beregning, så konvergerer værdierne hurtigt.

> Mit spørgsmål: hvordan kan man være sikker på, at forskellige initialværdier
> for E ikke giver konvergens ved forskellige værdier?

Generelt skal du have fat i noget iterationsteori. I dette tilfælde er
det dog forholdsvis ligetil: Du itererer funktionen f: x |-> M+e*sin(x).

Idet f er C¹ og |f'(x)| < 1 næsten overalt, har f højst ét fikspunkt,
og iteration af f vil konvergere mod dette fikspunkt uanset startværdien.

(Bevis: For alle x og y gælder |f(x)-f(y)| < |x-y|. Heraf er det let
at se at et evt. fikspunkt er unikt. Kald det E. Vi ser at
|f(x)-E|<|x-E| for alle x!=E; så følgen |f^n(x0)-E| er monotont
aftagende. Derfor har den en grænseværdi d. På grund af kontinuitet må
der gælde at f(E±d) = E±d, hvilket kun kan lade sig gøre hvis E±d er
fikspunkt. Altså er d=0, og vi er færdige).

--
Henning Makholm "That's okay. I'm hoping to convince the
millions of open-minded people like Hrunkner Unnerby."

---

Steen skrev

> Jeg har siddet og leget lidt med Keplers ligning, som giver "mean
anomaly",
> M, (hvad hedder det på dansk? Middelanomalien?) som funktion af
> excentriciteten, e, og den excentriske anomali, E:
>
> M = E - e sin E
>
> Som det ses, kan E ikke isoleres - der er tale om en transcendent
ligning.
> Det er dog relativt enkelt at finde E ud fra M og e ved iteration;
hvis man
> f.eks. løser
>
> E = M + e sin E
>
> og sætter E=0 ind først, og så bruger det nye resultat i den næste
> beregning, så konvergerer værdierne hurtigt.
>
> Mit spørgsmål: hvordan kan man være sikker på, at forskellige
initialværdier
> for E ikke giver konvergens ved forskellige værdier?

Som Henning allerede har svaret på, så er der i teorien altid
konvergens. I praksis vælger man dog ofte at benytte Newtons
nulpunktsmetode til at løse Keplers ligning, hvilket giver en
iterationsformel der hedder

E_i+1 = E_i - [E_i - e sin E_i - M] / [1 - e cos E_i],

hvor E_0 gerne sættes til M, eller for store værdier af e (e > 0.8), til
pi. Selvom hver iteration kræver flere beregninger end for den direkte
iteration, så er konvergensen for de fleste værdier af e og M så meget
bedre at man samlet sparer mange regneoperationer.

Se evt. mere på http://www.google.com/search?q=kepler+equation+newton


Og ja, jeg vil også mene, at det på dansk hedder "middelanomali".

Mvh,
--
Filip Larsen

---

Filip Larsen wrote:
>
> Som Henning allerede har svaret på, så er der i teorien altid
> konvergens.

Lad os tage et andet simpelt eksempel:

f(x) = cos x

hvor x regnes i radianer. Et fikspunkt opfylder så x=f(x). Det er klart
at *hvis* iterationen a, f(a), f(f(a)), f(f(f(a))), ... konvergerer mod
en værdi, så er denne værdi et fikspunkt. Det er fordi f er kontinuert.
I dette tilfælde får man konvergens.

Men tag i stedet

g(x) = cos(5x)

Her er der tre fikspunkter (tegn selv grafen for g og identitesafbild-
ningen i et koordinatsystem, og se at x=g(x) har løsninger). Men
iterationen a, g(a), g(g(a)), g(g(g(a))), ... er divergent (medmindre
da man mirakuløst nok vælger ét af fikspunkterne som startværdi a).

Problemet med g er at den ikke opfylder at den afledede g' er numerisk
mindre end 1.

Iterationer som dem jeg her har beskrevet, er lette at lege med på
mange lommeregnere.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>

> g(x) = cos(5x)

> Her er der tre fikspunkter (tegn selv grafen for g og identitesafbild-
> ningen i et koordinatsystem, og se at x=g(x) har løsninger). Men
> iterationen a, g(a), g(g(a)), g(g(g(a))), ... er divergent (medmindre
> da man mirakuløst nok vælger ét af fikspunkterne som startværdi a).

Der er også startværdier der først efter et antal trin rammer et
eksakt fikspunkt. Men der er kun tælleligt mange af dem, så det vil
stadig være mirakuløst hvis man vælger en sådan.

--
Henning Makholm "Nej, hvor er vi altså heldige! Længe
leve vor Buxgører Sansibar Bastelvel!"

---

Henning Makholm wrote:
>
> > g(x) = cos(5x)
>
> > Her er der tre fikspunkter (tegn selv grafen for g og identitesafbild-
> > ningen i et koordinatsystem, og se at x=g(x) har løsninger). Men
> > iterationen a, g(a), g(g(a)), g(g(g(a))), ... er divergent (medmindre
> > da man mirakuløst nok vælger ét af fikspunkterne som startværdi a).
>
> Der er også startværdier der først efter et antal trin rammer et
> eksakt fikspunkt. Men der er kun tælleligt mange af dem, så det vil
> stadig være mirakuløst hvis man vælger en sådan.

Men der er sikkert ikke startværdier der fører til en følge der konver-
gerer mod et fikspunkt *uden* at følgen er konstant fra et vist trin?

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>
> Henning Makholm wrote:

> > > g(x) = cos(5x)

> > Der er også startværdier der først efter et antal trin rammer et
> > eksakt fikspunkt.

> Men der er sikkert ikke startværdier der fører til en følge der konver-
> gerer mod et fikspunkt *uden* at følgen er konstant fra et vist trin?

Ja, sådan nogen findes bevisligt ikke, når hældningen i fikspunkterne
er numerisk større end 1 (og funktionen er C¹).

Jeg kan derimod ikke med sikkerhed gennemskue om der er følger der
konvergerer mod en *periodisk* attraktor. Det virker usandsynligt, men
jeg kan ikke på stående fod bevise at de ikke findes.

--
Henning Makholm "I ... I have to return some videos."

---

Henning Makholm wrote:
> Jeg kan derimod ikke med sikkerhed gennemskue om der er følger der
> konvergerer mod en *periodisk* attraktor. Det virker usandsynligt, men
> jeg kan ikke på stående fod bevise at de ikke findes.

Hvis f har en periodisk attraktor med periode n, må den sammensatte
funktion f^n konvergere mod et fikspunkt. Men hvis |df/dx| > 1 for alle
x, må også |df^n/dx| > 1 (idet df^n/dx er et produkt af n df/dx'er jvf.
kæderegelen), så f kan ikke have en periodisk attraktor, når |df/dx| > 1.

Men hvis |df/dx| både er større og mindre end 1 for forskellige x, kan
man godt forestille sig en grænsecykel, selvom f ikke har stabile
fikspunkter. Jeg tør ikke spå om, hvordan lige f(x) = cos(5x) opfører
sig, men det kan man vel undersøge numerisk.

--
Jonas Møller Larsen

---

Scripsit Jonas Møller Larsen <nospam@nospam.nospam>
> Henning Makholm wrote:

> > Jeg kan derimod ikke med sikkerhed gennemskue om der er følger der
> > konvergerer mod en *periodisk* attraktor. Det virker usandsynligt, men
> > jeg kan ikke på stående fod bevise at de ikke findes.

> Hvis f har en periodisk attraktor med periode n, må den sammensatte
> funktion f^n konvergere mod et fikspunkt.

Ja.

> Men hvis |df/dx| > 1 for alle x,

Det er imidlertid ikke tilfældet for x |-> cos5x. Den afledede antager
endda værdien 0.

> Jeg tør ikke spå om, hvordan lige f(x) = cos(5x) opfører
> sig, men det kan man vel undersøge numerisk.

Problemet er at selv om man undersøger f^n for et antal n og finder ud
af at ingen af de flade stykker falder sammen med fikspunkter, er det
ikke lige til at være sikker på at det samme er tilfældet også for
f^(n+1).

--
Henning Makholm "`Update' isn't a bad word; in the right setting it is
useful. In the wrong setting, though, it is destructive..."

---

Henning Makholm wrote:
> Scripsit Jonas Møller Larsen <nospam@nospam.nospam>
>>Jeg tør ikke spå om, hvordan lige f(x) = cos(5x) opfører
>>sig, men det kan man vel undersøge numerisk.
>
> Problemet er at selv om man undersøger f^n for et antal n og finder ud
> af at ingen af de flade stykker falder sammen med fikspunkter, er det
> ikke lige til at være sikker på at det samme er tilfældet også for
> f^(n+1).

Man får vel en figentrælignende ting, hvis man plotter fikspunkterne
(eller hvad de nu hedder, når de holder op med at være fikspunkter) for
x |-> cos(ax) som funktion af a?

Når man så har fået en idé om, om a=5 ligger i et interval med
grænsecykler eller i et kaotisk interval, kan man prøve at stykke
formelt bevis sammen for dét, man så tror, gælder.

--
Jonas Møller Larsen

---

Scripsit Jonas Møller Larsen <nospam@nospam.nospam>

> Man får vel en figentrælignende ting, hvis man plotter fikspunkterne
> (eller hvad de nu hedder, når de holder op med at være fikspunkter)
> for x |-> cos(ax) som funktion af a?

> Når man så har fået en idé om, om a=5 ligger i et interval med
> grænsecykler eller i et kaotisk interval, kan man prøve at stykke
> formelt bevis sammen for dét, man så tror, gælder.

Jo, men stadig er det svært at bruge den fremgangsmåde til at være
sikker på at have mødt kaos. Selv de "kaotiske" områder af et normalt
figentræ er jo fyldt med små vinduer af attraktiv periodicitet, og det
er svært at udelukke at a=5 *er* i sådan et vindue, men at man blot
ikke kiggede tydeligt nok efter til at få øje på det.

--
Henning Makholm "The compile-time type checker for this
language has proved to be a valuable filter which
traps a significant proportion of programming errors."