---

Jeg sidder og læser i en bog om minimalflader og er kommet til et afsnit om
Weierstrass-Enneper repræsentationer. Der er et argument jeg ikke lige kan
gennemskue. Givet to funktioner,f og g, hvor f er holomorf, g er meromorf og
f·(g^2) er holomorf,da er f·g holomorf.

Hvorfor det?

--
Jes Hansen

---

"Jes Hansen" <eq0y4q5qvpbfvv8tyylmwxj02@sneakemail.com> wrote in message
news:b6hfn2$1m95$1@news.cybercity.dk...
> Jeg sidder og læser i en bog om minimalflader og er kommet til et afsnit
om
> Weierstrass-Enneper repræsentationer. Der er et argument jeg ikke lige kan
> gennemskue. Givet to funktioner,f og g, hvor f er holomorf, g er meromorf
og
> f·(g^2) er holomorf,da er f·g holomorf.
>
> Hvorfor det?

Hvis f er holomorf og g er meromorf, og disse to oplysninger alene er nok
til at f*g er holomorf, har kan du introducere en ny funktion, h = f*g,
hvorom du ved at h er holomorf. h*g = f*(g^2) vil så også være holomorf, da
det igen er produktet af en holomorf og en meromorf funktion.

(Jeg aner ikke hvad holomorf og meromorf betyder, men som jeg forstår dit
spørgsmål, vil argumentet ovenfor være nok til at vise det ønskede)

---

Scripsit "Jan Baggesen" <nospam@baggesen.net>

> Hvis f er holomorf og g er meromorf, og disse to oplysninger alene er nok
> til at f*g er holomorf,

Det er de ikke. Modeksempel f(z)=1, g(z)=1/z.

> (Jeg aner ikke hvad holomorf og meromorf betyder, men som jeg forstår dit
> spørgsmål, vil argumentet ovenfor være nok til at vise det ønskede)

Det burde nok have sporet dig ind på at du har misforstået spørgsmålet.
Det der blev spurgt om var:

Givet: f er holomorf OG g er meromorf OG fg² er holomorf.
Bevis: fg er holomorf.

--
Henning Makholm "Ambiguous cases are defined as those for which the
compiler being used finds a legitimate interpretation
which is different from that which the user had in mind."

---

"Jes Hansen" <eq0y4q5qvpbfvv8tyylmwxj02@sneakemail.com> writes:

> Jeg sidder og læser i en bog om minimalflader og er kommet til et afsnit om
> Weierstrass-Enneper repræsentationer. Der er et argument jeg ikke lige kan
> gennemskue. Givet to funktioner,f og g, hvor f er holomorf, g er meromorf og
> f·(g^2) er holomorf,da er f·g holomorf.

Et modstridsbevis:
Det er oplagt at f*g er meromorf. Hvis f*g ikke er holomorf betyder det
at der findes (mindst) en pol, kald denne for z_0, og kald dens orden
for k_0. Da (f*g)*g = f*g^2 er holomorf, har den ikke nogen pol i z_0,
hvilket vi kan udtrykke som at polordenen er >0, men det betyder at g har
et nulpunkt af orden mindst k_0 i z_0. Men da f er holomorf har vi så at
(f*g)(z_0)=0 i modstrid med at z_0 var en pol.

..Henrik

--
"Gud har skabt de hele tal, alt andet er menneskeværk" - Kronecker
"Gud har 'INTET' skabt. Alt andet er menneskeværk" - Flemming Topsøe

---

Scripsit "Jes Hansen" <eq0y4q5qvpbfvv8tyylmwxj02@sneakemail.com>

> Der er et argument jeg ikke lige kan gennemskue. Givet to
> funktioner,f og g, hvor f er holomorf, g er meromorf og f·(g^2) er
> holomorf,da er f·g holomorf.

Et direkte bevis: Vi behøver kun se på opførslen af f*g nær g's poler
- alle andre steder er g analytisk, så f*g er naturligvis også.
Ved at vælge kun at se på tilstrækkeligt små omegne af hver pol, kan
vi finde en åben delmængde A af C, så A indeholder alle poler, og g
ikke antager værdien 0 på A. Så er 1/g holomorf på A, og f*g =
(f*g²)/g følgelig også holomorf. Q.E.D.

--
Henning Makholm "Vi skal nok ikke begynde at undervise hinanden i
den store regnekunst her, men jeg vil foreslå, at vi fra
Kulturministeriets side sørger for at fremsende tallene og også
give en beskrivelse af, hvordan man læser tallene. Tak for i dag!"