---

?
Har genstande en "egentemperatur" eller "hviletemperatur", som er betinget
af stoffet selv?

Som jeg har forstået det, er temperatur et udtryk for atomernes/molekylernes
svingninger - og der vil være en vekselvirkning med omgivelserne.
Det vil naturligvis på den baggrund være svært at forestille sig et totalt
isoleret system, hvor der anbringes en klods, der ikke kan interagere, men
som alligevel vil kunne finde sin "egenfrekvens" ved at afgive varme til
omgivelserne.
Men er der nogen teoretiske overvejelser omkring dette - eller sagt på en
anden måde - er stoffers naturlige tilstand at befinde sig ved 0 K?

---

Rømer wrote:
> Har genstande en "egentemperatur" eller "hviletemperatur", som er betinget
> af stoffet selv?

Der er nogle karakteristiske egenskaber ved forskellige stoffer, som
kommer til udtryk ved at deres faseovergange ligger ved forskellige
temperaturer. Jeg er ikke bekendt med noget som er analogt med en slags
"egentemperatur", men jeg kender en som sikkert har et forslag, hvis der
findes sådan en og han læser sikkert denne tråd (hint, hint, Gnalle).

> Som jeg har forstået det, er temperatur et udtryk for atomernes/molekylernes
> svingninger - og der vil være en vekselvirkning med omgivelserne.
> Det vil naturligvis på den baggrund være svært at forestille sig et totalt
> isoleret system, hvor der anbringes en klods, der ikke kan interagere, men
> som alligevel vil kunne finde sin "egenfrekvens" ved at afgive varme til
> omgivelserne.

Der skriver du to ting som jeg har svært ved at forstå: at et (i
teorien) isoleret system skulle være i stand til at afgive varme er en
selvmodsigelse, og så er det det med "egenfrekvensen" igen - jeg tror
ikke at der findes sådan en.

> Men er der nogen teoretiske overvejelser omkring dette - eller sagt på en
> anden måde - er stoffers naturlige tilstand at befinde sig ved 0 K?

Det synes jeg ikke. Grunden til at jeg skriver "synes" er fordi at
begrebet "naturlige tilstand" i dit spørgsmål er åbent for fortolkninger.

Der er en masse spændende fysik som har med stoffer og deres
karakteristiske egenskaber at gøre. Her undersøger man blandt andet
koblingen imellem temperatur og tryk, som stadigvæk for visse stoffer er
et område der ikke har en dækkende teori.

Specielt når du skriver om egenfrekvenser, så vil jeg nævne at de på RUC
arbejder med en type forsøg hvor man udsætter en vædske for en
pulserende temperaturpåvirkning, der ved visse frekvenser viser nogle
meget specielle egenskaber, som tolkes som en slags faseovergang.

Hvis det har din interesse, så send en mail til gnalle snabela ruc dot
dk, han er ved at skrive en ph. d. om emnet.

Mvh. Michael.

---

Rømer wrote:
> Har genstande en "egentemperatur" eller "hviletemperatur",
> som er betinget af stoffet selv?
Nej.

Du kan jo tage et vilkårligt stof og varme det op eller køle
det ned, og hvis du placeret det i et perfekt isoleret system
(idealiseret), vil temperaturen ikke ændrer sig. Der er derfor
ingen temperatur, der er "bedrer" end en anden.

Derimod er positionen af faseovergange bestemt af stoffers
molekylære egenskaber. F.eks. når vand fryser ved 0 grader
(under standard betingelser). Årsagen herfor er at et vandmolekyle
i isfasen har lige så stor "energi" (det præcise begreb er det
kemisk potential) som i vandfasen ved 0 grader. Ved 50 grader
har vandmolekyler i isfasen en langt højrer "energi" end vandmolekyler
i vandfasen, hvorfor de straks smelter. Ved 150 grader har
vandmolekyler lavere "energi" i gas fasen end i væske og isfaserne
og derfor fordamper vandet.

Positionen af faseovergange er altså bestemt af hvor "energien"
af et molekyle i to (eller flere) faser er den samme, og dette
er bestemt af molekylære egenskaber.


> Som jeg har forstået det, er temperatur et udtryk for atomernes/
> molekylernes svingninger - og der vil være en vekselvirkning med
> omgivelserne.
Tingene er lidt mere komplicerede.

Termodynamik siger: dQ = T dS

Her er Q varmemængden (enhed energi), T er temperaturen (enhed kelvin)
og S er entropien (enhed energi/kelvin), og dX betyder en lille ændring
af størrelsen X.

Entropien er et mål for den viden du IKKE har om systemets tilstand.

Tænker du på et perfekt krystal (ved T=0), så ved du hvor alle
atomerne i krystallet sidder, og entropien er derfor 0, fordi du
ved alt.

Tilfører du nu en lille mænge varme (dQ) til krystallet så vil du se
at atomerne begynder med at ryste frem og tilbage fra deres
ligevægtsposition. Du ved derfor ikke længrer helt præcist hvor
atomerne er (kun deres gennemsnits position), og entropien er derfor
vokset med dS (entropien er Boltzmanns konstant * logaritmen af
root-mean-square fluktuation bredden). Tager du forholdet dQ/dS så
kan du udregne hvad temperaturen af krystallet er.

Hvis du nu forestiller dig at alle atomer svinger frem og tilbage i
takt, så ved du stadig hvor alle atomerne er, og entropien er stadig
0. Det er kun de tilfældige termiske fluktuationer der betyder at
du ikke ved hvor atomet er der skaber entropi, og som derfor er
relevante for temperatur begrebet.


> Det vil naturligvis på den baggrund være svært at forestille
> sig et totalt isoleret system, hvor der anbringes en klods,
> der ikke kan interagere, men som alligevel vil kunne finde
> sin "egenfrekvens" ved at afgive varme til omgivelserne.

Systemet kan ikke være totalt isoleret og samtidigt afgive varme.

Et system vil derimod afgive varme indtil det er i termisk ligevægt
med omgivelserne. Det kan f.eks. ske ved at varme luft der derfor
begynder at cirkulere (konvektion), eller i vacuum ved at udsende
sort-legme stråling.

> Men er der nogen teoretiske overvejelser omkring dette - eller sagt på en
> anden måde - er stoffers naturlige tilstand at befinde sig ved 0 K?

Stoffers naturlige tilstand, er den tilstand vi finder dem i ved den
temperatur vi finder dem. Der er ikke en "mere" naturlig tilstand.

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.softwarepatenter.dk

---

>
> Systemet kan ikke være totalt isoleret og samtidigt afgive varme.
>
Jeg kan forstå på både dit og Zedelers svar, atjeg ikke har udtrykt mig
tydeligt nok - jeg forstår godt, at man ikke kan have et isoleret system,
der er i stand til at afgive varme - det var det, jeg fik pakket lidt
rigeligt ind, men troede at "naturligvis" og "alligevel" var indikatorer for
dette.

> Stoffers naturlige tilstand, er den tilstand vi finder dem i ved den
> temperatur vi finder dem. Der er ikke en "mere" naturlig tilstand.
Men man kan dog anslå atomer og derved bringe dem i en tilstand, hvor de per
se søger tilbage til en mere energifattig tilstand - altså en mere naturlig
tilstand.
Spørgsmålet var om man kunne forestille sig et stof havde et balancepunkt,
hvor dets "energibalance" (det lyder helt alternativt) var optimal - at
yderligere afkøling ikke ændrede på stoffets lad os bare sige kinetiske
energi -
Men jeg kan forstå, at temperatur ikke er en fysisk egenskab ved stoffet -
det er et udtryk for omgivelsernes interaktion med stoffet.

---

Rømer skrev:

>Spørgsmålet var om man kunne forestille sig et stof havde et balancepunkt,
>hvor dets "energibalance" (det lyder helt alternativt) var optimal - at
>yderligere afkøling ikke ændrede på stoffets lad os bare sige kinetiske
>energi -

Den nås først ved 0 K.

>Men jeg kan forstå, at temperatur ikke er en fysisk egenskab ved stoffet -
>det er et udtryk for omgivelsernes interaktion med stoffet.

Nej, ikke helt. Det er et udtryk for stoffets interaktion med sig
selv. Det er et mål for molekylernes gennemsnitsfart.

Så længe de har fart på, vil de (sandsynligvis) afgive energi til
langsommere molekyler. Der er ikke en 'ideel fart' som de på
mystisk vis kan opretholde efter sammenstød med langsommere
molekyler.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Scripsit "Rømer" <fupkonto@hotmail.dk>

> > Stoffers naturlige tilstand, er den tilstand vi finder dem i ved den
> > temperatur vi finder dem. Der er ikke en "mere" naturlig tilstand.

> Men man kan dog anslå atomer og derved bringe dem i en tilstand, hvor de per
> se søger tilbage til en mere energifattig tilstand - altså en mere naturlig
> tilstand.

Jo, men det er kun fordi atomet ikke er et lukket system. Hvis du
lukker dit anslåede atom inde i en kasse med spejlende sider, vil den
foton det udsender når det falder ned i en lavere tilstand, før eller
senere anslå atomet igen. Med tiden vil der indstille sig en
kvantemekanisk ligevægt mellem tilstandene "anslået atom" og "atom i
grundtilstanden plus fri foton".

> Spørgsmålet var om man kunne forestille sig et stof havde et balancepunkt,
> hvor dets "energibalance" (det lyder helt alternativt) var optimal - at
> yderligere afkøling ikke ændrede på stoffets lad os bare sige kinetiske
> energi -

Ifølge mit (ret naive) begreb om termodynamik er afkøling *per
definition* det samme som at fjerne indre energi fra stoffet. Din
forestilling er derfor selvmodsigende.

--
Henning Makholm "En tapper tinsoldat. En dame i
spagat. Du er en lykkelig mand ..."

---

Rømer wrote:
> Men man kan dog anslå atomer og derved bringe dem i en tilstand, hvor
> de per se søger tilbage til en mere energifattig tilstand - altså en
> mere naturlig tilstand.

Og det minder om hvad der sker når is smelter, fordi vand er
en mere "naturlig" tilstand når 0<T<100 grader (ved standard tryk).

Men du opfatter ikke atomet ovenover som isoleret, fordi det kan frit
udveksle fotoner med omgivelserne. På samme måde vil det termodynamiske
system frit kunne udveksle varme med omgivelserne. Hvad der er naturligt
bestemmes derfor af omgivelserne.


Hvis vi laver atom analogen med det isolerede system, der derfor
har en konstant temperatur, så kan du også isolere dit eksiterede
atom i et lille hulrum.

Hvis hulrummet er mindrer end bølgelængden af fotonen atomet gerne
vil udsende, så er der ikke "plads" til at udsende den. Den
eksiterede tilstand kan ikke henfalde til grundtilstanden for et
frit atom. Atomet der tidligere er i en ustabil tilstand er nu
i en stabil tilstand fordi det ikke kan henfalte.
(Søg på Cavity QED på google)

Hvis du på den anden side har dit atom i en laser, der aktivt
pumpes med energi, så vil der være en populationsinversion,
hvor der er flere atomer i den eksiterede tilstand end i
grundtilstanden. Hvad er nu den "naturlige" tilstand.


Hvis du har et isoleret termodynamisk system så er temperaturen
konstant. Hvis du tillader det at udveksle energi med koldere
eller varmere systemer, så vil temperaturen ændre sig.

Hvad der er naturligt afhænger af omgivelserne.

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.softwarepatenter.dk

---

"Rømer" wrote:
>
> Jeg kan forstå på både dit og Zedelers svar, atjeg ikke har udtrykt mig
> tydeligt nok - jeg forstår godt, at man ikke kan have et isoleret system,
> der er i stand til at afgive varme - det var det, jeg fik pakket lidt

Lad os helt glemme »isoleret system«. Hvis man nu tænkte sig at man
kunne anbringe noget stof i et uendeligt stort vakuum (rigtigt vakuum
uden indkommende stråling eller noget), ville stoffets temperatur så
falde helt ned til 0 K? Hvis ikke, må der være nogle kvantemekaniske
effekter på spil som måske fører til at det pågældende stof i denne
situation når en positiv sluttemperatur?

Dette er blot et forsøg på at give dit spørgsmål mening.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
> Lad os helt glemme »isoleret system«. Hvis man nu tænkte sig at man
> kunne anbringe noget stof i et uendeligt stort vakuum (rigtigt vakuum
> uden indkommende stråling eller noget), ville stoffets temperatur så
> falde helt ned til 0 K?

Hvis stoffet vekselvirker elektromagnetisk, vil det afkøles ved at
udsende termiske fotoner (vi antager, at disse fotoner går tabt for
evigt). Man kan regne på det ved at bruge, at den tabte energi pr. tid
er proportional med T^4, og bruge sammenhængen mellem stoffets
energiindhold og temperatur E(T), som jeg ikke lige kan huske hvad er
(og under hvilke antagelser). Men mon ikke resultatet bliver, at
temperaturen konvergerer mod nul for t (tiden) gående mod uendeligt; det
er mit umiddelbare gæt.

> Hvis ikke, må der være nogle kvantemekaniske
> effekter på spil som måske fører til at det pågældende stof i denne
> situation når en positiv sluttemperatur?

Det gør de kvantemekaniske effekter ikke. T=0 svarer ikke til, at alle
atomerne ligger stille, men svarer til, at alle atomer er i deres
grundtilstand, og at entropien også er nul, fordi vi ved alt om
systemet. I denne sammenhæng er det irrelevant, at grundtilstanden måtte
have positiv energi (pga. ubestemthedsprincippet). (Se evt. Niels'
formel for p(i). Den skulle gerne være uafhængig af, hvor man lægger
nulpunktet for energi.)

--
Jonas Møller Larsen

---

"Rømer" <fupkonto@hotmail.dk> writes:

> Men man kan dog anslå atomer og derved bringe dem i en tilstand,
> hvor de per se søger tilbage til en mere energifattig tilstand -
> altså en mere naturlig tilstand.

Den laveste energitilstand er kun "naturlig" hvis temperaturen er
lav. Lad os sige at jeg har et kvantemekanisk system der kan antage
energitilstandene E_1 E_2 .....E_N. Jeg antager desuden at mit system
er forbundet med et varmebad med temperaturen T. (Hmm... Her burde
jegv bruge begrebet ensemble her)

Jeg venter til systemet er i ligevægt med varmebadet, og derefter
måler jeg systemets energi. Denne måling vil give med et af følgende
resultater: E_1 E_2 .... E_N. Hvis jeg gentager forsøget mange gange
kan jeg lade funktionen p(i) angive sandsynligheden for at jeg ved et
ivent forsøg måler energien E_i. Det viser sig at p(i) er givet ved
følgende formel

p(i) = exp(-E_i / (k_B * T))/Z

Her angiver k_B er Boltzmanss konstant (Du kender den fra
idealgasloven). Konstanten Z sørger for at summen af sandsynlighederne
bliver 1.

Z = exp(-E_1 / (k_B*T)) + exp(-E_2 / (k_B*T)).... + exp(-E_N /(k_B*T))

Hvis man prøver at sætte tilfældige nogen tal ind i denne formelen for
p(i), vil man opdage at p(i) er meget afhængig af temperaturen. Hvis
temperaturen er meget stor, så er energitilstandene lige sandsynlige.

p(i) = 1/N

Hvis derimod temperaturen er meget lille, så bliver den laveste
energitilstand meget mere sandsynlig end de andre. Derfor ligner den
laveste energitilstand en "naturlig tilstand".

> Spørgsmålet var om man kunne forestille sig et stof havde et
> balancepunkt, hvor dets "energibalance" (det lyder helt alternativt)
> var optimal - at yderligere afkøling ikke ændrede på stoffets lad os
> bare sige kinetiske energi - Men jeg kan forstå, at temperatur ikke
> er en fysisk egenskab ved stoffet - det er et udtryk for
> omgivelsernes interaktion med stoffet.

Du kan definere temperaturen på flere forskellige måder

1) I princippet kan du definere temperaturen som den konstant der får
formelen for p(i) til at passe. Hvis du bruger denne definition af
temperatur, så kan du ikke definere temperaturen af et system der er
ude af ligevægt. I dte hele taget er denne definition er noget rod.

2) Hvis du indfører en formel for entropien kan du bruge den til at
definere temperaturen (Se Carstens indlæg). Hvis du bruger denne
definition kan du vist også kun definere temperaturen af et system i
ligevægt.

3) Hvis man laver computerberegninger er det ofte en god ide at lade T
angive temperaturen af en varmebad. hvis man vil simulere noget på en
computer er man nødt til at give en meget præcis beskrivelse af
varmebadet. Det letteste er at beskrive varmebadet som en ydre kræft,
der skifter retning hele tiden. Her er eksempelvis et link til
Langevin-ligningen

http://en.wikipedia.org/wiki/Langevin_equation

Langevin-ligingen set sådan her ud

m *a(t) = F(t) - beta * m * v(t) + F'(t)

Her angiver a(t) systemets acelleration, mens v(t) angiver systemets
hastighed. F(t) er en (indre) kraft, mens m er systemets
masse. Bemærk at hvis beta=0 og F'(t) = 0, så svarer Langevinligingen
til Newtons lov.

Leddet beta * m * v(t) er en slags termisk gnidningskraft. Det sørger
for at systemet mister energi til varmebadet hvis temperaturen er for
høj. Hvis systemet bevæger sig mod højre så peger gnidningskraften mod
venstre, men hvis systemet bevæger sig mod venstre peger
gnidningskraften mod højre.

Kraften F'(t) beskriver støj fra varmebadet. Det er denne støj sørger
for at der hele tiden bliver tilført enerhi til systemet. Jeg vil ikke
kaste mig ud i en matematisk beskrivelse af hvid støj, men ideen er at
F'(t) skifter retning hele tid. Hvis man midler over tid kan man vise
at F'(t) i gennemsnit udfører i positivt arbejde på sysemet. Den
gennemsnitlige amplitude af støjen afhænger af varmebadets
temperatur. Jo større temperatur desto kraftigere er støjen.

Man kan ikke bruge Langevinligningen til at beskrive alle termiske
systemer, men jeg synes at den giver en god intuition for hvordan man
kan tænke på begrebet temperatur. Ideen er at temperaturen er en
beskrivelse af den støj der stammer fra systemets omgivelser. (jævnfør
dit eget indlæg)

5) Her er en til: Hvis et system har N frihedsgrader, så betyder det
at du har brug for N relle tal til at fastlægge systemets
tilstand. (Intet matematisk pedanteri her tak :) ). Lad os nu sige at
du undersøger er system med N frihedsgrader og måler den kinetiske
energi E_kin(t) som funktion af tiden. Hvis du laver en tilpas lang
måling kan du definere et gennemsnit af den kinetiske energi. Dette
gennemsnit kan vi kalde < E_kin >. Nu kan du definere temperaturen ved
(Se også Per's indlæg)

T = 2 < E_kin > / (k_B * N)

Denne definition har nogle fine egenskaber. Du kan definere
temperaturen af et system der ikke er i kontakt med et varmebad. men
til gengæld kan du kun definere temperaturen i ligevægt. Det skyldes
at du er nødt til at midle i uendelig lang tid for at finde <E_kin>.
Desuden er der vistnok problemer ved at bruge definitionen til at
kigge et lille systemer der ikke er i kontakt med et kunstigt
varmebad.

6) Her er en alternativ måde at definere <E_kin> på: Ideen er at du
kigger på M ens systemer (Her skal M være meget stor). Hvis du vil en
simpel beskrivelse af de M system, så kan du indføre tæthedsfunktion
f(x,v) der angiver hvor mange af de M systemer der befinder sig i
positionen x med hastighedsvektoren v. (her er x og v vektorer med
længden N hvor N igen er antallet af frihedsgrader). Hvis man
integrerer over alle x og v kan man vistnok definerere en temperatur
af ensemblet ved

T = 2 /(k_B N) * integral E_kin(v) f(x,v) dx dv

Her er E_kin(v) en funktion af hastighedsvektoren. Jeg kan ikke lige
huske detaljerne omkring denne definition af temperaturen. Måske det
hele løgn... men pyt med det.. det er jo usenet :)

7) Den store filosof Hegel gav også en meget klar definition. Den kan
du læse i min signatur.

--
Niels L Ellegaard http://dirac.ruc.dk/~gnalle/

Heat is the self-restoration of matter in its formlessness, its
liquidity the triumph of its abstract homogeneity over specific
definiteness, its abstract, purely self-existing continuity, as
negation of negation, is here set as activity. - Hegel

---

Niels L. Ellegaard wrote:
> Du kan definere temperaturen på flere forskellige måder
>
> 1) I princippet kan du definere temperaturen som den konstant der får
> formelen for p(i) til at passe. Hvis du bruger denne definition af
> temperatur, så kan du ikke definere temperaturen af et system der er
> ude af ligevægt. I dte hele taget er denne definition er noget rod.
>
> 2) Hvis du indfører en formel for entropien kan du bruge den til at
> definere temperaturen (Se Carstens indlæg). Hvis du bruger denne
> definition kan du vist også kun definere temperaturen af et system i
> ligevægt.

Det er vist også sådan, jeg lærte det.

> 3)

[klip, Langevin]

> Den
> gennemsnitlige amplitude af støjen afhænger af varmebadets
> temperatur. Jo større temperatur desto kraftigere er støjen.

Det lyder rimeligt. Der er vel en én-til-én sammenhæng mellem
varmebadets temperatur og amplituden af støjen?

> Man kan ikke bruge Langevinligningen til at beskrive alle termiske
> systemer, men jeg synes at den giver en god intuition for hvordan man
> kan tænke på begrebet temperatur. Ideen er at temperaturen er en
> beskrivelse af den støj der stammer fra systemets omgivelser. (jævnfør
> dit eget indlæg)

Kan man bruge den dersens Langevinligning til at definere en temperatur
af et system, som *ikke* er i termisk ligevægt? (Og hvilken mening giver
en sådan temperatur monstro; hvad er f.eks. "ikke-ligvægtstemperaturen"
af et køleskab med madvarer, som endnu ikke er har opnået termisk ligevægt?)

> 5) [...]
> T = 2 < E_kin > / (k_B * N) [...]

> 6) [...]
> T = 2 /(k_B N) * integral E_kin(v) f(x,v) dx dv
>
> Her er E_kin(v) en funktion af hastighedsvektoren. Jeg kan ikke lige
> huske detaljerne omkring denne definition af temperaturen. Måske det
> hele løgn... men pyt med det.. det er jo usenet :)

Man skal vel spekulere lidt over, hvordan man konstruerer ensemblet i
6). Nå, men 5) og 6) er øjensynligt ækvivalente, hvis man kan erstatte
integralet over tid med det tilsvarende integral over (et meget
multidimensionalt) faserum(met). Det kan man, hvis et enkelt system som
funktion af tiden "besøger" alle lovlige dele af faserummet, og et
system med denne egenskab kaldes ergodisk. (Er ergodicitet ikke én af de
dér ubeviste antagelser, som ser ud til at fungere i praksis, men som
kan give anledning til lange filosofiske termodynamiske diskussioner
(gaaab.

--
Jonas Møller Larsen

---

Jonas Møller Larsen wrote:
>> Jo større temperatur desto kraftigere er støjen.
> Det lyder rimeligt. Der er vel en én-til-én sammenhæng mellem
> varmebadets temperatur og amplituden af støjen?

Yeps. Det er hvad flukutuations-dissipationsteoremer går ud på.
For en Langevin ligningen gælder FD teoremet:

<F'(t1)F'(t2)> = 6kbT beta delta(t1-t2)

Temperatur og friktion bestemmer tilsammen amplituden af
den stokastiske kraft.

> Kan man bruge den dersens Langevinligning til at definere en
> temperatur af et system, som *ikke* er i termisk ligevægt?

Du kan altid lade beta eller ovenstående amplituden af kraften
variere i rummet, således at du varmer og køler forskellige
områder. Det er f.eks. interessant hvis man vil se på Soré
effekten.

>> T = 2 < E_kin > / (k_B * N) [...]

Dette fungere når hastigheder er Maxwell fordelte så man har
S=-integral P logP med P=N exp(-0.5mv^2/kbT)

Det svarer til at man kender alle koordinaterne for systemet,
men har coarsegrainet hastighederne til en fordeling, derved
har man en entropi og kan udregne en temperatur.

Hvis du har en uligvægtssituation så skal du tænke meget over
hvad du mener med hastighedsfordeling når du udregner entropien
og derfor temperaturen.

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.softwarepatenter.dk

---

Carsten Svaneborg <zqex@sted.i.tyskland.de> writes:
> Hvis du har en uligvægtssituation så skal du tænke meget over hvad
> du mener med hastighedsfordeling når du udregner entropien og derfor
> temperaturen.

Her er en ide til hvordan man kan definere temperaturen af et klassisk
ensemble. Det kræver at du angiver hvilken metode du vil benytte til
at tilføre varme til systemet. Temperaturen vil nødtvendigvis afhænge
af hvilken metode du benytter til at tilføre varme til systemet.

Tilførsel af varmen Q kan beskrives som en afbildning der fører et
system fra en tilstand (x,p) over i en anden tilstand (x',p') således
at

H(x',p') = H(x,p) + Q

Her angiver H systemets Hamiltonfunktionen (Hvis vi regner i et pænt
inertialsystem er H blot systemets mekaniske energi som funktion af x
og p).

Så vidt jeg husker er det oplagt at tilføre varmen til systemet ved at
gange alle impulser igennem med en konstant. Men du kan også vælge at
lægge et tilfældigt tal til alle impulserne. Hvis du regner på et
stort system, kan du vælge at du kun er interesseret i at tilføre
energi til de molekyler der befinder sig i den ene ende af
klodsen. Dette giver dig mulighed for at definere en temperatur af
klodsens ene ende.

Energien af et ensemple er givet ved

E = int f(x,p) H(x,p) dx dp

Entropien af ensemblet er givet ved

S = - k_B int f(x,p) ln f(x,p) dx dp

Hvis vi tilfører noget varme til alle systemerne i et ensemble f(x,p),
vil vi ende med et nyt ensemble f'(x,p). Dette ensemble er beskrevet
ved

E' = int f'(x,p) H(x,p) dx dp
S' = - k_B int f'(x,p) ln f'(x,p) dx dp

For små Q kan du håbe på at der eksisterer en konstant T således at

(E' -E) = T (S' - S)

Denne konstant kan vi passende kalde for temperatur. Jeg går ud fra at
hvis man regner på et system i ligevægt så kan man vise at
temperaturen er forholdsvis uafhængig af hvilken metode man vil
benytte til at tilføre varme til systemet. (Men jeg har ikke regnet
det efter)

Hmm nu er vi vist lidt langt væk fra det oprindelige spørgsmål :)

--
Niels L Ellegaard http://dirac.ruc.dk/~gnalle/

Heat is the self-restoration of matter in its formlessness, its
liquidity the triumph of its abstract homogeneity over specific
definiteness, its abstract, purely self-existing continuity, as
negation of negation, is here set as activity. - Hegel

---

Niels L. Ellegaard wrote:
[klip, om temperatur af ikke-ligevægtssystemer]
> For små Q kan du håbe på at der eksisterer en konstant T således at
>
> (E' -E) = T (S' - S)
>
> Denne konstant kan vi passende kalde for temperatur.

(Her må gælde, at E' - E = Q, mens S' - S afhænger af, hvordan varmen er
tilført systemet.)

Man kan vel også forestille sig det ved at se på systemet i (E,
S)-planen. For fastholdt værdi af E kan S antage alle værdier op til en
maksimal værdi, S_max(E). De maksimale S-værdier definerer så en kurve i
planen, og systemets temperatur i et kurvepunkt er givet ved den
reciprokke kurvehældning i punktet (jævnfør en tidligere definition).
Ikke-ligevægtssystemer svarer til punkter under kurven (hvor entropien
ikke er maksimal), og det er klart, at temperaturen som defineret
ovenfor afhænger af, i hvilken retning man bevæger sig væk fra
udgangspunktet. Hvilket igen gør, at temperatur som funktion af
systemets øjeblikkelige konfiguration, T(E, S), kun er veldefineret for
systemer i ligevægt.

> Jeg går ud fra at
> hvis man regner på et system i ligevægt så kan man vise at
> temperaturen er forholdsvis uafhængig af hvilken metode man vil
> benytte til at tilføre varme til systemet. (Men jeg har ikke regnet
> det efter)

Hvis systemet bevæger sig fra ligevægt til ikke-ligevægt, må
temperaturen afhænge af slutkonfigurationen, altså af hvordan varmen
tilføres systemet. Men venter vi til systemet igen har opnået ligevægt,
må temperaturen være veldefineret (svarer til at vi netto er gået et
lille skridt langs ligevægtskurven). At temperaturen i den nye
ligevægtssituation ikke afhænger af, hvordan vi nåede dertil, er også i
overensstemmelse med, at et system i ligevægt har "glemt" informationen
om sin fortid (Jeg er ikke den store informationsteoretiker, men der er
noget med, at tilvæksten i entropi er lig med tabet af information.).

> Hmm nu er vi vist lidt langt væk fra det oprindelige spørgsmål :)

Sådan går det jo.

--
Jonas Møller Larsen

---

Jonas Møller Larsen wrote:
>> Denne konstant kan vi passende kalde for temperatur.
> (Her må gælde, at E' - E = Q, mens S' - S afhænger af, hvordan varmen er
> tilført systemet.)

Hvis der er energibevarelse når der ikke tilføres varme, er
S=-Kb Log(Gamma) hvor Gamma er antallet af tilstande på den
mikrokanoniske mangfoldighed (forudsat at systemet ergodisk)
i såfald vil S'-S ikke afhænge af hvordan energien er tilført.

Hvis systemet ikke er ergodisk, så vil du kun kunne besøge
et subset af tilstandene på den mikrokanoniske mangfoldighed
og disse vil kunne afhænge af hvordan energien er tilført
Og så vil Gamma(Q)<Gamma og entropien derfor højrer og ting
er komplicerede.

Og dette virker kun hvis dem mikrokanoniske mangfoldighed eller
dens subset dækkes nogenlunde homogent, og derfor maksimere
entropien.

Et interessant spørgsmål er netop hvad der sker med et
statistisk fysisk system som driver eller udsætter for
støj (under kravet til energibevarelse), hvis man tænker
på dets dynamik på den mikrokanoniske mangfoldighed.

En af mulighederne er at systemet istedet for at dække
hele mangfoldigheden bliver begrænset til en strange attraktor,
og man kan så definere en entropi i dette tilfælde, der er
målet for antallet af tilstande på attraktoren, og ikke hele
mangfoldigheden.

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.softwarepatenter.dk

---

Carsten Svaneborg wrote:
> Jonas Møller Larsen wrote:
>>>Denne konstant kan vi passende kalde for temperatur.
>>(Her må gælde, at E' - E = Q, mens S' - S afhænger af, hvordan varmen er
>>tilført systemet.)
>
> Hvis der er energibevarelse når der ikke tilføres varme, er
> S=-Kb Log(Gamma) hvor Gamma er antallet af tilstande på den
> mikrokanoniske mangfoldighed (forudsat at systemet ergodisk)
> i såfald vil S'-S ikke afhænge af hvordan energien er tilført.

Men det handlede om systemer, som ikke var i ligevægt. Så giver
ergodicitet vist ingen mening, fordi det drejer sig om systemets
opførsel, når tiden går mod uendelig, hvilket er det samme som at
systemet har opnået ligevægt, hvilket er i modstrid med, at systemet
ikke er i ligevægt.

(Eksempel: Antag, at vi opvarmer et system ved (instantant) at fordele
varmen, Q, til systemets ene halvdel, mens den anden halvdel beholder
sin oprindelige hastighedsfordeling (temperatur). Dette giver klart en
lavere entropi, end hvis vi havde opvarmet systemet jævnt.)

> Et interessant spørgsmål er netop hvad der sker med et
> statistisk fysisk system som driver eller udsætter for
> støj (under kravet til energibevarelse), hvis man tænker
> på dets dynamik på den mikrokanoniske mangfoldighed.
>
> En af mulighederne er at systemet istedet for at dække
> hele mangfoldigheden bliver begrænset til en strange attraktor,

Taler vi her strange attraktor som i "fraktal"?

> og man kan så definere en entropi i dette tilfælde, der er
> målet for antallet af tilstande på attraktoren, og ikke hele
> mangfoldigheden.

Hvis attraktoren har en ikke-heltallig dimension, må det være ret
vanskeligt at tælle antallet af tilstande på den (måle dens volumen).

--
Jonas Møller Larsen

---

Jonas Møller Larsen wrote:
> Men det handlede om systemer, som ikke var i ligevægt.
> Så giver ergodicitet vist ingen mening
Enig.

>> En af mulighederne er at systemet istedet for at dække
>> hele mangfoldigheden bliver begrænset til en strange attraktor,
> Taler vi her strange attraktor som i "fraktal"?
Ja.

> Hvis attraktoren har en ikke-heltallig dimension, må det være ret
> vanskeligt at tælle antallet af tilstande på den (måle dens volumen).

Vi kan tilfører noget energi, og måle ændringen i temperatur, og
med lidt held integrere for at finde entropien. Hvis vi blot
venter længe nok til at systemet at finde sin ligevægt på attraktoren.

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.softwarepatenter.dk

---

"Rømer" <fupkonto@hotmail.dk> skrev i en meddelelse
news:3fb1e363$0$143$edfadb0f@dread11.news.tele.dk...
> ?
> Har genstande en "egentemperatur" eller "hviletemperatur", som er betinget
> af stoffet selv?
>
> Som jeg har forstået det, er temperatur et udtryk for
atomernes/molekylernes
> svingninger - og der vil være en vekselvirkning med omgivelserne.
....

Det er nok mere korrekt at forestille sig at temperatur er et
udtryk for atomers/molekylers kinetiske energi = 1/2 mv¨2


--
Med venlig hilsen
Per A. Hansen

---

"Rømer" <fupkonto@hotmail.dk> wrote in message
news:3fb1e363$0$143$edfadb0f@dread11.news.tele.dk...
> ?
> Har genstande en "egentemperatur" eller "hviletemperatur", som er betinget
> af stoffet selv?
>
> Som jeg har forstået det, er temperatur et udtryk for
atomernes/molekylernes
> svingninger - og der vil være en vekselvirkning med omgivelserne.
> Det vil naturligvis på den baggrund være svært at forestille sig et totalt
> isoleret system, hvor der anbringes en klods, der ikke kan interagere, men
> som alligevel vil kunne finde sin "egenfrekvens" ved at afgive varme til
> omgivelserne.
> Men er der nogen teoretiske overvejelser omkring dette - eller sagt på en
> anden måde - er stoffers naturlige tilstand at befinde sig ved 0 K?

De postulerede svingninger ved 0 K er jo blot en teori ligesom kvantespring
fra planetbane til planetbane der *droppedes* til fordel for skift fra
orbital-elektronsky til en anden orbital-elektronsky. Sandsynligheder trådte
i stedet for gammeldags visualisering - ikke at det betød en skid for noget
praktisk.

Det hele er modeller og ikke noget som er betragtet i mikroskop. Who cares?
Har det gavnet noget at "tilkende egen-temperatur til et stof"?

---

Bo Warming wrote:

> De postulerede svingninger ved 0 K er jo blot en teori

Har du en bedre teori?

> ligesom kvantespring fra planetbane til planetbane der *droppedes* til
> fordel for skift fra orbital-elektronsky til en anden
> orbital-elektronsky. Sandsynligheder trådte i stedet for gammeldags
> visualisering - ikke at det betød en skid for noget praktisk.

Rettelse: *Du* kan ikke komme på en grund til at forskellen er vigtig.
En bedre model skal altid vige for en dårligere. Ellers havde vi stadig
troet på at jorden var universets centrum. Det var jo meget nemmere at
visualisere da vi jo åbenlyst står stille, mens alt andet bevæger sig!

> Det hele er modeller og ikke noget som er betragtet i mikroskop. Who
> cares? Har det gavnet noget at "tilkende egen-temperatur til et
> stof"?

Debat af videnskabens nytte hører ikke hjemme i denne nyhedsgruppe, men
f.eks. i dk.politik. Her diskuterer vi videnskab for videnskabens
skyld. Hvis du ikke kan indfinde dig med det, så er der en unsubscribe
knap.

--
PeKaJe

Mr. Rockford? You don't know me, but I'd like to hire you. Could you call
me at... My name is... uh... Never mind, forget it! -- "The Rockford Files"