---

Min gruppe og jeg er ved at lægge sidste hånd på semesterprojektet, men vi
mangler en
"passende" redegørelse for, at Banach rummet af begrænsede funktioner fra en
ikke-tom
mgd. over i et Banach rum m.h.t. supremumsnormen er uendeligt dimensionalt.
Intuitivt
virker det naturligvis rimeligt, men et mere holdbart (og ikke alt for
omfattende) argument
efterlyses; gerne baseret på følgende overvejelser:

Alle normer på endeligt dimensionale rum er ækvivalente - kontrapositionen
heraf giver at
såfremt der på et rum eksisterer to normer, der ej er ækvivalente, da er
rummet ej
endeligt dimensionalt. Allerede her er der muligvis basis for et bevis...
Alternativt kan man fortsætte med yderligere betragtninger over ækvivalente
normer; to normer er ækvivalente
hvis, og kun hvis, en følge, der konvergerer i den ene norm også konvergerer
i den anden.
D.v.s. problemet ang. dimension er nu reduceret til at finde to normer samt
en følge, således
at denne konvergerer i den ene norm, men ikke i den anden. Problemet bliver
nok nemmere,
såfremt vi begrænser os til det lukkede underrum af kontinuerte funktioner
defineret på en
kompakt delmgd. af et normeret (ell. blot topologisk) rum.

Standardeksemplerne, som mine lærebøger har rigeligt af, er naturligvis
rummet af kontinuerte,
reelle funktioner, defineret på et interval [a;b]; rummet er f.eks. ikke
fuldstændigt under
normen ||f|| := \int_a^b |f(t)|dt - modeksemplerne er forholdsvis lette.
Jeg kan bare ikke helt gennemskue, hvordan det skal gøres i det generelle
tilfælde.


Venlig hilsen

Anders Gorst-Rasmussen.

---

Scripsit "Anders Gorst-Rasmussen" <agorst@mail1.stofanet.dk>

> Min gruppe og jeg er ved at lægge sidste hånd på semesterprojektet, men vi
> mangler en "passende" redegørelse for, at Banach rummet af
> begrænsede funktioner fra en ikke-tom mgd. over i et Banach rum
> m.h.t. supremumsnormen er uendeligt dimensionalt. Intuitivt virker
> det naturligvis rimeligt, men et mere holdbart (og ikke alt for
> omfattende) argument efterlyses;

Den naturlige måde må vel være at give en konstruktion af et uendeligt
sæt af lineært uafhængige elementer i rummet. Men er udsagnet
overhovedet sandt i almindelighed? Hvad hvis den ikke-tomme mængde har
ét element og codomænet er R med den sædvanlige norm?

--
Henning Makholm "I didn't even know you *could* kill chocolate ice-cream!"

---

"Anders Gorst-Rasmussen" <agorst@mail1.stofanet.dk> wrote in message news:<3df25319$0$672$ba624c82@nntp03.dk.telia.net>...
> Min gruppe og jeg er ved at lægge sidste hånd på semesterprojektet, men vi
> mangler en
> "passende" redegørelse for, at Banach rummet af begrænsede funktioner fra en
> ikke-tom
> mgd. over i et Banach rum m.h.t. supremumsnormen er uendeligt dimensionalt.
> Intuitivt
> virker det naturligvis rimeligt, men et mere holdbart (og ikke alt for
> omfattende) argument
> efterlyses; gerne baseret på følgende overvejelser:

Jeg tror du skal antage at din mængde har uendelig mange punkter (hvor
mange dimensioner har rummet af funktioner fra et punkt?). Prøv at
skrive din mængde som en disjunkt forening af sine punkter. Så er
funktionerne fra mængden ind i Banachrummet det uendelige produkt af
Banachrummet over mængden.

Så begrænsede funktioner kan ses som begrænsede net (y_x) hvor y_x er
i Banachrummet og x gennemløber mængden. Prøv så et par passende
udvalgte normer, og overvej om de er ækvivalente. Jeg ville prøve l_2
og l_oo.

> Standardeksemplerne, som mine lærebøger har rigeligt af, er naturligvis
> rummet af kontinuerte,
> reelle funktioner, defineret på et interval [a;b]; rummet er f.eks. ikke
> fuldstændigt under
> normen ||f|| := \int_a^b |f(t)|dt - modeksemplerne er forholdsvis lette.
> Jeg kan bare ikke helt gennemskue, hvordan det skal gøres i det generelle
> tilfælde.

Funktioner fra en mængde ind i et Banachrum adskiller sig i det
væsentlige ikke fra funktionerne ind i de reelle tal. Du skulle slet
ikke kunne mærke generaliseringen i dine overvejelser.

Mvh Karin

---

"karin" <k3emmer@yahoo.dk> skrev i en meddelelse
news:9418506b.0212071438.24cdc53b@posting.google.com...

> Jeg tror du skal antage at din mængde har uendelig mange punkter (hvor
> mange dimensioner har rummet af funktioner fra et punkt?). Prøv at
> skrive din mængde som en disjunkt forening af sine punkter. Så er
> funktionerne fra mængden ind i Banachrummet det uendelige produkt af
> Banachrummet over mængden.

Ja, det blev jeg også enig med mig selv om efter Hennings modeksempel.
Hvis den ikke-tomme mængde blot består af et enkelt element, som afbildes
over i R, er funktionerne jo trivielt lineært afhængige og vi har en lidt
kedelig
situation.

> Funktioner fra en mængde ind i et Banachrum adskiller sig i det
> væsentlige ikke fra funktionerne ind i de reelle tal. Du skulle slet
> ikke kunne mærke generaliseringen i dine overvejelser.

Nej, det skal nok passe. Det er nok bare mig, der forvænt med "simplere"
funktionsrum :)

vh,

Anders.

---

"Anders Gorst-Rasmussen" <agorst@mail1.stofanet.dk> writes:

> Min gruppe og jeg er ved at lægge sidste hånd på semesterprojektet,
> men vi mangler en "passende" redegørelse for, at Banach rummet af
> begrænsede funktioner fra en ikke-tom mgd. over i et Banach rum
> m.h.t. supremumsnormen er uendeligt dimensionalt.

I er nødt til at kræve enten at er mængden uendelig, eller at
banachrummet er uendeligdimensionalt. Hvis i f.eks. ser på funktioner
fra {1, ... ,n} til C^m, vil I bare få C^{mn}.

> Alternativt kan man fortsætte med yderligere betragtninger over
> ækvivalente normer; to normer er ækvivalente hvis, og kun hvis, en
> følge, der konvergerer i den ene norm også konvergerer i den anden.
> D.v.s. problemet ang. dimension er nu reduceret til at finde to
> normer samt en følge, således at denne konvergerer i den ene norm,
> men ikke i den anden.

Det virker ikke som en reduktion af problemet. Tværtimod.

Hvis jeres mængde er uendelig, bør det ikke være noget problem at
finde uendeligt mange lineært uafhængige funktioner (tag f.eks. for
hvert punkt i mængden den funktion, der har en passende værdi i
punktet og er 0 ellers). Hvis Banachrummet er uendelig-dimensionalt,
kan I bare indlejre det som underrum i jeres funktionsrum.

--
"I'm not ashamed. It's the computer age. Nerds are in.
They're still in, right?"

---

Scripsit Stefan Holm <nospam@algebra.dk>
> "Anders Gorst-Rasmussen" <agorst@mail1.stofanet.dk> writes:

> > Min gruppe og jeg er ved at lægge sidste hånd på semesterprojektet,
> > men vi mangler en "passende" redegørelse for, at Banach rummet af
> > begrænsede funktioner fra en ikke-tom mgd. over i et Banach rum
> > m.h.t. supremumsnormen er uendeligt dimensionalt.

> I er nødt til at kræve enten at er mængden uendelig, eller at
> banachrummet er uendeligdimensionalt.

Mon ikke også der er et eller andet underforstået krav om at man kun
betragter kontinuerte funktioner? Det forudsætter naturligvis at
grundmængden har en eller anden passende topologi, som man så bliver
nødt til at stille betingelser om - fx at det topologiske rum er
fuldstændig regulært.

--
Henning Makholm "Ambiguous cases are defined as those for which the
compiler being used finds a legitimate interpretation
which is different from that which the user had in mind."

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Mon ikke også der er et eller andet underforstået krav om at man kun
> betragter kontinuerte funktioner?

Hvis det bare er for at vise, at rummet er uendelig-dimensionalt, er
der vel ingen grund til at gøre sig den antagelse?

Alternativt kan man give rummet den diskrete topologi og kalde alle
funktioner kontinuerte.

--
"You're a liar, honey. A dirty, rotten liar."

---

Scripsit Stefan Holm <nospam@algebra.dk>
> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> > Mon ikke også der er et eller andet underforstået krav om at man kun
> > betragter kontinuerte funktioner?

> Hvis det bare er for at vise, at rummet er uendelig-dimensionalt, er
> der vel ingen grund til at gøre sig den antagelse?

Man får et stærkere resultat ud af det fordi rummet af kontinuerte
begrænsede funktioner i almindelighed er mindre end rummet af alle
begrænsese funktioner.

--
Henning Makholm "Hør, hvad er det egentlig
der ikke kan blive ved med at gå?"

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Man får et stærkere resultat ud af det fordi rummet af kontinuerte
> begrænsede funktioner i almindelighed er mindre end rummet af alle
> begrænsese funktioner.

Ah, den vej rundt. Ja, og også fordi resultatet for rummet af alle
begrænsede funktioner er et specialtilfælde af resultatet for
begrænsede kontinuerte funktioner.

--
"Hvis jeg nu er en flytning af rummet ..."

---

Scripsit Stefan Holm <nospam@algebra.dk>
> "Anders Gorst-Rasmussen" <agorst@mail1.stofanet.dk> writes:

> > Min gruppe og jeg er ved at lægge sidste hånd på semesterprojektet,
> > men vi mangler en "passende" redegørelse for, at Banach rummet af
> > begrænsede funktioner fra en ikke-tom mgd. over i et Banach rum
> > m.h.t. supremumsnormen er uendeligt dimensionalt.

> I er nødt til at kræve enten at er mængden uendelig, eller at
> banachrummet er uendeligdimensionalt.

Og under alle omstændigheder er der nødvendigt at banachrummet ikke er
nulrummet ...

--
Henning Makholm "They are trying to prove a hypothesis,
they are down here gathering data every season,
they're publishing results in peer-reviewed journals.
They're wrong, I think, but they are still scientists."