Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:
> Betragt først uafhængige stokastiske variable C1, C2, C3, ... som alle
> er diskret uniformt fordelte på {0,1,2,...,9}. Så er det velkendt at
> den stokastiske variabel X der laves ved at lade C'erne være decimaler
> i X, altså
>
> X = sum(i=1 til oo, Ci·10^{-i})
>
> bliver absolut kontinuert og uniformt fordelt på [0;1].
>
> Men hvad nu hvis vi vil gå ud fra den simple kædebrøksudvikling i
> stedet for decimalbrøksudviklingen? Kan vi vælge heltallige, positive
> stokastiske variable A1, A2, A3, ... som skal være uafhængige og
> identisk fordelte, således at når man bruger dem som partialkvotienter
> i en simpel kædebrøk
>
> X = 1/(A1+1/(A2+1/(A3+...)))
>
> så bliver X igen uniformt fordelt på [0;1]?
Nej. I dit første eksempel er der tale om "ærlige" uafhængige og
uniformt fordelte stokastiske variable. Starter du med et tilfældigt x
kommer decimalerne frem som udfald af sådanne. I tilfældet kædebrøker
er der ikke længere uafhængighed.
Lad [x] betegne mindste heltal mindre end x og {x} = x - [x]. Givet et
x i [0,1) definere vi Gauss afbildningen:
/ {1/x} for x =/= 0
T(x) = {
\ 0 for x = 0
Nu kan vi danne partialkvotienterne for x ved A_n(x) =
[1/T^{n-1}(x)]. Med andre ord er enhver partiel kvotient afhængig af
den umiddelbart foregående.
> Hvis man kender Khintjins konstant K
>
http://mathworld.wolfram.com/KhinchinsConstant.html
> er det klart at hvis sådanne A'er kan findes, må deres fælles fordeling
> være sådan at (med sandsynlighed 1)
>
> (A1·A2·...·An)^(1/n) ---> K = 2,685452... for n ---> oo
>
> Dette betyder vel (ikke(?)) at middelværdien:
>
> E[Ai] = K for alle i
>
> Eller hvis vi tager logaritmen af grænseovergangen herover, er det
> måske nok snarere
>
> E[log(Ai)] = log(K) for alle i
>
> Dette siger dog kun en lille smule om den fordeling for A'erne som jeg
> spørger om.
>
> Man kan jo også tænke på det på den måde at man starter med X~U(0,1),
> og så definerer A'erne ud fra den. Bliver A'erne så identisk fordelte?
> Stokastisk uafhængige?
Det, du virkelig har bohov for er, at med hensyn til et passende mål
er systemet ([0,1), B, m, T) et ergodisk, målbevarende system. Ud fra
dette kan man udlede din formel ovenfor (Khintchine havde et andet
bevis) samt at den aritmetiske middelværdi må være uendelig med
sandsynlighed 1. Der er tillige en lang række andre interessante
konsekvenser af denne sætning.
Du er faktisk i den heldige situation, at jeg i skrivende stund
forelæser over ergodeteori og følgebrøker. Jeg er derfor næsten færdig
med at skrive et lille notesæt, der indeholder lidt introduktion til
ergodeteori, samt en masse anvendelser på Gauss afbildningen. Noterne
bliver tilgængelige på min hjemmeside
http://
fra torsdag aften. Kan du ikke vente, kan jeg maile dig en midlertidig
kopi. Lad mig vide om du er interesseret. Noterne er skrevet med
særligt henblik på studerende i York, der ikke kender meget til
sandsynlighedsteori, og som er væsentligt mere interesserede i taltori
end i analyse. Derfor kan der være steder, hvor jeg springer over hvor
gærdet er lavest.
Venligst
Simon
--
The good Christian should beware of mathematicians, and all those who
make empty prophecies. The danger already exists that the
mathematicians have made a covenant with the devil to darken the
spirit and to confine man in the bonds of Hell. -- St. Augustin