---

Vi regner lidt algebra i øjeblikket, og er nu løbet ind i problemer.
Hvorledes kan man afgøre om enhver gruppe af en given orden er abelsk? Er
der en (nogenlunde) fix måde at gøre det på? Specifikt sidder vi med
problemet: Afgør om enhver gruppe af orden 99 er abelsk.

Nogen idéer?

-----
Med venlig hilsen

Jes Hansen

---

Scripsit "Jes Hansen" <f7bc1oqq02@sneakemail.com>

> Vi regner lidt algebra i øjeblikket, og er nu løbet ind i problemer.
> Hvorledes kan man afgøre om enhver gruppe af en given orden er abelsk? Er
> der en (nogenlunde) fix måde at gøre det på?

Ikke så vidt jeg ved. Da jeg lærte gruppeteori, skulle opgaver af den
slags løses ved ad-hoc-ræsonnementer a la: Antag at vi har en
ikke-abelsk gruppe med den angivne orden? Kan den være simpel? (Slå op
i tabellen over små simple endelige grupper) Nej. Så må den have en
ikke-triviel normal undergruppe. På grund af primfaktoropløsningen af
af ordenen må denne have en af følgende ordener: Etc etc.

--
Henning Makholm "There are two kinds of people: Those
who reduce their fellow human beings to an
arbitrary binary attribute, and those who don't."

---

"Jes Hansen" <f7bc1oqq02@sneakemail.com> writes:

> Vi regner lidt algebra i øjeblikket,

Lad mig gætte: 3AL-eksamenssættet vinteren 97/98?

> og er nu løbet ind i problemer.
> Hvorledes kan man afgøre om enhver gruppe af en given orden er abelsk?

Jeg er ikke bekendt med nogen generelt metode.

> Er der en (nogenlunde) fix måde at gøre det på? Specifikt sidder vi
> med problemet: Afgør om enhver gruppe af orden 99 er abelsk.

Det er godt nok længe siden jeg havde 3AL, men netop den opgave syntes
jeg var ret nem fordi jeg havde brugt en del tid på det da jeg havde
2AL, fordi der var et utilstrækkeligt argument i vores 2AL-bog
(Judson).

Jeg tror jeg kan huske nok til at give et vink:
Vis at der er netop en undergruppe af orden 9 og netop en af orden 11.
Vis at de to undergrupper er abelske.
Vis at G er det indre direkte produkt af de to undergrupper.

..Henrik

--
"Gud har skabt de hele tal, alt andet er menneskeværk" - Kronecker
"Gud har 'INTET' skabt, alt andet er menneskeværk" - Flemming Topsøe

---

Henrik Christian Grove <grove@sslug.dk> writes:

> Jeg tror jeg kan huske nok til at give et vink:
> Vis at der er netop en undergruppe af orden 9 og netop en af orden 11.
> Vis at de to undergrupper er abelske.
> Vis at G er det indre direkte produkt af de to undergrupper.

Hvis en endelig gruppe højst har én undergruppe af enhver given orden,
følger det endda automatisk, at gruppen må være cyklisk.

Et hurtigt argument:
En cyklisk gruppe af orden n har netop \phi(n) frembringere. Idet en
cyklisk gruppe har netop én (cyklisk) undergruppe for hver divisor i
n, følger det at n = \sum\phi(d), hvor vi summer over alle divisorer d
i n.

Antag nu, at |G| = n, og G højst har én undergruppe af orden d for
enhver given divisor. Dermed kan der højst være \phi(d) elementer af
af orden d. Af n = \sum\phi(d), følger det, at der må være netop
\phi(d) elementer for enhver d med d|n, og dermed særligt mindst et af
orden n.

--
"Your count of lesbian witches is actually incorrect."

---

Henrik Christian Grove <grove@sslug.dk> writes:

> Jeg tror jeg kan huske nok til at give et vink:

Et alternativt vink er sætning 35 i CUJ's noter, der direkte giver, at
gruppen er cyklisk.

--
"You two crazy kids take down an unstoppable killer cyber-demon-hybrid
thingy and we'll call it all even."

---

Stefan Holm <nospam@algebra.dk> writes:

> Et alternativt vink er sætning 35 i CUJ's noter, der direkte giver, at
> gruppen er cyklisk.

Under forudsætning af at du taler om sætning 35 i kapitel 1
(sætningsnummeringen begynder forfra i hvert kapitel i min udgave) er
mit spørgsmål bare hvornår 9 er blevet et primtal?

Jeg mener dog at huske at der faktisk er en sætning i CUJ's noter der
giver et nemmere bevis end mit.

..Henrik

--
Jacob: Because the theoreticians told me.
Prof. Vassilicos: Why do you believe theoreticians?

---

Henrik Christian Grove <grove@sslug.dk> writes:

> Under forudsætning af at du taler om sætning 35 i kapitel 1
> (sætningsnummeringen begynder forfra i hvert kapitel i min udgave) er
> mit spørgsmål bare hvornår 9 er blevet et primtal?

Det skete i går, da jeg glemte at tænke. Hele to gange endda. Argh.

--
"We do Shakespeare with ray-guns and shit."

---

Scripsit Stefan Holm <nospam@algebra.dk>
> Henrik Christian Grove <grove@sslug.dk> writes:

> > mit spørgsmål bare hvornår 9 er blevet et primtal?

> Det skete i går, da jeg glemte at tænke. Hele to gange endda. Argh.

Vær ikke ked af det. Jeg faldt i samme fælde. Det skyldes helt andre
årsager at jeg aldrig fik afsendt mit løsningsforslag som byggede på
at 99 er produkt af to primtal...

--
Henning Makholm "What has it got in its pocketses?"

---

Stefan Holm wrote:
>
> Henrik Christian Grove <grove@sslug.dk> writes:
>
> > Under forudsætning af at du taler om sætning 35 i kapitel 1
> > (sætningsnummeringen begynder forfra i hvert kapitel i min udgave) er
> > mit spørgsmål bare hvornår 9 er blevet et primtal?
>
> Det skete i går, da jeg glemte at tænke. Hele to gange endda. Argh.

At bevise at alle ulige tal er primtal:

Matematikkeren (som véd, at 1 ikke er et primtal):
3 er et primtal, 5 er et primtal, 7 er et primtal, pr. induktion ser vi
at alle ulige tal er primtal.

Fysikeren:
1 er et primtal, 3 er et primtal, 5 er et primtal, 7 er et primtal, 9 ..
9 er en måleusikkerhed, 11 er et primtal. OK

Ingeniøren:
1 er et primtal, 3 er et primtal, 5 er et primtal, 7 er et primtal, 9 er
et primtal, 11 er et primtal. OK

Datalogen
1 er et primtal, 1 er et primtal, 1 er et primtal, 1 er et primtal, 1 er
et primtal, 1 er et primtal, ...


--
Kristian Damm Jensen | Feed the hungry at www.thehungersite.com
kristian-damm.jensen@cgey.com | Two wrongs doesn't make a right,
ICQ# 146728724 | but three lefts do.

---

"Kristian Damm Jensen" <kristian-damm.jensenRE@MOVEcgey.com> :
> At bevise at alle ulige tal er primtal:
>
> Matematikkeren (som véd, at 1 ikke er et primtal):
> 3 er et primtal, 5 er et primtal, 7 er et primtal, pr. induktion ser vi
> at alle ulige tal er primtal.
>
> Fysikeren:
> 1 er et primtal, 3 er et primtal, 5 er et primtal, 7 er et primtal, 9 ..
> 9 er en måleusikkerhed, 11 er et primtal. OK
>
> Ingeniøren:
> 1 er et primtal, 3 er et primtal, 5 er et primtal, 7 er et primtal, 9 er
> et primtal, 11 er et primtal. OK
>
> Datalogen
> 1 er et primtal, 1 er et primtal, 1 er et primtal, 1 er et primtal, 1 er
> et primtal, 1 er et primtal, ...

Den forvirrede førstedelsstuderende:

Lad p være et vilkårligt primtal > 2.
p kan ikke divideres med 2.
Derfor er p ulige...

-- maz

---

"Maz Spork" <maz@spork.dk> wrote in message news:<ata6mk$p55$1@sunsite.dk>...
> Den forvirrede førstedelsstuderende:
>
> Lad p være et vilkårligt primtal > 2.
> p kan ikke divideres med 2.
> Derfor er p ulige...
>
> -- maz

Den typiske amerikanske college-studerende:

4=2*2 . 4 er ikke noget primtal.

15=3*5 . 15 er ikke noget primtal.

17 er et primtal. 17 er ulige. Derfor er alle ulige tal primtal.

(Hvis ikke morsomt, så realistisk.)

Mvh Karin

---

Se også nogle af Sloanes følger:

http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A051532
http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A003277
http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A060689
med flere.

Der er også nogle referencer.

Hvis der ikke er fejl i følgerne, findes der ingen ikke-abelske grupper
af orden 99 (men der findes mindst én ikke-cyklisk).

Jeg véd godt at dette ikke hjælper dig til at *bevise* noget ...

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
>
> Hvis der ikke er fejl i følgerne, findes der ingen ikke-abelske grupper
> af orden 99 (men der findes mindst én ikke-cyklisk).

Via Sloane finder jeg nu siden

http://www.math.rwth-aachen.de/~Hans-Ulrich.Besche/small.html

ifølge hvilken der er netop 2 grupper af orden 99. Den ene er

Z99

og den anden må være

Z3×Z3×Z11

mener jeg. For den sidste kan ikke have et element af orden 99, vel?

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

> ifølge hvilken der er netop 2 grupper af orden 99. Den ene er
>
> Z99
>
> og den anden må være
>
> Z3×Z3×Z11
>
> mener jeg.

Det følger af klassifikationssætningen for endeligt frembragt abelske
grupper (og vi har jo lige vist at alle grupper af orden 99 er abelske).

> For den sidste kan ikke have et element af orden 99, vel?

Nej, den maksimale orden for et element deri er 33, men dem tror jeg
også der 98 af (alle andre end 1).

..Henrik

--
Jacob: Because the theoreticians told me.
Prof. Vassilicos: Why do you believe theoreticians?

---

Henrik Christian Grove wrote:
>
> > For den sidste kan ikke have et element af orden 99, vel?
>
> Nej, den maksimale orden for et element deri er 33, men dem tror jeg
> også der 98 af (alle andre end 1).

Nej, thi for ethvert primtal der er divisor i gruppens orden, findes
der mindst ét element med denne orden (Sylow?). Specielt findes der et
element af orden 3 (vælg en frembringer i Z3 og neutralelementet i Z33).

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

> Nej, thi for ethvert primtal der er divisor i gruppens orden, findes
> der mindst ét element med denne orden (Sylow?).

Sylows første sætning siger at der findes en gruppe af den orden, det er
ikke nok til at slutte at der er et element med den orden. Men du har
selvfølgelig ret.

> Specielt findes der et
> element af orden 3 (vælg en frembringer i Z3 og neutralelementet i Z33).

Så der er 11 elementer af orden 11, og 9 af orden 3?

..Henrik

--
Jacob: Because the theoreticians told me.
Prof. Vassilicos: Why do you believe theoreticians?

---

Scripsit Henrik Christian Grove <grove@sslug.dk>

> > Specielt findes der et
> > element af orden 3 (vælg en frembringer i Z3 og neutralelementet i Z33).

> Så der er 11 elementer af orden 11, og 9 af orden 3?

Nej, 10 elementer af orden 11 (det 11. element i 11-sylow-gruppen er
jo neutralelementet), og 8 af orden 3.

--
Henning Makholm "*Vi vil ha wienerbrød!*"

---

[Henrik Christian Grove]

| Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:
|
| > Nej, thi for ethvert primtal der er divisor i gruppens orden, findes
| > der mindst ét element med denne orden (Sylow?).
|
| Sylows første sætning siger at der findes en gruppe af den orden, det er
| ikke nok til at slutte at der er et element med den orden.

Har du en undergruppe av orden p (primtall), følger det trivielt at du
har (p-1) elementer av orden p i denne undergruppen.

Sylows teorem sier at det finnes undergrupper av G av orden p^n, der
p^n er den største potens av p som deler |G|. Av dette følger det
rett nok ikke at det eksisterer noe element av orden p^n, hvis n > 1,
men dog elementer av orden p.

SA
--
Stein Arild Strømme +47 55584825, +47 95801887
Universitetet i Bergen Fax: +47 55589672
Matematisk institutt www.mi.uib.no/~stromme
Johs Brunsg 12, N-5008 BERGEN stromme@mi.uib.no

---

"Stein A. Stromme" wrote:
>
> Sylows teorem sier at det finnes undergrupper av G av orden p^n, der
> p^n er den største potens av p som deler |G|. Av dette følger det
> rett nok ikke at det eksisterer noe element av orden p^n, hvis n > 1,
> men dog elementer av orden p.

Jeg er kommet i tanker om at man kalder dette for Cauchys sætning:

Cauchys sætning: Hvis primtallet p går op i |G|, så findes der i G et
element med orden p.

Selv hvis G (eller en undergruppe af den) har orden p^n, er Cauchys
sætning jo ikke komplet triviel.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>

> Cauchys sætning: Hvis primtallet p går op i |G|, så findes der i G et
> element med orden p.

> Selv hvis G (eller en undergruppe af den) har orden p^n, er Cauchys
> sætning jo ikke komplet triviel.

Nej, men næsten. For da vil et vilkårligt element != 1 have orden p^m,
og det vil sige at Z/p^m er undergruppe af G -- og dén har trivielt et
element med orden p.

--
Henning Makholm "What has it got in its pocketses?"

---

Henning Makholm wrote:
>
> > Cauchys sætning: Hvis primtallet p går op i |G|, så findes der i G et
> > element med orden p.
>
> > Selv hvis G (eller en undergruppe af den) har orden p^n, er Cauchys
> > sætning jo ikke komplet triviel.
>
> Nej, men næsten. For da vil et vilkårligt element != 1 have orden p^m,
> og det vil sige at Z/p^m er undergruppe af G -- og dén har trivielt et
> element med orden p.

Ja. Så er det næsten ikke mere end Lagranges sætning (elementers orden
går op i gruppens orden (samlede antal elementer)).

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

[Jes Hansen]

| Vi regner lidt algebra i øjeblikket, og er nu løbet ind i problemer.
| Hvorledes kan man afgøre om enhver gruppe af en given orden er abelsk? Er
| der en (nogenlunde) fix måde at gøre det på? Specifikt sidder vi med
| problemet: Afgør om enhver gruppe af orden 99 er abelsk.
|
| Nogen idéer?

La G være en gruppe av orden 99. Ved Sylows teorem finnes en
undergruppe H av orden 11, og ved Sylows annet teorem er antall slike
undergrupper kongruent til 1 modulo 11, dvs at hvis ikke H er
entydig, så finnes 12 (eller 23, eller 34,...) undergrupper av orden
11. Men to undergrupper av orden 11 kan ikke ha noe annet felles enn
identitetselementet, så det er ikke plass til så mye som 12 slike
grupper (de ville ha hatt 121 elementer tilsammen). Det følger
derfor at vår undergruppe H av orden 11 er entydig, og derfor også
normal.

Nå virker G på H ved konjugasjon, siden H er normal. Siden H er
abelsk (siden 11 er et primtall er H syklisk), er den induserte
konjugasjonsvirkning av H på seg selv triviell, og det følger at
kvotientgruppen F=G/H virker på H. Men nå har F orden 9, så ethvert
element i F har orden 1, 3 eller 9. På den annen side er
automorfismegruppen til H av orden 10, siden en automorfi av H må
sende en generator på en annen generator, og det er 10 slike valg
siden H er syklisk av orden 11. Enhver automorfi av H har derfor
orden 1, 2, 5 eller 10. Det følger at homomorfien G/H --> Aut(H) må
være triviell. Dette betyr i klartekst at g*h=h*g for alle g i G og h
i H.

Velg nå, ved Sylows teorem igjen, en 3-Sylow undergruppe L i G. Den
har orden 9. Siden alt i H kommuterer med alt i L, følger at
avbildningen H x L --> G gitt ved (h,l) --> h*l er en gruppehomomorfi,
som til og med er injektiv (lett å se), og derfor en isomorfi. Siden
alle grupper av orden 9 er abelske (anta at vi vet det! Det er riktig
for alle grupper av orden p^2, p prim), så følger at også L og dermed
G er abelsk.

SA
--
Stein Arild Strømme +47 55584825, +47 95801887
Universitetet i Bergen Fax: +47 55589672
Matematisk institutt www.mi.uib.no/~stromme
Johs Brunsg 12, N-5008 BERGEN stromme@mi.uib.no

---

[Stein A. Stromme]

| ... Siden alle grupper av orden 9 er abelske (anta at vi vet det!
| Det er riktig for alle grupper av orden p^2, p prim),

La meg ta med bevis for dette også. La først G være en p-gruppe, dvs
en gruppe av orden p^n der p er et primtall og n > 0. La Z være
sentret til G, dvs. de z i G som kommuterer med alle g i G. Da må p
dele kardinaliteten til Z (bevis: G er den disjunkte unionen av alle
sine konjugasjonsklasser, og Z er unionen av de konjugasjonsklasser
som bare består av ett element. Siden G er en p-gruppe, er
kardinaliteten av alle _andre_ konjugasjonsklasser delelig med p, og
derfor også deres sum.) Spesielt har Z mer enn ett element!

Se nå på tilfellet n=2. Hvis Z = G er G trivielt abelsk. Hvis ikke,
må Z ha presis p elementer. Z er åpenbart en normal undergruppe i G,
og som før vil G virke på Z ved konjugasjon, og indusere en homomorfi
G/Z --> Aut(Z). Denne må være triviell, siden Aut(Z) har p-1
elementer og G/Z er syklisk av orden p. Velg nå et element g i G slik
at dets restklasse modulo Z genererer G/Z. Elementet g har orden
enten p eller p^2. I siste tilfelle er G syklisk, i første tilfelle
lar vi L = <g> være undergruppen generert av G og viser som i forrige
melding at Z x L --> G er en isomorfi.

(Strengt tatt vil jo til syvende og sist sentret være hele G. Den
siste del av resonnementet bruker bare at Z er en undergruppe av
sentret, av orden p, og med denne modifikasjonen kan man eliminere
setningen "Hvis Z = G er G trivielt abelsk.")

SA
--
Stein Arild Strømme +47 55584825, +47 95801887
Universitetet i Bergen Fax: +47 55589672
Matematisk institutt www.mi.uib.no/~stromme
Johs Brunsg 12, N-5008 BERGEN stromme@mi.uib.no