---

I denne måneds LMFK-blad optræder denne opgave forfattet
af Jens Carstensen:

OPGAVE 199

a. Lad a, b og c være positive hele tal,
der er parvis primiske, så

1/a + 1/b = 1/c

Vis, at a+b er et kvadrattal.

Er opgaven virkelig korrekt stillet?


Ganger man på begge sider af ligningen med abc, får man

(b+a)*c = ab

Da c er primisk med både a og b betyder det, at c=1.
Og dermed:

b+a = ab

Men så er a=ab-b og b|a. Tilsvarende er b=ab-a og a|b.
Men a og b er indbyrdes primiske, så a|b og b|a giver, at
a=b=1.

Da a=b=c=1 ikke passer i den oprindelige ligning, er konklusionen,
at der ikke findes parvist primiske a, b og c, der passer i ligningen.
Specielt opfylder alle løsninger, at a+b er et kvadrattal.


Kan det passe, at det er den tilsigtede løsning? Den forekommer mig
noget spøjs.


--
Jens Axel Søgaard

---

"Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> writes:

> a. Lad a, b og c være positive hele tal, der er parvis primiske,
> så 1/a + 1/b = 1/c Vis, at a+b er et kvadrattal.
>
> Er opgaven virkelig korrekt stillet?

Jeg tror at han mener at der ikke eksisterer et helt tal der er
stoerre en 1 og primfaktor i baade a,b og c.

Hint: beviset bliver lettere at lave, hvis du starter med at skrive et
computerprogram :)

--
Niels L Ellegaard http://dirac.ruc.dk/~gnalle/

---

Scripsit gnalle@ruc.dk (Niels L. Ellegaard)
> "Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> writes:

> > a. Lad a, b og c være positive hele tal, der er parvis primiske,
> > så 1/a + 1/b = 1/c Vis, at a+b er et kvadrattal.

> > Er opgaven virkelig korrekt stillet?

> Jeg tror at han mener at der ikke eksisterer et helt tal der er
> stoerre en 1 og primfaktor i baade a,b og c.

Hvorfor så "parvis"?

--
Henning Makholm "Vend dig ikke om! Det er et meget ubehageligt syn!"

---

Henning Makholm wrote:
> Scripsit gnalle@ruc.dk (Niels L. Ellegaard)
>> "Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> writes:
>
>>> a. Lad a, b og c være positive hele tal, der er parvis primiske,
>>> så 1/a + 1/b = 1/c Vis, at a+b er et kvadrattal.
>
>>> Er opgaven virkelig korrekt stillet?
>
>> Jeg tror at han mener at der ikke eksisterer et helt tal der er
>> stoerre en 1 og primfaktor i baade a,b og c.
>
> Hvorfor så "parvis"?

Carstensen må have skrevet forkert. Niels' forslag giver
en opgave med det ønskede resultat.

--
Jens Axel Søgaard

---

---

Niels L. Ellegaard wrote:
> "Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> writes:
>
>> a. Lad a, b og c være positive hele tal, der er parvis primiske,
>> så 1/a + 1/b = 1/c Vis, at a+b er et kvadrattal.
>>
>> Er opgaven virkelig korrekt stillet?
>
> Mon ikke kravet er at a,b og c ikke har en faelles primfaktor?

Skrible, skrible. Det lyder særdeles rimeligt, at det var sådan,
kravet skulle have været.

De 10 "første" tripler sådanne tripler kan ses nedenunder.


> (define l
(stream->list (stream-of (list a b c)
(a in (stream-from-to 2 50))
(b in (stream-from-to 2 50))
(c in (stream-from-to 2 50))
(and (<= a b)
(= (* c (+ a b))
(* a b))))))

> l
((4 4 2) (3 6 2) (6 6 3) (4 12 3) (6 12 4) (5 20 4) (8 8 4) (6 30 5) (7 42 6) (8 24 6)
(10 10 5) (9 18 6) (10 15 6) (12 12 6) (10 40 8) (12 24 8) (12 36 9) (14 14 7) (14 35 10)
(16 16 8) (15 30 10) (16 48 12) (18 18 9) (18 36 12) (20 20 10) (20 30 12) (21 28 12) (22 22 11)
(21 42 14) (24 24 12) (24 40 15) (24 48 16) (26 26 13) (28 28 14) (30 30 15) (30 45 18) (32 32 16)
(34 34 17) (36 36 18) (36 45 20) (38 38 19) (40 40 20) (42 42 21) (44 44 22) (46 46 23) (48 48 24)
(50 50 25))

> (define (ingen-fælles-primfaktor l)
(= (apply gcd l) 1))
> (filter ingen-fælles-primfaktor l)
((3 6 2) (4 12 3) (5 20 4) (6 30 5) (7 42 6) (10 15 6) (14 35 10) (21 28 12) (24 40 15) (36 45 20))

> (map (lambda (l) (+ (first l) (second l)))
(filter ingen-fælles-primfaktor l))
(9 16 25 36 49 25 49 49 64 81)

God påske,
--
Jens Axel Søgaard

---

"Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> writes:

> Niels L. Ellegaard wrote:
> > "Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> writes:
> >
> >> a. Lad a, b og c være positive hele tal, der er parvis primiske,
> >> så 1/a + 1/b = 1/c Vis, at a+b er et kvadrattal.
> >>
> >> Er opgaven virkelig korrekt stillet?
> >
> > Mon ikke kravet er at a,b og c ikke har en faelles primfaktor?
>
> Skrible, skrible. Det lyder særdeles rimeligt, at det var sådan,
> kravet skulle have været.
>
> De 10 "første" tripler sådanne tripler kan ses nedenunder.
>
>
> > (define l
> (stream->list (stream-of (list a b c)
> (a in (stream-from-to 2 50))
> (b in (stream-from-to 2 50))
> (c in (stream-from-to 2 50))
> (and (<= a b)
> (= (* c (+ a b))
> (* a b))))))

> > (define (ingen-fælles-primfaktor l)
> (= (apply gcd l) 1))
> > (filter ingen-fælles-primfaktor l)

> > (map (lambda (l) (+ (first l) (second l)))
> (filter ingen-fælles-primfaktor l))

> (9 16 25 36 49 25 49 49 64 81)

Det samme skrevet i Haskell:

l = [a+b|a<-[2..50],b<-[a..50],c<-[2..50],
c*(a+b)==a*b, gcd (gcd a b) c == 1]

Anyway, det er jo ikke et bevis.

Vi bruger notationen a#b til at betyde at a og b er indbyrdes primiske
og a|b til at betyde at a er en faktor i b.

Vi har a+b=ab/c.

Da a+b er heltal, skal c|(ab). Altså c=pq, a=pr, b=qs. Da a,b,c ikke
har en samlet fælles faktor, må p#qs og q#pr, dvs. p#q, p#s, q#r.
a+b=ab/c => pr+qs=rs <=> pr=(r-q)s. Da p#s må s|r, altså r=st, hvor
q#s og q#t. pr=(r-q)s <=> pst=(st-q)s => pt=st-q <=> q=(s-p)t. Da
q#t må t=1, så r=s og q=s-p.

Vi indsætter i a+b: a+b = pr+qs = ps+(s-p)s = ps+s^2-ps = s^2.

QED.

   Torben

---

[Jens Axel Søgaard]

| I denne måneds LMFK-blad optræder denne opgave forfattet
| af Jens Carstensen:
|
| OPGAVE 199
|
| a. Lad a, b og c være positive hele tal,
| der er parvis primiske, så
|
| 1/a + 1/b = 1/c
|
| Vis, at a+b er et kvadrattal.
|
| Er opgaven virkelig korrekt stillet?

Neppe, man skal nok isteden bare anta gcd(a,b,c)=1.

| Ganger man på begge sider af ligningen med abc, får man
|
| (b+a)*c = ab

Nettopp. La nå p^k|(b+a), der p er et primtall og k>0 er maksimal.
Kan vi vise at k da må være et partall er vi fremme.

Siden p|ab og p er prim, må p dele enten a eller b, la oss si p|a.
Siden p|(b+a) og p|a, følger at også p|b. Derfor er p og c relativt
primiske, og vi slutter at p^k|ab.

Vi må da ha at p^e|a og p^d|b for passende e og d slik at e+d=k. Hvis
e=d, er k et partall og vi er ferdige. Hvis ikke, er f.eks. e>d. Men
da får vi p^e|(b+a) og p^e|a, som gir p^e|b.

Det følger at p^(2e)|ab og dermed p^(2e)|(b+a). Men 2e>k, hvilket
strider mot at k var valgt maksimal.

(Det er en viss repetisjon i dette; kan det forenkles tro?)

SA
--
Stein Arild Strømme +47 55584825, +47 95801887
Universitetet i Bergen Fax: +47 55589672
Matematisk institutt www.mi.uib.no/stromme
Johs Brunsg 12, N-5008 BERGEN stromme@mi.uib.no