---

Hej -

Jeg skal løse følgende opgave:
En pyramide OABCD med toppunkt i D er givet ved:
O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,1,0), D(0,0,2)
Så skal jeg bestemme ligningen for den kugle med centrum i pyramiden, som
tangeres af bunden og de fire sideflader.

Kan nogen hjælpe?
Jeg har selv forsøgt at finde en ligning for alle fem planer, da afstanden
fra punkt til plan skal være den samme, og så herudfra bestemme kuglens
ligning. Men er der ikke en lettere metode??

Mvh
Anette

---

"Anette V" <alettev117@hotmail.com> skrev i en meddelelse news:3e2194d2$0$71639$edfadb0f@dread11.news.tele.dk...
> Hej -
>
> Jeg skal løse følgende opgave:
> En pyramide OABCD med toppunkt i D er givet ved:
> O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,1,0), D(0,0,2)
> Så skal jeg bestemme ligningen for den kugle med centrum i pyramiden, som
> tangeres af bunden og de fire sideflader.
>
> Kan nogen hjælpe?
> Jeg har selv forsøgt at finde en ligning for alle fem planer, da afstanden
> fra punkt til plan skal være den samme, og så herudfra bestemme kuglens
> ligning. Men er der ikke en lettere metode??
>
Ja, prøv at lave en tegning. Så ses at man kan finde den indskrevne
cirkel i en trekant hvor kateterne er 1 og 2. Centret må være i
vinkelhalveringsliniernes skæringspunkt.

Mvh
Martin

---

Anette V wrote:
>
> Jeg skal løse følgende opgave:
> En pyramide OABCD med toppunkt i D er givet ved:
> O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,1,0), D(0,0,2)
> Så skal jeg bestemme ligningen for den kugle med centrum i pyramiden, som
> tangeres af bunden og de fire sideflader.
>
> Kan nogen hjælpe?
> Jeg har selv forsøgt at finde en ligning for alle fem planer, da afstanden
> fra punkt til plan skal være den samme, og så herudfra bestemme kuglens
> ligning. Men er der ikke en lettere metode??

Nogle af planerne er ikke så svære:

OABC: ligning z=0
OAD: ligning y=0
OCD: ligning x=0

Derfor skal den indskrevne cirkels centrum være af formen (k,k,k).
Dens ligning er så af typen (x-k)²+(y-k)²+(z-k)²=r² hvor du skal have
bestemt k og r.

Men jeg tror du er inde på den rigtige metode. Hvad får du de sidste
to planers ligninger til?

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
>
> indskrevne cirkels

»indskrevne kugles«.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

> Nogle af planerne er ikke så svære:
>
> OABC: ligning z=0
> OAD: ligning y=0
> OCD: ligning x=0
>
> Derfor skal den indskrevne cirkels centrum være af formen (k,k,k).
> Dens ligning er så af typen (x-k)²+(y-k)²+(z-k)²=r² hvor du skal have
> bestemt k og r.
>
> Men jeg tror du er inde på den rigtige metode. Hvad får du de sidste
> to planers ligninger til?
>

De sidste to planer:
ABD: 2x+z-2=0
BCD: 2y+z-2=0

Jeg kan dog ikke få noget ud af disse ligninger.
Men den anden metode med at betragte trekant AOD og OCD kan nok godt
bruges - der gælder jo, at T=r*s (T=areal, r=indskreven cirkels radius,
s=trekantens halve omkreds).
De to trekanters areal er 1, deres omkreds er 3+sqrt(5), og der fås altså
r= k=2/(3+sqrt(5)). Dvs. kuglens ligning bliver:
(x-k)^2+(y-k)^2+(z-k)^2 = k^2

Kan det mon passe?

Anette

---

Anette V wrote:
>
> Men den anden metode med at betragte trekant AOD og OCD kan nok godt
> bruges - der gælder jo, at T=r*s (T=areal, r=indskreven cirkels radius,
> s=trekantens halve omkreds).
> De to trekanters areal er 1, deres omkreds er 3+sqrt(5), og der fås altså
> r= k=2/(3+sqrt(5)). Dvs. kuglens ligning bliver:
> (x-k)^2+(y-k)^2+(z-k)^2 = k^2
>
> Kan det mon passe?

Altså, nu blander vi pyramidens indskrevne kugle sammen med én af
sidefladernes indskrevne cirkel. Men de to har vel ikke samme radius.

Måske misforstår jeg »den anden metode«.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

> Altså, nu blander vi pyramidens indskrevne kugle sammen med én af
> sidefladernes indskrevne cirkel. Men de to har vel ikke samme radius.
>
> Måske misforstår jeg »den anden metode«.

Jo, jeg vil mene, at de har samme radius. Hvis man 'kigger ind i' pyramiden
gennem OAD-fladen, kan man forestille sig, at OAD's indskrevne cirkel ligger
inde i pyramiden, som et snit af den indskrevne kugle gennem dens centrum.
Herved kan man bestemme x- og z-koordinaterne til centrum. Ligeledes kan man
bestemme y- og z-koordinaterne til dens centrum, hvis man kigger ind gennem
OCD-fladen. Og så er det jo bare at finde afstanden fra punktet i centrum
til en af planerne. Denne giver i alle planer det samme som den indskreven
cirkels radius.


Anette

---

Anette V wrote:
>
> > Altså, nu blander vi pyramidens indskrevne kugle sammen med én af
> > sidefladernes indskrevne cirkel. Men de to har vel ikke samme radius.
> >
> > Måske misforstår jeg »den anden metode«.
>
> Jo, jeg vil mene, at de har samme radius. Hvis man 'kigger ind i' pyramiden
> gennem OAD-fladen, kan man forestille sig, at OAD's indskrevne cirkel ligger
> inde i pyramiden, som et snit af den indskrevne kugle gennem dens centrum.
> Herved kan man bestemme x- og z-koordinaterne til centrum. Ligeledes kan man
> bestemme y- og z-koordinaterne til dens centrum, hvis man kigger ind gennem
> OCD-fladen. Og så er det jo bare at finde afstanden fra punktet i centrum
> til en af planerne. Denne giver i alle planer det samme som den indskreven
> cirkels radius.

Jeg tror faktisk I har ret.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Anette V wrote:
>
> De sidste to planer:
> ABD: 2x+z-2=0
> BCD: 2y+z-2=0
>
> Jeg kan dog ikke få noget ud af disse ligninger.

Afstanden fra punktet (k,k,k) til planen 2x+z-2=0 er r.
Afstanden fra punktet (k,k,k) til planen 2y+z-2=0 er r.

Giver disse to udsagn ikke to ligninger i de to ubekendte k og r?

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

> > De sidste to planer:
> > ABD: 2x+z-2=0
> > BCD: 2y+z-2=0
> >
> > Jeg kan dog ikke få noget ud af disse ligninger.
>
> Afstanden fra punktet (k,k,k) til planen 2x+z-2=0 er r.
> Afstanden fra punktet (k,k,k) til planen 2y+z-2=0 er r.
>
> Giver disse to udsagn ikke to ligninger i de to ubekendte k og r?
>

Hvordan kommer man så videre? Hvis man benytter punkt-plan afstandsformlen
får man:

|2k+k-2| / sqrt(5) = |2k+k-2| / sqrt(5) <=> 0=0

Anette

---

Anette V wrote:
>
> > > De sidste to planer:
> > > ABD: 2x+z-2=0
> > > BCD: 2y+z-2=0
> > >
> > > Jeg kan dog ikke få noget ud af disse ligninger.
> >
> > Afstanden fra punktet (k,k,k) til planen 2x+z-2=0 er r.
> > Afstanden fra punktet (k,k,k) til planen 2y+z-2=0 er r.
> >
> > Giver disse to udsagn ikke to ligninger i de to ubekendte k og r?
> >
>
> Hvordan kommer man så videre? Hvis man benytter punkt-plan afstandsformlen
> får man:
>
> |2k+k-2| / sqrt(5) = |2k+k-2| / sqrt(5) <=> 0=0

Lad mig se ...

|2k+k-2|/sqrt(5) = r

fordi afstanden til en af de »skæve« planer er r.

Og

|k| = r

fordi afstanden til de tre »lette« planer også er r.

Så får vi vist at

|2k+k-2|/sqrt(5) = |k|

Passer det ikke?

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)