---

Jeg har glemt den smule komplekse funktionsanalyse som jeg engang
laerte, og jeg har et lille problem, som jeg ikke kan loese. Jeg
starter med en en funktion f: C->C, der skal opfylde foelgende

f(x) = 1 - x for x \in [0:1]
f(x) = 0 for x \in [1:\infty]

Her angiver [0:1] og [1:\infty] er delmaengder af R og \in betyder "er
element i". Jeg stiller ikke nogen krav om hvad der sker hvis x er
kompleks. Nu leder jeg efter en funktion F(s) saaledes at

f(x) = \int_0^\infty F(s) \exp(- s x) ds

Her angiver \int_0^\infty et integral langs den reelle akse fra 0 til
uendelig. Nu vil jeg gerne finde en F(s). Jeg kunne forestille mig at
det var noget med Bromwich integral, men jeg kan ikke se hvordan jeg
faar det i spil. Det kraver velsagtens at jeg finder et fornuftigt
udtryk for f(x) komplekse x.

Naar jeg kender loesningen paa det problem jeg lige har beskrevet, saa
vil jeg gerne gentage udregningen for foelgende f.

f(x) = 1/x - 1 for x \in [0:1]
f(x) = 0 for x \in [1:\infty]

Paa forhaand tak for alle hints og flames

Niels

--
Niels L Ellegaard http://dirac.ruc.dk/~gnalle/

---

Niels L. Ellegaard wrote:
> Jeg har glemt den smule komplekse funktionsanalyse som jeg engang
> laerte, og jeg har et lille problem, som jeg ikke kan loese. Jeg
> starter med en en funktion f: C->C, der skal opfylde foelgende
>
> f(x) = 1 - x for x \in [0:1]
> f(x) = 0 for x \in [1:\infty]

På den imaginære akse, dvs. Fourier transformationen af
trekants fordelingen er (sin(q*R)/qR)^2

Den fysiske årsag er at par-distance fordelingen mellem punkter på en
kugleflade er trekantsfunktionen, vektoren mellem to punkter på en
kugle kan altid opløses i en vektor fra overflade til centrum, og
fra centrum til overflade, så par-fordelingen kan skrives som en
convolution. Fourier transformeres convolutionen bliver det til et
produkt af den radiale fordeling der jo er en deltafunktion(r-R),
der trivielt Fourier transformeres til sin(qR)/(qR).

Gad vide om du kan erstatte q med is fra Laplace transformationen?

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.softwarepatenter.dk

---

gnalle@ruc.dk (Niels L. Ellegaard) wrote in message news:<7wwufnqzh1.fsf@dirac.ruc.dk>...

Hej Niels.

Da jeg laeste dit indlag for et dage siden, var mit
umiddelbare indtryk, at problemet ikke kan loeses.
Eftersom der endnu ikke er blevet postet en konkret
loesning, toer jeg vove paastanden i fuld offentlighed:)
Her er grunden:

> Jeg har glemt den smule komplekse funktionsanalyse som jeg engang
> laerte, og jeg har et lille problem, som jeg ikke kan loese. Jeg
> starter med en en funktion f: C->C, der skal opfylde foelgende
>
> f(x) = 1 - x for x \in [0:1]
> f(x) = 0 for x \in [1:\infty]
>
> Her angiver [0:1] og [1:\infty] er delmaengder af R og \in betyder "er
> element i". Jeg stiller ikke nogen krav om hvad der sker hvis x er
> kompleks. Nu leder jeg efter en funktion F(s) saaledes at
>
> f(x) = \int_0^\infty F(s) \exp(- s x) ds

Saafremt F er bare nogenlunde "paen" (i L^2(0,\infty) f.eks) er
det ovenstaaende interal et forholdsvis regulaert udtryk. Funktionen
f er i x=1 ikke differentierbar, hvorfor jeg har svaert ved at se,
hvordan man skulle kunne finde en fornuftig loesning F. Det er i
sagens natur svaert fuldstaendig at udelukke eksistensen af en
loesning, idet man muligvis ved at tolke integralet i svag forstand
(f.eks som Bochner integral), i denne svage forstand kan loese
problemet.

Mht. til at loese problemet med et Bromwitch integral, ser det i
mine oejne svaert ud. Igen ser jeg et problem i, at f ikke er regulaer
nok. Det er svaert se, hvordan man skal udvide f til en komplex funktion
uden at introducere overtaelligt mange singularitaeter.

Jeg er ked af, ikke at kunne komme med et mere konstruktivt svar.

MVH

Mads Kyed

---

Efer have laest Jesper Harders svar, trækker
jeg min påstand om uloeselighed tilbage. Der findes
åbenbart fornuftige inverse Laplace-transformationer
af ikke differentierbare (jeg sågar ikke kontinuerte)
funktioner. Der laerte jeg noget nyt:)

MVH

Mads

---

gnalle@ruc.dk (Niels L. Ellegaard) writes:

> Jeg har glemt den smule komplekse funktionsanalyse som jeg engang
> laerte, og jeg har et lille problem, som jeg ikke kan loese. Jeg
> starter med en en funktion f: C->C, der skal opfylde foelgende
>
> f(x) = 1 - x for x \in [0:1]
> f(x) = 0 for x \in [1:\infty]
>
> Her angiver [0:1] og [1:\infty] er delmaengder af R og \in betyder "er
> element i". Jeg stiller ikke nogen krav om hvad der sker hvis x er
> kompleks. Nu leder jeg efter en funktion F(s) saaledes at
>
> f(x) = \int_0^\infty F(s) \exp(- s x) ds
>
> Her angiver \int_0^\infty et integral langs den reelle akse fra 0 til
> uendelig. Nu vil jeg gerne finde en F(s).

Mon ikke den nemmeste strategi er at lede efter en lignende funktion,
hvor vi kender den inverse Laplacetransform.

Hmm, i min tabel har de en savtaksfunktion -- dvs. det samme som din
funktion bortset fra at den gentager sig selv med periode 1 i stedet
for at være 0 på [1, ∞]. Lad os kalde savtaksfunktionen g og den
inverse Laplacetransformation G. SÃ¥ er

G(s) = 1/s² - e⁻ˢ/s(1 - e⁻ˢ)

Vi kan nu skrive f(x) som:

f(x) = g(x) - U(x - 1)g(x)

hvor U er Heavisides stepfunktion. Da g er periodisk (med periode 1)
kan vi skrive det som:

f(x) = g(x) - U(x - 1)g(x - 1)

Vi kan nu udnytte følgende identitet:

L[e^(-ax)H(x)] = U(x - a)h(x - a)

til at få:

L⁻¹[f(x)] = G(s) - e^(-x)G(x)

= (1 - e⁻ˢ)/s² - e⁻ˢ/s

Eller noget i den retning ... du må hellere selv regne det igennem

---

Jesper Harder <harder@myrealbox.com> wrote in message news:<m3vfv0itp4.fsf@defun.localdomain>...

> Lad os kalde savtaksfunktionen g og den
> inverse Laplacetransformation G. SÃ¥ er
>
> G(s) = 1/s² - e⁻ˢ/s(1 - e⁻ˢ)

Er du sikker paa, at G er den inverse Laplacetransformation
af g og ikke blot Laplacetransformationen af g?

MVH

Mads Kyed

---

kyedmads@yahoo.de (Mads) writes:

> Jesper Harder <harder@myrealbox.com> wrote:
>
>> Lad os kalde savtaksfunktionen g og den inverse
>> Laplacetransformation G. Så er
>
> Er du sikker paa, at G er den inverse Laplacetransformation af g og
> ikke blot Laplacetransformationen af g?

Jo, du har ret. Doh!