---

Hejsa!
Jeg blev inspireret af dette indlæg et andet sted på nettet... Hvor der
var ufattelig mange indlæg... Både for det ene og det andet...
Jeg siger ikke at der er noget rigtigt svar, men jeg vil bare gerne høre
Jeres argumenter for, hvad -2^2 er! Giver det 4 eller -4??? Den som kan
argumentere bedst, får pointene... :)

Mvh Ostemanden (der nok tænker LIDT for meget over tingene ;) )

--
Leveret af:
http://www.kandu.dk/
"Vejen til en hurtig løsning"

---

On Wed, 23 Oct 2002 20:01:50 GMT
"ostemanden" <ostemanden.news@kandu.dk> wrote:
> Hejsa!
> Jeg blev inspireret af dette indlæg et andet sted på nettet... Hvor
> der var ufattelig mange indlæg... Både for det ene og det andet...
> Jeg siger ikke at der er noget rigtigt svar, men jeg vil bare gerne
> høre Jeres argumenter for, hvad -2^2 er! Giver det 4 eller -4??? Den
> som kan argumentere bedst, får pointene... :)


Dette spørgsmål kom her i gruppen for flere dage siden og trak en
længere tråd efter sig. Kig i denne hvis du vil se folks holdning til
emnet.

--
Kim Schulz - Freelance Development | So I'm ugly. So what? I never
Email : kim @ schulz.dk | saw anyone hit with his face. --
Tlf : 51904262 | Yogi Berra

---

"ostemanden" <ostemanden.news@kandu.dk> skrev:

> Jeg blev inspireret af dette indlæg et andet sted på nettet...
> Hvor der var ufattelig mange indlæg... Både for det ene og det
> andet... Jeg siger ikke at der er noget rigtigt svar, men jeg vil
> bare gerne høre Jeres argumenter for, hvad -2^2 er! Giver det 4
> eller -4??? Den som kan argumentere bedst, får pointene... :)

-2^2 er det samme som (-2)*(-2) og altså lig 4. Argumenterne for
hvorfor er givet andetsteds.

--
Morten http://miljokemi.dk

---

"Morten Bjergstrøm" <nospam01@miljokemi.dk> writes:

> -2^2 er det samme som (-2)*(-2) og altså lig 4.

NEEEEEJ. (-2)² er det samme som (-2)*(-2). -2² er *ikke* det samme som
(-2)². Derimod er -2² = -(2*2) = -4.

> Argumenterne for hvorfor er givet andetsteds.

Læs tråden igen. Efterhånden har alle indset at -2² = -4.

---

Jesper Harder <harder@myrealbox.com> skrev:

> Læs tråden igen. Efterhånden har alle indset at -2² = -4.

Du har ret. Jeg læste "ostemandens" spørgsmål som det udtryk jeg angav
ovenfor.

--
Morten http://miljokemi.dk

---

"Morten Bjergstrøm" skrev d. 24-10-02 11:18 dette indlæg :
> Jesper Harder <harder@myrealbox.com> skrev:
>
> > Læs tråden igen. Efterhånden har alle indset at -2² = -4.
>
> Du har ret. Jeg læste "ostemandens" spørgsmål som det udtryk jeg angav

> ovenfor.
>
> --
> Morten http://miljokemi.dk

-2^2 er det samme som -2 ganget med sig selv 2 gange....... -2 gange -2
er og bliver 4

Eric Pedersen

--
Leveret af:
http://www.kandu.dk/
"Vejen til en hurtig løsning"

---

Scripsit "e.p." <e.p..news@kandu.dk>

> -2^2 er det samme som -2 ganget med sig selv 2 gange.......

Prøv at læse tråden inden du starter den helt forfra. Så ville du se
at der er en reel uenighed om hvorvidt "-2^2" skal læses som "-(2^2)"
eller "(-2)^2". Påstande om at det er selvklart at en af disse
løsninger er den eneste rigtige vil næppe flytte noget.

--
Henning Makholm "Make it loud, make it complicated, make it long,
and make it up if you have to, but it'll work all right."

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Scripsit "e.p." <e.p..news@kandu.dk>
>
>> -2^2 er det samme som -2 ganget med sig selv 2 gange.......
>
> Prøv at læse tråden inden du starter den helt forfra. Så ville du se
> at der er en reel uenighed om hvorvidt "-2^2" skal læses som "-(2^2)"
> eller "(-2)^2".

Jeg synes ikke der er nogen *reel* uenighed. I matematik kan -2² kun
læses på én måde, nemlig -(2²). Hvis man er uenig i det, må man også
mene at:

-x² = x²

Hvilket åbentlyst er forkert.

> Påstande om at det er selvklart at en af disse løsninger er den eneste
> rigtige vil næppe flytte noget.

Hvis man har lært matematik på folkeskoleniveau *er* det selvklart.

Man kan selvfølgelig diskutere, hvordan diverse lommeregnere og
programmeringssprog har valgt at implementere '-'; men det siger intet
om, hvad der er matematisk korrekt.

---

Scripsit Jesper Harder <harder@myrealbox.com>

> Jeg synes ikke der er nogen *reel* uenighed. I matematik kan -2² kun
> læses på én måde, nemlig -(2²).

Det er din påstand. Jeg er uenig.

> > Påstande om at det er selvklart at en af disse løsninger er den eneste
> > rigtige vil næppe flytte noget.

> Hvis man har lært matematik på folkeskoleniveau *er* det selvklart.

Nej. Du kan ikke antage at alle der lærer matematik på
folkeskoleniveau også lærer de konventioner du støtter dig til.

--
Henning Makholm "They discussed old Tommy Somebody and Jerry Someone Else."

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> wrote:

> Scripsit Jesper Harder <harder@myrealbox.com>

> > Hvis man har lært matematik på folkeskoleniveau *er* det selvklart.

> Nej. Du kan ikke antage at alle der lærer matematik på
> folkeskoleniveau også lærer de konventioner du støtter dig til.

Faktisk lærer de slet ikke et bestemt operatorhierarki.

Mange af dem vil derfor mene at 2 + 2*2 = 8. Men det tror jo også mange
sproglige studenter og cand.mag.er ...
--
Cand.scient. Per Erik Rønne
Frederikssundsvej 308B, 3. tv.
DK-2700 Brønshøj
Tlf + fax 38 89 00 16, mobil 28 23 09 92

---

Jesper Harder wrote:

>Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
>
>>Scripsit "e.p." <e.p..news@kandu.dk>
>>
>>>-2^2 er det samme som -2 ganget med sig selv 2 gange.......
>>>
>>Prøv at læse tråden inden du starter den helt forfra. Så ville du se
>>at der er en reel uenighed om hvorvidt "-2^2" skal læses som "-(2^2)"
>>eller "(-2)^2".
>>
>
>Jeg synes ikke der er nogen *reel* uenighed. I matematik kan -2² kun
>læses på én måde, nemlig -(2²). Hvis man er uenig i det, må man også
>mene at:
>
> -x² = x²
>
>Hvilket åbentlyst er forkert.
>
Du har kun ret, hvis du ikke mener at et minus kan opfattes som en del
af en tal-notation.

Der er _to_ mulige måder at scanne -2^2 :

<unary minus> <const:2><pow><const:2> som giver 4 eller -4 afhængigt af
bindingsregler eller
<const: -2> <pow> <const:2> som altid giver 4.

med -x er der kun én læsning, fordi x ikke kan opfattes som en del af et
konstant udtryk (literal value), som giver mening med - foran.

I nogle programmeringssprog er det ofte ikke tilladt at angive fortegn
som en del af en konstant "literal", netop fordi man ikke ønsker
tvetydigheden med det unære minus, som man skal have til udtryk
generelt. Det kan man tillade sig at gøre sikkert, altså uden
bivirkninger, hvis og kun hvis unært minus binder mindst lige så stærkt
som alle andre operatorer.

Men som almindelig menneskelig læser vil jeg altid opfatte -7 som et
tal, og ikke som et 7-tal og en -operator. Så jeg tilslutter mig nok det
mindretal som mener at -2^2=4 er den mest rimelige fortolkning, uden at
jeg tager stilling til forholdet mellem bindingerne på det unære minus
eller potensopløftningen overhovedet. Jeg mener nemlig ikke, der indgår
et unært minus overhovedet, men kun to konstantværdier og en
potensopløftning.

--
mvh
Morten V. Christiansen

---

Morten V. Christiansen <voet@worldonline.dk> wrote:

> Der er _to_ mulige måder at scanne -2^2 :

Betragt de to muligheder:

push -2
push 2
sqr

og

push 2
push 2
sqr
-

- det er jo de to fortolkninger der er tale om.

Hvordan skal man i øvrigt skrive et negativt tal? Mangler vi så ikke en
notation for det?
--
Cand.scient. Per Erik Rønne
Frederikssundsvej 308B, 3. tv.
DK-2700 Brønshøj
Tlf + fax 38 89 00 16, mobil 28 23 09 92

---

Scripsit per.ronne@invalid.dk (Per Rønne)

> Betragt de to muligheder:

> push -2 push 2 sqr

> og

> push 2 push 2 sqr -

> - det er jo de to fortolkninger der er tale om.

Nej, i din notation ville det være

push -2 push 2 power
push 2 push 2 power -

--
Henning Makholm "Hvorfor skulle jeg tale som en slave og en tåbe? Jeg
ønsker ikke, at han skal leve evigt, og jeg ved, at han ikke
kommer til at leve evigt, uanset om jeg ønsker det eller ej."

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> wrote:

> Scripsit per.ronne@invalid.dk (Per Rønne)
>
> > Betragt de to muligheder:
>
> > push -2 push 2 sqr
>
> > og
>
> > push 2 push 2 sqr -
>
> > - det er jo de to fortolkninger der er tale om.
>
> Nej, i din notation ville det være
>
> push -2 push 2 power
> push 2 push 2 power -

OK.
--
Cand.scient. Per Erik Rønne
Frederikssundsvej 308B, 3. tv.
DK-2700 Brønshøj
Tlf + fax 38 89 00 16, mobil 28 23 09 92

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Scripsit Jesper Harder <harder@myrealbox.com>
>
>> Jeg synes ikke der er nogen *reel* uenighed. I matematik kan -2² kun
>> læses på én måde, nemlig -(2²).
>
> Det er din påstand. Jeg er uenig.

Find et eneste eksempel i den matematiske litteratur inden for de sidste
100 år, hvor -x² bruges i betydningen (-x)². Hvis du kan det, vil jeg
give dig ret.

>> > Påstande om at det er selvklart at en af disse løsninger er den eneste
>> > rigtige vil næppe flytte noget.
>
>> Hvis man har lært matematik på folkeskoleniveau *er* det selvklart.
>
> Nej. Du kan ikke antage at alle der lærer matematik på
> folkeskoleniveau også lærer de konventioner du støtter dig til.

Da jeg gik i folkeskolen lærte vi at løse andengradsligninger. Hvis man
vil løse ligningerne som resten af verden (og ikke mindst
eksamensopgaverne , er man nødt til at vide at -x² betyder -(x²).

---

Jesper Harder <harder@myrealbox.com> writes:

> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
>
> > Scripsit Jesper Harder <harder@myrealbox.com>
> >
> >> Jeg synes ikke der er nogen *reel* uenighed. I matematik kan -2² kun
> >> læses på én måde, nemlig -(2²).
> >
> > Det er din påstand. Jeg er uenig.
>
> Find et eneste eksempel i den matematiske litteratur inden for de sidste
> 100 år, hvor -x² bruges i betydningen (-x)². Hvis du kan det, vil jeg
> give dig ret.

Der er forskel på -x og -2. Man *kan* læse -2 som et atomart udtryk.
Om man bør det er en anden sag, men alene diskussionen her viser med
al tydelighed at det ene ikke er mere åbenlyst end det andet.

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

Lasse Reichstein Nielsen <lrn@hotpop.com> writes:

> Der er forskel på -x og -2. Man *kan* læse -2 som et atomart udtryk.

Ikke mere end man kan læse -x atomart.

--
"Maybe you could blow something up. They're really strict about that."

---

"Morten V. Christiansen" <voet@worldonline.dk> writes:

> Jesper Harder wrote:
>
>>Jeg synes ikke der er nogen *reel* uenighed. I matematik kan -2² kun
>>læses på én måde, nemlig -(2²). Hvis man er uenig i det, må man også
>>mene at:
>>
>> -x² = x²
>>
>>Hvilket åbentlyst er forkert.
>
> Der er _to_ mulige måder at scanne -2^2 :
>
> <unary minus> <const:2><pow><const:2> som giver 4 eller -4 afhængigt
> af bindingsregler eller
> <const: -2> <pow> <const:2> som altid giver 4.
>
> med -x er der kun én læsning, fordi x ikke kan opfattes som en del af
> et konstant udtryk (literal value), som giver mening med - foran.

Er du monstro datalog?

Spørgsmålet om hvordan man kunne tænkes at lave en parser til et eller
andet programmeringssprog, hvis notation minder om matematik, er
irrelevant. Jeg snakker om, hvad udtrykket betyder i matematisk notation,
som matematikere bruger.

Matematisk notation er ikke lavet med henblik på at være nemt at parse.
Faktisk er det ret svært (jeg vil tro umuligt) at lave en parser til
sædvanlig matematisk notation.

> I nogle programmeringssprog

(For det første er matematik er ikke et programmeringssprog -- argumenter
der bygger på, hvordan det ville være hensigtsmæssigt at lave et sådant
er ikke relevante.)

> er det ofte ikke tilladt at angive fortegn som en del af en konstant
> "literal",

Det forstår jeg ikke. Hvordan giver man så en konstant en negativ
værdi?

> netop fordi man ikke ønsker tvetydigheden med det unære minus, som man
> skal have til udtryk generelt.

Hvilken tvetydighed?

> Det kan man tillade sig at gøre sikkert, altså uden bivirkninger, hvis
> og kun hvis unært minus binder mindst lige så stærkt som alle andre
> operatorer.

Det forstår jeg heller ikke. Hvilke problemer eller bivirkninger er der
med den måde potensopløftning er defineret på i Fortran? (hvor
-2**2 = -4).

> Men som almindelig menneskelig læser vil jeg altid opfatte -7 som et
> tal, og ikke som et 7-tal og en -operator. Så jeg tilslutter mig nok
> det mindretal som mener at -2^2=4 er den mest rimelige fortolkning,

Der er ikke så meget andet at sige end at du så bruger en notation, der
er anderledes end den, som anvendes i matematisk litteratur.

Prøv at kigge i en matematikbog -- hvorfor tror du at man altid skriver
(-1)^n og ikke -1^n i alternerende rækker?

---

Jesper Harder wrote:

>"Morten V. Christiansen" <voet@worldonline.dk> writes:
>
>>Jesper Harder wrote:
>>
>>>Jeg synes ikke der er nogen *reel* uenighed. I matematik kan -2² kun
>>>læses på én måde, nemlig -(2²). Hvis man er uenig i det, må man også
>>>mene at:
>>>
>>> -x² = x²
>>>
>>>Hvilket åbentlyst er forkert.
>>>
>>Der er _to_ mulige måder at scanne -2^2 :
>>
>><unary minus> <const:2><pow><const:2> som giver 4 eller -4 afhængigt
>>af bindingsregler eller
>><const: -2> <pow> <const:2> som altid giver 4.
>>
>>med -x er der kun én læsning, fordi x ikke kan opfattes som en del af
>>et konstant udtryk (literal value), som giver mening med - foran.
>>
>
>Er du monstro datalog?
>
Fanget. (Det vidste du vidst i forvejen.) Men min pointe var egentlig
netop at man _ikke_ kan tage udgangspunkt i hvordan computere og
lommeregnere implementerer notationen, som flere debattører har gjort,
netop fordi man i den situation "simplificerer" så det bliver nemt for
computeren at arbejde med.

>
>Spørgsmålet om hvordan man kunne tænkes at lave en parser til et eller
>andet programmeringssprog, hvis notation minder om matematik, er
>irrelevant. Jeg snakker om, hvad udtrykket betyder i matematisk notation,
>som matematikere bruger.
>
Og det er også hvad jeg snakker om.

Er -4 et tal ? eller er det et sammensat udtryk, bestående af en
operator og et tal ?

Hvordan ser du det ?

Problemet er, at der er "symbolsammenfald" mellem binært minus, som vi
kalder "-", unært minus, som vi kalder "-" og konstantnotationen for
negative tal som vi kalder "-". Altså en semantisk overbelastning, lidt
på samme måde som at vi kan bruge det samme bogstav til at udtrykke
flere lyde, afhængigt af sammenhængen. Hvis vi havde forskellige tegn
for de tre situationer, ville der ikke være et problem.Vi kan af
sammenhængen se at der er tale om enten et unært minus eller en
konstant-notation, da der kun er et argument. Men længere kommer vi
ikke. Herefter bliver det et spørgsmål om sædvane for fortolkningen.

>
>Matematisk notation er ikke lavet med henblik på at være nemt at parse.
>Faktisk er det ret svært (jeg vil tro umuligt) at lave en parser til
>sædvanlig matematisk notation.
>
Jeg medgiver det er en kompleks grammatik. Det er faktisk en del af
pointen. Man kan ikke regne med hvad computere og regnemaskiner gør, for
de simplificerer grammatiken. Men derfor kan man stadig ræsonnere
formelt og grammatikkens egenskaber.

>
>>I nogle programmeringssprog
>>
>
>(For det første er matematik er ikke et programmeringssprog -- argumenter
>der bygger på, hvordan det ville være hensigtsmæssigt at lave et sådant
>er ikke relevante.)
>
Enig.

>
>>er det ofte ikke tilladt at angive fortegn som en del af en konstant
>>"literal",
>>
>
>Det forstår jeg ikke. Hvordan giver man så en konstant en negativ
>værdi?
>
Det gør man simpelthen ikke. Men man kan lave udtryk med negative
værdier, ved at sætte et unært minus foran en konstant, og så beregne
den resulterende værdi.

>
>>netop fordi man ikke ønsker tvetydigheden med det unære minus, som man
>>skal have til udtryk generelt.
>>
>
>Hvilken tvetydighed?
>
At -3 kan forstås som ét symbol : <const:-3> eller to : <unært minus>
<const:3>. Det gør det sværere at skrive en scanner at skulle tage højde
for den slags, så man vælger gerne den simplest mulige tolkning.

>
>>Det kan man tillade sig at gøre sikkert, altså uden bivirkninger, hvis
>>og kun hvis unært minus binder mindst lige så stærkt som alle andre
>>operatorer.
>>
>
>Det forstår jeg heller ikke. Hvilke problemer eller bivirkninger er der
>med den måde potensopløftning er defineret på i Fortran? (hvor
>-2**2 = -4).
>
Ved "sikkert" forstås "semantisk sikkert", sådan forstået at beregninger
med <const: -2> altid vil give samme resultater som beregninger med
<unært minus> <const:2>. Det kræver at denne sidste konstruktion altid
opfattes atomart. I Fortran er så (muligvis bevidst) valgt en løsning
som ikke er sikker i denne forstand. I C++ er til gengæld, så vidt jeg
husker, valgt en "sikker" løsning.

>>Men som almindelig menneskelig læser vil jeg altid opfatte -7 som et
>>tal, og ikke som et 7-tal og en -operator. Så jeg tilslutter mig nok
>>det mindretal som mener at -2^2=4 er den mest rimelige fortolkning,
>>
>
>Der er ikke så meget andet at sige end at du så bruger en notation, der
>er anderledes end den, som anvendes i matematisk litteratur.
>
Kan du give eksempler på det ?

Jeg har ikke lige en matematisk artikel ved hånden, hvor der er angivet
en potensopløfning af et negativt tal, og dets resultat med
konstant-værdier. Har du ? (Jeg vil prøve at lægge mærke til det fremover.)

Læg mærke til, at jeg ikke betrider at -x^2 = -(x^2) eller for så vidt
endda at - 2^2 = -(2^2). I disse situationer er der ingen mulig
dobbelthed. Men jeg ville stadig læse -2^2 som (-2)^2, fordi minusset er
en del af en konstant-notation, på samme måde som jeg opfatter 23 som
noget andet end 2*10+3, selv om notationen med at sætte cifre efter
hinanden netop resulterer i den samme værdi.

23^2 vil ingen insistere på skal læses som 2*10+3^2, men det er netop
fordi der i dette tilfælde kun er én mulig tolkning af sammensætningen,
nemlig den atomare.

(I Fortran gælder det faktisk at 2 3 er det samme som 23. Men det er
ikke fordi højrestilling er ophøjet til operator, det er bare fordi
scanneren smider blanke væk. En grim fejl, som har medført mange
problemer. Men 2 3^2 er altså stadig (23)^2. Heldigvis)

>
>Prøv at kigge i en matematikbog -- hvorfor tror du at man altid skriver
>(-1)^n og ikke -1^n i alternerende rækker?
>
Formentlig fordi den sidste notation nemt misforstås, som denne debat
viser.

Men ok, jeg er datalog, jeg er ikke matematiker. Jeg ville nok altid
selv skrive (-2)^2, eller -(2^2), netop fordi jeg opfatter konventionen
som uklar. Så jeg erkender muligheden for, at jeg tager fejl. Jeg har
bare ikke hidtil set et godt argument for det, endsige et eksempel fra
matematisk litteratur på formen -5^2=-25.

--
mvh. Morten

---

Jesper Harder <harder@myrealbox.com> writes:

> Matematisk notation er ikke lavet med henblik på at være nemt at parse.
> Faktisk er det ret svært (jeg vil tro umuligt) at lave en parser til
> sædvanlig matematisk notation.

Altså det du siger er at matamatikkere er forstokkede personer der
ikke kan sætte sig ud over sædvanen.

Godt jeg ikke er matematikker.

--
Peter Makholm | I laugh in the face of danger. Then I hide until
peter@makholm.net | it goes away
http://hacking.dk | -- Xander

---

Jesper Harder wrote:
>
> Der er ikke så meget andet at sige end at du så bruger en notation, der
> er anderledes end den, som anvendes i matematisk litteratur.
>
> Prøv at kigge i en matematikbog -- hvorfor tror du at man altid skriver
> (-1)^n og ikke -1^n i alternerende rækker?

Jeg er helt enig. Der er fuldstændig konsensus blandt matematikere om
at udtryk som

n
-a

hvor n står som eksponent, skal opfattes som -(a^n).

Naturligvis *kunne* det være at det skulle forstås på den anden måde,
og det skal det åbenbart i nogle computersprog. Men jeg tvivler på at
man kan finde én eneste forekomst i den matematiske litteratur (hvor
jeg ser bort fra ting skrevet på computerprogrammeringssprog) af

n
-a

som ikke skal læses som -(a^n).

Allerede når man bruger cirkumfleks (^) til potensopløftning, bevæger
man sig væk fra den almindelige matematiske notation (af computer-
tekniske grunde), og så kan man forestille sig alt muligt.

Hvad betyder fx 3^3^3? Ifølge TI-83 betyder det (3³)³=19683.
Mange andre ville fortolke det som 3^27=7625597484987.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> wrote:

> Hvad betyder fx 3^3^3? Ifølge TI-83 betyder det (3")"=19683.

Ditto på HP27S. På PCalc til Mac OS X. På powerOne til Palm.
--
Cand.scient. Per Erik Rønne
Frederikssundsvej 308B, 3. tv.
DK-2700 Brønshøj
Tlf + fax 38 89 00 16, mobil 28 23 09 92

---

Per Rønne wrote:
>
> > Hvad betyder fx 3^3^3? Ifølge TI-83 betyder det (3")"=19683.
>
> Ditto på HP27S. På PCalc til Mac OS X. På powerOne til Palm.

Men:
$ echo '3^3^3' | bc
7625597484987

Og Mathematica er vist enig:
http://integrals.wolfram.com/ (prøv at integrere konstanten 3^3^3)

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
> Per Rønne wrote:

> Men:
> $ echo '3^3^3' | bc
> 7625597484987
>
> Og Mathematica er vist enig:
> http://integrals.wolfram.com/ (prøv at integrere konstanten 3^3^3)

MathCad ditto.

Men det overraskende er vel også mest, at TI83'eren er brækket.

--
Jens Axel Søgaard

---

"Jens Axel Søgaard" wrote:
>
> Men det overraskende er vel også mest, at TI83'eren er brækket.

Brækket og brækket. Cirkumfleksnotationen bruges jo ikke i rigtig
matematik. Men det er klart at (3^3)^3 nødvendigvis må skrives med
parentes i matematik (for at undgå forveksling med 3^33), hvorimod
3^(3^3) normalt skrives uden parenteser i matematik. Nemlig

(3³)³

henholdsvis

3³
3

bortset fra den elendige typografi her.

Derfor kunne man argumentere for at Mathematica og Mathcad (og bc) var
mest naturlige.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

python: 7625597484987
metapost: 19682.99936
emacs calculator: 19683 (men den evaluerer også hver operator som de
afsluttes)
Salford fortran 77 kan absolut ikke lide 3**3**3. Jeg får hverken fejl
eller fil.

--
Brian (remove the sport for mail)
http://www.et.dtu.dk/staff/be

---

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> wrote:

> Men:
> $ echo '3^3^3' | bc
> 7625597484987

Mine too:

[G4] per% echo '3^3^3' | bc
7625597484987
[G4] per%
--
Cand.scient. Per Erik Rønne
Frederikssundsvej 308B, 3. tv.
DK-2700 Brønshøj
Tlf + fax 38 89 00 16, mobil 28 23 09 92

---

"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> wrote in message
news:3DBED7C4.BFA19C2@jeppesn.dk...
> Hvad betyder fx 3^3^3? Ifølge TI-83 betyder det (3³)³=19683.
> Mange andre ville fortolke det som 3^27=7625597484987.
>

Ti-89 mener at 3^3^3 er 7625597484987.

---

Peter Makholm wrote:
>
> > Matematisk notation er ikke lavet med henblik på at være nemt at parse.
> > Faktisk er det ret svært (jeg vil tro umuligt) at lave en parser til
> > sædvanlig matematisk notation.
>
> Altså det du siger er at matamatikkere er forstokkede personer der
> ikke kan sætte sig ud over sædvanen.
>
> Godt jeg ikke er matematikker.

Han siger vel at matematik er et menneskesprog (lige som fx dansk), og
at det ikke nødvendigvis er »logisk« at implementere på maskiner.

Matematikere er vist dem der lettest kan »sætte sig ud over sædvanen«
og bruge en gammel notation på en ny måde. Eller samme notation i
mange forskellige betydninger. Men det ændrer jo ikke på hvad kon-
ventionen er i det diskuterede tilfælde.

Som matematiker vil jeg da gerne opgive (selv nyttig) notation af
hensyn til kommunikationen over usenet. Det eneste Harder siger, er
(mig bekendt) at fortegnsminus har lavere prioritet end potenser i
sædvanlig matematisk litteratur. Og deri har han jo ret.

En diskussion af om det er »logisk« eller »naturligt« at det forholder
sig således, er meningsløs.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Peter Makholm <peter@makholm.net> writes:

> Jesper Harder <harder@myrealbox.com> writes:
>
>> Matematisk notation er ikke lavet med henblik på at være nemt at parse.
>> Faktisk er det ret svært (jeg vil tro umuligt) at lave en parser til
>> sædvanlig matematisk notation.
>
> Altså det du siger er at matamatikkere er forstokkede personer der
> ikke kan sætte sig ud over sædvanen.

Det er din konklusion. Jeg konstaterer bare, at matematisk notation
ikke er indrettet sådan, at den kan fortolkes automatisk af en computer.

Betragt udtrykket:

f(x+y)

Det er umuligt at afgøre om det skal fortolkes som:

(f (+ x y)) eller

(* f (+ x y))

Tough cookie.

Jeg ved ikke om det gør matematikere forstokkede -- det er vel ikke
værre end at du normalt udtrykker dig på dansk, som heller ikke lader
sig fortolke automatisk.

---

Scripsit Jesper Harder <harder@myrealbox.com>

> Det er din konklusion. Jeg konstaterer bare, at matematisk notation
> ikke er indrettet sådan, at den kan fortolkes automatisk af en computer.

> Jeg ved ikke om det gør matematikere forstokkede

Det gør dig forstokket at du insisterer på at "matematisk notation" er
en entydigt givet størrelse.

--
Henning Makholm "There are two kinds of people: Those
who reduce their fellow human beings to an
arbitrary binary attribute, and those who don't."

---

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

> Han siger vel at matematik er et menneskesprog (lige som fx dansk), og
> at det ikke nødvendigvis er »logisk« at implementere på maskiner.

Korrekt. Jeg valgte noget forkert at citerer. Mit svar skal nok ses
mere som en kommentar om Jespers gennerelle påstande.

--
Peter Makholm | Have you ever felt trapped inside a Klein bottle?
peter@makholm.net |
http://hacking.dk |

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Scripsit Jesper Harder <harder@myrealbox.com>
>
>> Det er din konklusion. Jeg konstaterer bare, at matematisk notation
>> ikke er indrettet sådan, at den kan fortolkes automatisk af en computer.
>
>> Jeg ved ikke om det gør matematikere forstokkede
>
> Det gør dig forstokket at du insisterer på at "matematisk notation" er
> en entydigt givet størrelse.

Det påstår jeg ikke. Der findes masser af forskellige notationer.

Min pointe er, at i den matematiske litteratur er betydningen af -x^n
*helt* entydig. Det er et rent empirisk spørgsmål -- læs artikler,
lærebøger osv. og konstatér, hvordan det bliver brugt.

Hvis man tror at -x^n = (-x)^n vil man misforstå matematisk litteratur,
fordi det er den forkerte fortolkning. Jeg forstår ikke, hvordan man
kan være uenig i den påstand. Kender du noget modeksempel?

---

Scripsit Jesper Harder <harder@myrealbox.com>

> Min pointe er, at i den matematiske litteratur er betydningen af -x^n
> *helt* entydig.

Men her snakker vi altså ikke om et x, men om et ciffer 2. Jeg gider
ikke gentage argumenterne for at det gør forskel; de har været bragt
her adskillige gange.

--
Henning Makholm "*Tak* for de ord. *Nu* vinker nobelprisen forude."

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Scripsit Jesper Harder <harder@myrealbox.com>
>
>> Min pointe er, at i den matematiske litteratur er betydningen af -x^n
>> *helt* entydig.
>
> Men her snakker vi altså ikke om et x, men om et ciffer 2.

Betydningen af -2² er også helt entydig.

> Jeg gider ikke gentage argumenterne for at det gør forskel; de har
> været bragt her adskillige gange.

Du har endnu ikke præsteret at vise et eksempel fra den matematiske
litteratur, hvor -2² betyder 4 (eller et andet konkret tal,
selvfølgelig).

Hvis du mener at udtrykket kan fortolkes på den måde, må du vel bygge
det på en erfaring med, at det rent faktisk bliver fortolket således i
litteraturen.

Indtil videre har du kun argumenteret for, at det er muligt at
konstruere en matematisk notation, hvor -2² = 4. Det er korrekt. Men
hvilken signifikans har det, når det nu engang ikke er dén alternative
notation, som matematikere bruger?

---

Jesper Harder wrote:
> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Indtil videre har du kun argumenteret for, at det er muligt at
> konstruere en matematisk notation, hvor -2² = 4. Det er korrekt.

Ja?

> Men hvilken signifikans har det, når det nu engang ikke er dén alternative
> notation, som matematikere bruger?

Det forklarer, hvorfor folk, der ikke kender konventionen, bliver i tvivl.
Eller mere grundliggende: Det forklarer, hvorfor der i det hele taget findes
en konvention.

Det er ikke en dyb pointe, men der er der vist heller ikke ingen i tråden,
der har påstået.

--
Jens Axel Søgaard

---

"Morten V. Christiansen" <voet@worldonline.dk> writes:

> Jesper Harder wrote:
>
> Er -4 et tal ? eller er det et sammensat udtryk, bestående af en
> operator og et tal ? Hvordan ser du det ?

Jeg skelner ikke, fordi jeg ikke kan tænke på nogen situation, hvor det
gør en forskel om man opfatter det som det ene eller andet. Kender du
et eksempel?

> Problemet er, at der er "symbolsammenfald" mellem binært minus, som vi
> kalder "-", unært minus, som vi kalder "-" og konstantnotationen for
> negative tal som vi kalder "-".

Jep. Men sammenfaldet er harmløst, fordi det ingen forskel gør.

>>>netop fordi man ikke ønsker tvetydigheden med det unære minus, som man
>>>skal have til udtryk generelt.
>>
>>Hvilken tvetydighed?
>>
> At -3 kan forstås som ét symbol : <const:-3> eller to : <unært minus>
> <const:3>. Det gør det sværere at skrive en scanner at skulle tage
> højde for den slags, så man vælger gerne den simplest mulige tolkning.

OK. Men som jeg vist har nævnt før, så er jeg ligeglad med om livet er
let for dem som skal skrive oversætteren.

>>Hvilke problemer eller bivirkninger er der med den måde
>>potensopløftning er defineret på i Fortran? (hvor -2**2 = -4).
>>
> Ved "sikkert" forstås "semantisk sikkert", sådan forstået at
> beregninger med <const: -2> altid vil give samme resultater som
> beregninger med <unært minus> <const:2>. Det kræver at denne sidste
> konstruktion altid opfattes atomart. I Fortran er så (muligvis
> bevidst) valgt en løsning som ikke er sikker i denne forstand.

Det forstår jeg stadig ikke. Kan du give et eksempel på et udtryk, hvor
resultatet afhænger af, hvordan '-' fortolkes?

> I C++ er til gengæld, så vidt jeg husker, valgt en "sikker" løsning.

Men C++ har ikke en potensopløftningoperator (går jeg ud fra), så
prioriteten af unært minus i forhold til ** betyder ikke noget.

>>Der er ikke så meget andet at sige end at du så bruger en notation, der
>>er anderledes end den, som anvendes i matematisk litteratur.
>>
> Kan du give eksempler på det ?
>
> Jeg har ikke lige en matematisk artikel ved hånden, hvor der er
> angivet en potensopløfning af et negativt tal, og dets resultat med
> konstant-værdier. Har du ? (Jeg vil prøve at lægge mærke til det
> fremover.)

Jeg har kun et "omvendt" eksempel: Man skriver altid (-1)^n. Da man
aldrig sætter parenteser med mindre de er nødvendige, kan man udlede at
-1^n /= (-1)^n.

Det ville selvfølgelig være bedre, hvis jeg kunne finde et eksempel,
hvor man skriver -b^n (for et konkret tal b), men de eksempler hænger
åbenbart ikke lige på træerne

Jeg vil ikke kalde det en autoritativ kilde, men "Ask Dr. Math" (en
brevkasse, hvor børn kan stille matematikspørgsmål) har svaret på
spørgsmålet utallige gange. Her er et eksempel:

<http://mathforum.org/library/drmath/view/55709.html>

Et andet svar, hvor man også er inde på prioriteten i
programmeringssprog:

<http://mathforum.org/library/drmath/view/53194.html>

> (I Fortran gælder det faktisk at 2 3 er det samme som 23. Men det er
> ikke fordi højrestilling er ophøjet til operator, det er bare fordi
> scanneren smider blanke væk.

Ja og nej. I "free source form" i Fortran 90 har man heldigvis smidt de
gamle, rædsomme blanktegnsregler ud, så "2 3" er en syntaksfejl:

| $ ifc test.f90
| program TEST
|
| i = 2 3
| ^
| Error 24 at (3:test.f90) : syntax error
|
| 1 Error
| compilation aborted for test.f90 (code 1)

---

Jesper Harder <harder@myrealbox.com> wrote:

> Jeg vil ikke kalde det en autoritativ kilde, men "Ask Dr. Math" (en
> brevkasse, hvor børn kan stille matematikspørgsmål) har svaret på
> spørgsmålet utallige gange. Her er et eksempel:
>
> <http://mathforum.org/library/drmath/view/55709.html>

For børn?

Ses på:

http://mathforum.org/library/drmath/

omfatter det nu også »college and beyond«. Men ok, amerikanerne bruger
nu også udtrykket »college kids« om universitetsstuderende ...
--
Cand.scient. Per Erik Rønne
Frederikssundsvej 308B, 3. tv.
DK-2700 Brønshøj
Tlf + fax 38 89 00 16, mobil 28 23 09 92

---

Jesper Harder wrote:

>"Morten V. Christiansen" <voet@worldonline.dk> writes:
>
>>Jesper Harder wrote:
>>
>>Er -4 et tal ? eller er det et sammensat udtryk, bestående af en
>>operator og et tal ? Hvordan ser du det ?
>>
>
>Jeg skelner ikke, fordi jeg ikke kan tænke på nogen situation, hvor det
>gør en forskel om man opfatter det som det ene eller andet. Kender du
>et eksempel?
>
Ja. Det eksempel vi diskuterer -2^2. Hvis vi opfatter -2 som ét tal
bliver resultatet et andet end hvis vi opfatter minus som en operator.

>
>>Problemet er, at der er "symbolsammenfald" mellem binært minus, som vi
>>kalder "-", unært minus, som vi kalder "-" og konstantnotationen for
>>negative tal som vi kalder "-".
>>
>
>Jep. Men sammenfaldet er harmløst, fordi det ingen forskel gør.
>
Men det _kan_ gøre en forskel, som netop dette eksempel viser. Antag at
vi vælger et andet symbol end '-' til at angive negative
konstantværdier, det kan f.eks. være '#', men at vi fastholder '-' som
unært minus. Så bliver der stor forskel på
#2^2 og -2^2, fordi det første angiver tallet #2 opløftet til anden
potens, og det andet giver den negative værdi af 2^2. Nu er der ikke
længere tvivl, og #x^2 er selvfølgeligt meningsløst. '#' kan kun
anvendes som en del af notationen for konstanter, og der kan man ikke
bruge x.

Et tilsvarende eksempel kan laves med potenser. Vi kan angive 2E3 til at
betyde 2*10^3. Denne notation er entydig, og det er klart hvad der menes
med 2E3^2. Men hvis vi opfatter '*10^' som ét symbol i
konstant-angivelsen, så 2*10^3 er en konstant og ikke et udtryk, så
bliver 2*10^3^2 tvetydig fordi notationen er overbelastet.

>
>>>>netop fordi man ikke ønsker tvetydigheden med det unære minus, som man
>>>>skal have til udtryk generelt.
>>>>
>>>Hvilken tvetydighed?
>>>
>>At -3 kan forstås som ét symbol : <const:-3> eller to : <unært minus>
>><const:3>. Det gør det sværere at skrive en scanner at skulle tage
>>højde for den slags, så man vælger gerne den simplest mulige tolkning.
>>
>
>OK. Men som jeg vist har nævnt før, så er jeg ligeglad med om livet er
>let for dem som skal skrive oversætteren.
>
>>>Hvilke problemer eller bivirkninger er der med den måde
>>>potensopløftning er defineret på i Fortran? (hvor -2**2 = -4).
>>>
>>Ved "sikkert" forstås "semantisk sikkert", sådan forstået at
>>beregninger med <const: -2> altid vil give samme resultater som
>>beregninger med <unært minus> <const:2>. Det kræver at denne sidste
>>konstruktion altid opfattes atomart. I Fortran er så (muligvis
>>bevidst) valgt en løsning som ikke er sikker i denne forstand.
>>
>
>Det forstår jeg stadig ikke. Kan du give et eksempel på et udtryk, hvor
>resultatet afhænger af, hvordan '-' fortolkes?
>
>>I C++ er til gengæld, så vidt jeg husker, valgt en "sikker" løsning.
>>
>
>Men C++ har ikke en potensopløftningoperator (går jeg ud fra), så
>prioriteten af unært minus i forhold til ** betyder ikke noget.
>
Ikke med mindre man selv definerer en potensoperator. Men der er ikke
mange tegn man kan vælge, som har højere prioritet end unært -.

>
>>>Der er ikke så meget andet at sige end at du så bruger en n
>>>
>>>otation, der
>>>er anderledes end den, som anvendes i matematisk litteratur.
>>>
>>Kan du give eksempler på det ?
>>
>>Jeg har ikke lige en matematisk artikel ved hånden, hvor der er
>>angivet en potensopløfning af et negativt tal, og dets resultat med
>>konstant-værdier. Har du ? (Jeg vil prøve at lægge mærke til det
>>fremover.)
>>
>
>Jeg har kun et "omvendt" eksempel: Man skriver altid (-1)^n. Da man
>aldrig sætter parenteser med mindre de er nødvendige, kan man udlede at
>-1^n /= (-1)^n.
>
Du sætter aldrig parenteser med mindre de er nødvendige ? Jeg sætter
ofte parenteser for at øge læsbarheden, og jeg ville formode at de
fleste, men nok ikke alle, ville gøre det samme i ovenstående situation.
Hvis det virkelig er tilfældet at _alle_ artikler som omtaler (-1)^n
bruger parenteser, og ikke bare langt de fleste, så bøjer jeg mig. Men
det har jeg ikke mulighed for at efterprøve.

>
>Det ville selvfølgelig være bedre, hvis jeg kunne finde et eksempel,
>hvor man skriver -b^n (for et konkret tal b), men de eksempler hænger
>åbenbart ikke lige på træerne
>
>
>Jeg vil ikke kalde det en autoritativ kilde, men "Ask Dr. Math" (en
>brevkasse, hvor børn kan stille matematikspørgsmål) har svaret på
>spørgsmålet utallige gange. Her er et eksempel:
>
> <http://mathforum.org/library/drmath/view/55709.html>
>
>Et andet svar, hvor man også er inde på prioriteten i
>programmeringssprog:
>
> <http://mathforum.org/library/drmath/view/53194.html>
>
Jeg accepterer at Dr. Math er enig med dig. Ligesom flertallet af
debattører er. Men personligt opfatter jeg ikke henvisninger til andre
menneskers meninger som særligt gode argumenter i spørgsmål om matematik
eller, måske i dette tilfælde, semantik. Dine ræsonnementer ovenfor
tillægger jeg langt større vægt.

>
>>(I Fortran gælder det faktisk at 2 3 er det samme som 23. Men det er
>>ikke fordi højrestilling er ophøjet til operator, det er bare fordi
>>scanneren smider blanke væk.
>>
>
>Ja og nej. I "free source form" i Fortran 90 har man heldigvis smidt de
>gamle, rædsomme blanktegnsregler ud, så "2 3" er en syntaksfejl:
>
>| $ ifc test.f90
>| program TEST
>|
>| i = 2 3
>| ^
>| Error 24 at (3:test.f90) : syntax error
>|
>| 1 Error
>| compilation aborted for test.f90 (code 1)
>
Herligt. Det vil formentlig reducere antallet af katastrofale fejl i
Fortran-programmer væsentligt.

--
Morten

---

"Morten V. Christiansen" wrote:
>
> >Jeg har kun et "omvendt" eksempel: Man skriver altid (-1)^n. Da man
> >aldrig sætter parenteser med mindre de er nødvendige, kan man udlede at
> >-1^n /= (-1)^n.
> >
> Du sætter aldrig parenteser med mindre de er nødvendige ? Jeg sætter
> ofte parenteser for at øge læsbarheden, og jeg ville formode at de
> fleste, men nok ikke alle, ville gøre det samme i ovenstående situation.
> Hvis det virkelig er tilfældet at _alle_ artikler som omtaler (-1)^n
> bruger parenteser, og ikke bare langt de fleste, så bøjer jeg mig. Men
> det har jeg ikke mulighed for at efterprøve.

I (højere) matematik er det meget sjældent man har brug for at opløfte
et konkret negativt tal til en potens. Resultatet bliver jo i øvrigt
også imaginært medmindre eksponenten er et helt tal. Men lige netop
(-1)^n ser man ganske tit. Her er der altid parentes om.

Eksempler: http://mathworld.wolfram.com/AlternatingSeries.html

Måske er én af årsagerne til at konventionen er at -b^a = -(b^a), ganske
enkelt at man oftere har brug for -(b^a) end for (-b)^a. Ikke fordi jeg
tror at man nødvendigvis kan *forklare* hvorfor konventionen er som den
er.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jesper Harder <harder@myrealbox.com> writes:

> Betydningen af -2² er også helt entydig.

Det er kun entydigt hvis man er enige om hvilken operator der har
højst præcedens. Det er man sædvanligvis.

Men det er forstokket at mene at denne konvention er indbygget i
*matematikken* eller på anden måde gudsgivet. Det er ren notationel
enighed der gør udtrykket entydigt.

--
Peter Makholm | Sit back and watch the messages. This is actually
peter@makholm.net | more important than one might think as there is a
http://hacking.dk | bug in GNU Mach whereby hitting a key during the
| boot process causes the kernel to panic
| -- GNU Hurd Installation Guide

---

Jesper Harder <harder@myrealbox.com> writes:

>> Er -4 et tal ? eller er det et sammensat udtryk, bestående af en
>> operator og et tal ? Hvordan ser du det ?
>
> Jeg skelner ikke, fordi jeg ikke kan tænke på nogen situation, hvor det
> gør en forskel om man opfatter det som det ene eller andet.

Jo, du bliver nød til at skelner for at give mening.

Hvis det er et tal, altså et atomart udtryk, så er der ikke nogen
diskussion om hvilken operator der binder stærkest i udtrykket -2² for
der er så kun en operator.

--
Peter Makholm | I congratulate you. Happy goldfish bowl to you, to
peter@makholm.net | me, to everyone, and may each of you fry in hell
http://hacking.dk | forever
| -- The Dead Past

---

"Morten V. Christiansen" <voet@worldonline.dk> writes:

> Jesper Harder wrote:
>
>>"Morten V. Christiansen" <voet@worldonline.dk> writes:
>
>>>Er -4 et tal ? eller er det et sammensat udtryk, bestående af en
>>>operator og et tal ? Hvordan ser du det ?
>>
>>Jeg skelner ikke, fordi jeg ikke kan tænke på nogen situation, hvor det
>>gør en forskel om man opfatter det som det ene eller andet. Kender du
>>et eksempel?
>>
> Ja. Det eksempel vi diskuterer -2^2. Hvis vi opfatter -2 som ét tal
> bliver resultatet et andet end hvis vi opfatter minus som en operator.

Jamen, '-' i eksemplet står ikke foran et rent tal, men foran et udtryk
'2^2' (fordi potensopløftning binder stærkere). Derfor kan '-' i det
tilfælde ikke opfattes som en del af talnotationen.

>>>Problemet er, at der er "symbolsammenfald" mellem binært minus, som vi
>>>kalder "-", unært minus, som vi kalder "-" og konstantnotationen for
>>>negative tal som vi kalder "-".
>>
>>Jep. Men sammenfaldet er harmløst, fordi det ingen forskel gør.
>>
> Men det _kan_ gøre en forskel, som netop dette eksempel viser. Antag
> at vi vælger et andet symbol end '-' til at angive negative
> konstantværdier, det kan f.eks. være '#', men at vi fastholder '-' som
> unært minus. Så bliver der stor forskel på #2^2 og -2^2, fordi det
> første angiver tallet #2 opløftet til anden potens, og det andet giver
> den negative værdi af 2^2. Nu er der ikke længere tvivl, og #x^2 er
> selvfølgeligt meningsløst. '#' kan kun anvendes som en del af
> notationen for konstanter, og der kan man ikke bruge x.

Det kommer an på hvilken prioritet du giver '#'. Du har antaget at '#'
i modsætning til '-' har lavere prioritet end '^'. Dit eksempel
illustrerer altså en anden situation. En del af min pointe er, at '-'
altid har samme prioritet uanset hvordan det bruges. Så er
fortolkningen '#2^2' ikke mulig.

> Hvis det virkelig er tilfældet at _alle_ artikler som omtaler (-1)^n
> bruger parenteser, og ikke bare langt de fleste, så bøjer jeg mig. Men
> det har jeg ikke mulighed for at efterprøve.

Jeg tør godt påstå at *alle* artikler jeg har set bruger (-1)^n -- det
forekommer trods alt ret hyppigt.

Jeg vil dog ikke afvise at nogen kunne finde på at skrive fx -(2)²,
selvom -2² egentlig er tilstrækkeligt.

---

Jesper Harder wrote:

>"Morten V. Christiansen" <voet@worldonline.dk> writes:
>
>>Jesper Harder wrote:
>>
>>>"Morten V. Christiansen" <voet@worldonline.dk> writes:
>>>
>>>>Er -4 et tal ? eller er det et sammensat udtryk, bestående af en
>>>>operator og et tal ? Hvordan ser du det ?
>>>>
>>>Jeg skelner ikke, fordi jeg ikke kan tænke på nogen situation, hvor det
>>>gør en forskel om man opfatter det som det ene eller andet. Kender du
>>>et eksempel?
>>>
>>Ja. Det eksempel vi diskuterer -2^2. Hvis vi opfatter -2 som ét tal
>>bliver resultatet et andet end hvis vi opfatter minus som en operator.
>>
>
>Jamen, '-' i eksemplet står ikke foran et rent tal, men foran et udtryk
>'2^2' (fordi potensopløftning binder stærkere). Derfor kan '-' i det
>tilfælde ikke opfattes som en del af talnotationen.
>

Binder stærkere end konstant-notation ? Sikke noget sludder. Pointen er,
at udtrykket kan læses som om der kun indgår én operator, nemlig
potensopløftning. Resten af udtrykket er blot konstanter. Der er ikke
nogen anden operator, som ^ kan binde stærkere end. For '-' bliver i
denne fortolkning ikke en operator, men blot en rent syntaktisk del af
notationen for en konstant.

>
>
>>>>Problemet er, at der er "symbolsammenfald" mellem binært minus, som vi
>>>>kalder "-", unært minus, som vi kalder "-" og konstantnotationen for
>>>>negative tal som vi kalder "-".
>>>>
>>>Jep. Men sammenfaldet er harmløst, fordi det ingen forskel gør.
>>>
>>Men det _kan_ gøre en forskel, som netop dette eksempel viser. Antag
>>at vi vælger et andet symbol end '-' til at angive negative
>>konstantværdier, det kan f.eks. være '#', men at vi fastholder '-' som
>>unært minus. Så bliver der stor forskel på #2^2 og -2^2, fordi det
>>første angiver tallet #2 opløftet til anden potens, og det andet giver
>>den negative værdi af 2^2. Nu er der ikke længere tvivl, og #x^2 er
>>selvfølgeligt meningsløst. '#' kan kun anvendes som en del af
>>notationen for konstanter, og der kan man ikke bruge x.
>>
>
>Det kommer an på hvilken prioritet du giver '#'. Du har antaget at '#'
>i modsætning til '-' har lavere prioritet end '^'. Dit eksempel
>illustrerer altså en anden situation. En del af min pointe er, at '-'
>altid har samme prioritet uanset hvordan det bruges. Så er
>fortolkningen '#2^2' ikke mulig.
>
# har ikke nogen prioritet. Det er en del af den syntaktiske notation
for en konstant. En grammatik kunne være :

<const> := [#]<ciffer>{<ciffer>}

Og på udtryksniveau har vi så

<expr>:=<const>| -<expr> | <expr>^<expr>|...

Her fungerer # ikke som en operator, og det er meningsløst at tale om
dens prioritet. Man kan argumentere for, at - reelt fungerer på begge
niveauer.

---

Morten V. Christiansen <voet@worldonline.dk> wrote:

> # har ikke nogen prioritet. Det er en del af den syntaktiske notation
> for en konstant. En grammatik kunne være :
>
> <const> := [#]<ciffer>{<ciffer>}
>
> Og på udtryksniveau har vi så
>
> <expr>:=<const>| -<expr> | <expr>^<expr>|...

Og vi ville kunne få udtrykket:

-#2^2.
--
Cand.scient. Per Erik Rønne
Frederikssundsvej 308B, 3. tv.
DK-2700 Brønshøj
Tlf + fax 38 89 00 16, mobil 28 23 09 92

---

On 24 Oct 2002 09:23:19 GMT, "Morten Bjergstrøm"
<nospam01@miljokemi.dk> wrote:

>-2^2 er det samme som (-2)*(-2) og altså lig 4. Argumenterne for
>hvorfor er givet andetsteds.
så 0-2^2 er altså også 4? Eftersom 0 jo ikke burde gøre den store
forskel.

---

"Simon Kamber" skrev d. 27-10-02 00:46 dette indlæg :
> On 24 Oct 2002 09:23:19 GMT, "Morten Bjergstrøm"
> <nospam01@miljokemi.dk> wrote:

> så 0-2^2 er altså også 4? Eftersom 0 jo ikke burde gøre den store
> forskel.

Når -2 står alene er - faktoren 2's fortegn, der er jo ingen tal at
trække noget fra.
I udtrykket 0 - 2^2 er - tegnet operator faktisk står der (+0) - (+2)^2

--
Leveret af:
http://www.kandu.dk/
"Vejen til en hurtig løsning"

---

Simon Kamber <simon_kamber@hot<<<REMOVE>>>mail.com> skrev:

>>-2^2 er det samme som (-2)*(-2) og altså lig 4. Argumenterne for
>>hvorfor er givet andetsteds.
> så 0-2^2 er altså også 4? Eftersom 0 jo ikke burde gøre den store
> forskel.
>

Prøv at læs lidt videre i tråden, hvor Jesper Harder påpeger min
tanketorsk og som jeg indrømmer tre dage før dit svar.

Vi er enige i, at (-2)^2=4 og -2^2=-4

--
Morten http://miljokemi.dk

---

Simon Kamber <simon_kamber@hot<<<REMOVE>>>mail.com> writes:

> så 0-2^2 er altså også 4? Eftersom 0 jo ikke burde gøre den store
> forskel.

Nej, du gør også den fejl at insisterer på at den eneste mulige
fortolkning af -2 er at der er et underforstået 0. At opfatte -2 som
en atomar enhed er også en indlysende mulighed.

Der er så bare udbredt enighed om at opfatte minusset som en unær
operator med samme præcedens som den binære minus-operator.

--
Peter Makholm | I congratulate you. Happy goldfish bowl to you, to
peter@makholm.net | me, to everyone, and may each of you fry in hell
http://hacking.dk | forever
| -- The Dead Past

---

Peter Makholm <peter@makholm.net> wrote:

> Der er så bare udbredt enighed om at opfatte minusset som en unær
> operator med samme præcedens som den binære minus-operator.

Meget morsomt vil mine regnemaskiner noget andet:

HP27S:
0 - 2^2 = -4
-2^2 = 4

powerOne Graph 1.0 [til Palm: www.infinitysw.com]:
0 - 2^2 = -4
-2^2 = 4

PCalc [til MacOS X], Graphing Calculator [til MacOS Classic] og Windows
Calculator i »scientific mode« giver dog det modsatte resultat. Og ja,
jeg finder det så ikke værd at prøve X48, der emulerer en HP40. Den
kører nemlig omvendt polsk .

Men i bund og grund er det jo et spørgsmål om den nærmere definition af
operatorhierarkiet.
--
Cand.scient. Per Erik Rønne
Frederikssundsvej 308B, 3. tv.
DK-2700 Brønshøj
Tlf + fax 38 89 00 16, mobil 28 23 09 92

---

Per Rønne wrote:

> powerOne Graph 1.0 [til Palm: www.infinitysw.com]:
> 0 - 2^2 = -4
> -2^2 = 4

Men deres version 3.0.4 giver
-2^2 = 4
Hvor - er et fortegnsminus.

De har en ret imponerende demonstrationsversion
for Windows-brugere på siden

http://www.infinitysw.com/products/poweronegraph/poweronegraph_features.html?genDemo=GEN3

Man skal så trykke på "Online Demo".

Programmet ser meget indbydende ud.
Virker det også godt i praksis?

--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard <usenet@soegaard.net> wrote:

> Per Rønne wrote:

> > powerOne Graph 1.0 [til Palm: www.infinitysw.com]:
> > 0 - 2^2 = -4
> > -2^2 = 4

> Men deres version 3.0.4 giver
> -2^2 = 4
> Hvor - er et fortegnsminus.

Det samme som i mit eksempel. Men jeg indtastede bare et '-' efterfulgt
af et '2'. Etc.

> De har en ret imponerende demonstrationsversion
> for Windows-brugere på siden

http://www.infinitysw.com/products/poweronegraph/poweronegraph_features.
html?genDemo=GEN3

> Man skal så trykke på "Online Demo".

> Programmet ser meget indbydende ud.
> Virker det også godt i praksis?

Tja, jeg bruger det mere eller mindre dagligt, men altså i 1.0
versionen. Jeg ved ikke engang hvad der er kommet med ekstra.

Den indbyggede kalkulator til Palm er lige så ubrugelig som den til
MadOS. De hævder begge at 2 + 2*2 = 8 ...
--
Cand.scient. Per Erik Rønne
Frederikssundsvej 308B, 3. tv.
DK-2700 Brønshøj
Tlf + fax 38 89 00 16, mobil 28 23 09 92

---

Per Rønne wrote:
> Jens Axel Søgaard <usenet@soegaard.net> wrote:
>
>> Per Rønne wrote:
>
>>> powerOne Graph 1.0 [til Palm: www.infinitysw.com]:
>>> 0 - 2^2 = -4
>>> -2^2 = 4
>
>> Men deres version 3.0.4 giver
>> -2^2 = 4
>> Hvor - er et fortegnsminus.

Hov. Det gik helt galt. Jeg mente

-2^2 = -4

Pointen skulle have været, at de havde rettet fejlen.

> Tja, jeg bruger det mere eller mindre dagligt, men altså i 1.0
> versionen. Jeg ved ikke engang hvad der er kommet med ekstra.
>
> Den indbyggede kalkulator til Palm er lige så ubrugelig som den til
> MadOS. De hævder begge at 2 + 2*2 = 8 ...

Yikes.

--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard <usenet@soegaard.net> wrote:

> Per Rønne wrote:

> > Tja, jeg bruger det mere eller mindre dagligt, men altså i 1.0
> > versionen. Jeg ved ikke engang hvad der er kommet med ekstra.

> > Den indbyggede kalkulator til Palm er lige så ubrugelig som den til
> > MadOS. De hævder begge at 2 + 2*2 = 8 ...

> Yikes.

The NEW OXFORD Dictionary
of ENGLISH

yikes exclamation informal expressing shock and alarm, often for
humorous effect: I had a dip in the 40 degree pool (yikes!).
ORIGIN 1970s: of unknown origin; compare with yoicks.

--
Cand.scient. Per Erik Rønne
Frederikssundsvej 308B, 3. tv.
DK-2700 Brønshøj
Tlf + fax 38 89 00 16, mobil 28 23 09 92

---

Per Rønne wrote:
> Jens Axel Søgaard <usenet@soegaard.net> wrote:
>
>> Per Rønne wrote:
>
>>> powerOne Graph 1.0 [til Palm: www.infinitysw.com]:
>>> 0 - 2^2 = -4
>>> -2^2 = 4
>
>> Men deres version 3.0.4 giver
>> -2^2 = 4
>> Hvor - er et fortegnsminus.

Hov. Det gik helt galt. Jeg mente

-2^2 = -4

Pointen skulle have været, at de havde rettet fejlen.

> Tja, jeg bruger det mere eller mindre dagligt, men altså i 1.0
> versionen. Jeg ved ikke engang hvad der er kommet med ekstra.
>
> Den indbyggede kalkulator til Palm er lige så ubrugelig som den til
> MadOS. De hævder begge at 2 + 2*2 = 8 ...

Yikes.

--
Jens Axel Søgaard

---

Peter Makholm <peter@makholm.net> writes:

> Simon Kamber <simon_kamber@hot<<<REMOVE>>>mail.com> writes:
>
>> så 0-2^2 er altså også 4? Eftersom 0 jo ikke burde gøre den store
>> forskel.
>
> Nej, du gør også den fejl at insisterer på at den eneste mulige
> fortolkning af -2 er at der er et underforstået 0. At opfatte -2 som
> en atomar enhed er også en indlysende mulighed.

Hvordan kan det være en indlysende mulighed, når det ødelægger
muligheden for at løse noget så simpelt som andengradsligninger korrekt?

Den rigtige løsning på ligningen:

-x² - 2x - 1 = 0

er naturligvis -1.

Hvis du fortolker -x² som (-x)² får du de forkerte løsninger

x = 1 ± sqrt(2).

Jeg forstår ikke, hvordan du overhovdet kan anse en fortolkning, der
ændrer løsninger på andengradsligninger for en mulighed som er værd at
overveje.

---

Jesper Harder <harder@myrealbox.com> writes:

> Peter Makholm <peter@makholm.net> writes:

> > Nej, du gør også den fejl at insisterer på at den eneste mulige
> > fortolkning af -2 er at der er et underforstået 0. At opfatte -2 som
> > en atomar enhed er også en indlysende mulighed.

> Hvordan kan det være en indlysende mulighed, når det ødelægger
> muligheden for at løse noget så simpelt som andengradsligninger korrekt?

Det ødelægger intet som helst, som du selv demonstrerer.

> Den rigtige løsning på ligningen:
>
> -x² - 2x - 1 = 0
>
> er naturligvis -1.

Hvorfor er det "naturligvis"? Altså ud over at det er det du er vant
til at læse det som.

> Hvis du fortolker -x² som (-x)² får du de forkerte løsninger
>
> x = 1 ± sqrt(2).

Hvorfor er de forkerte. Det er da korrekte løsninger af
(-x)^2 - 2x - 1 = 0
så *hvis* man læser -x^2 som (-x)^2, og ikke som -(x^2), *så* er
løsningerne rigtige, ikke forkerte.

> Jeg forstår ikke, hvordan du overhovdet kan anse en fortolkning, der
> ændrer løsninger på andengradsligninger for en mulighed som er værd at
> overveje.

Der er ikke nogen der "ændrer løsninger på en andengradsligning". Hvis
der er noget, så er der diskussion om *hvilken* andengradsligning det
var til at begynde med.

Jeg er enig i at din fortolkning er det mest udbredte, og derfor de
facto er den "rigtige", men jeg benægter at den grundlæggende er mere
indlysende, naturligt eller værd at overveje end den anden
fortolkning.

/L 'pådutteord gør folk negative'
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

Lasse Reichstein Nielsen <lrn@hotpop.com> writes:

> Jesper Harder <harder@myrealbox.com> writes:
>
>> Den rigtige løsning på ligningen:
>>
>> -x² - 2x - 1 = 0
>>
>> er naturligvis -1.
>
> Hvorfor er det "naturligvis"? Altså ud over at det er det du er vant
> til at læse det som.

Nej, at det er den fortolkning man i matematik har brugt i hundredevis
af år. Så, ja det er den måde jeg er vant til, men også den måde alle
andre som har lært matematik vil læse den på. Hvis du bruger en anden
fortolkning, kommunikerer vi ikke længere på samme sprog.

> Jeg er enig i at din fortolkning er det mest udbredte, og derfor de
> facto er den "rigtige", men jeg benægter at den grundlæggende er mere
> indlysende, naturligt eller værd at overveje end den anden
> fortolkning.

"de facto" er en forkert karakteristik. Det er den måde matematiske
udtryk *skal* læses på. Hvis man ændrer prioriteten af '-' udtrykker
man sig ikke længere på "matematisk".

Man bruger altså et andet sprog som ligner matematik, men ikke har den
samme betydning.

Prioriteten af '-' er lige så lidt de facto, som konventionen om at
symbolet '2' er efterfølgertallet til tallet med symbolet '1'.

---

Jesper Harder wrote:
> Hvis man ændrer prioriteten af '-' udtrykker man sig ikke længere på "matematisk".
>
> Man bruger altså et andet sprog som ligner matematik, men ikke har den
> samme betydning.

Bør man ikke skelne mellem matematik som en abstrakt størrelse og
så sproget/notationen, med hvilken vi beskriver matematik?

Altså sådan at man udmærket kan beskrive den sædvanlige matematik
uden nødvendigvis at bruge det sædvanlige sprog (som du kalder
"matematisk").

Jeg tager måske fejl, men jeg har da altid opfattet
operatorprioriteter som en del af den arbitrære notation, ikke som
en del af selve matematikken (aksiomerne).


(I øvrigt kunne jeg aldrig finde på at fortolke -2^2 som andet end
-(2^2).)

--
Jonas Møller Larsen

---

Scripsit Jonas Møller Larsen <jml@phys.au.dk>

> Bør man ikke skelne mellem matematik som en abstrakt størrelse og
> så sproget/notationen, med hvilken vi beskriver matematik?

Jo, men det er Jesper øjensynlig ude af stand til.

> Jeg tager måske fejl, men jeg har da altid opfattet
> operatorprioriteter som en del af den arbitrære notation, ikke som
> en del af selve matematikken (aksiomerne).

Netop.

--
Henning Makholm "Lucy giver mig en smule af sin
vandration. Hun siger, piger ikke bliver så
tørstige som drenge. Jeg har tit selv tænkt dette,
men det burde være noget søfolk blev bedre orienteret om."

---

Jonas Møller Larsen <jml@phys.au.dk> writes:

> Jesper Harder wrote:
>> Hvis man ændrer prioriteten af '-' udtrykker man sig ikke længere på
>> "matematisk".
>>
>> Man bruger altså et andet sprog som ligner matematik, men ikke har
>> den samme betydning.
>
> Bør man ikke skelne mellem matematik som en abstrakt størrelse og så
> sproget/notationen, med hvilken vi beskriver matematik?

Det kommer an på hvilken matematikfilosofisk retning man hælder til.

Formalister (som Hilbert og Curry) vil hævde, at matematik ikke er andet
end fastlagte regler for at manipulere med tegn på et stykke papir.
Symbolerne er blot blækklatter, som ikke står for noget abstrakt eller
virkeligt begreb.

> Jeg tager måske fejl, men jeg har da altid opfattet
> operatorprioriteter som en del af den arbitrære notation, ikke som en
> del af selve matematikken (aksiomerne).

Aksiomerne er vel også nødt til at definere, hvordan notationen
anvendes. Jeg tror ikke jeg har set nogen, som går så pedantisk til
værks, at man eksplicit definerer prioriteten for '-', ')' osv.

Men hvis man vil være fuldstændig stringent er man også nødt til det --
Principia Mathematica gør formodentligt.

---

Jesper Harder <harder@myrealbox.com> wrote:

> Jeg tror ikke jeg har set nogen, som går så pedantisk til
> værks, at man eksplicit definerer prioriteten for '-', ')' osv.
>
> Men hvis man vil være fuldstændig stringent er man også nødt til det --
> Principia Mathematica gør formodentligt.

Det er man faktisk nødt til at gøre når man definerer en
programmeringssprog ...
--
Cand.scient. Per Erik Rønne
Frederikssundsvej 308B, 3. tv.
DK-2700 Brønshøj
Tlf + fax 38 89 00 16, mobil 28 23 09 92

---

Jesper Harder <harder@myrealbox.com> writes:

> "de facto" er en forkert karakteristik. Det er den måde matematiske
> udtryk *skal* læses på. Hvis man ændrer prioriteten af '-' udtrykker
> man sig ikke længere på "matematisk".

Du kan med samme argumentation påstå at man ikke kan lave matematik i
base 8.

--
Peter Makholm | One thing you do is prevent good software from
peter@makholm.net | being written. Who can afford to do professional
http://hacking.dk | work for nothing?
| -- Bill Gates

---

Peter Makholm <peter@makholm.net> wrote:

> Jesper Harder <harder@myrealbox.com> writes:

> > "de facto" er en forkert karakteristik. Det er den måde matematiske
> > udtryk *skal* læses på. Hvis man ændrer prioriteten af '-' udtrykker
> > man sig ikke længere på "matematisk".

> Du kan med samme argumentation påstå at man ikke kan lave matematik i
> base 8.

Eller for den sags skyld at postfix [omvendt polsk] notation er
»umatematisk«.
--
Cand.scient. Per Erik Rønne
Frederikssundsvej 308B, 3. tv.
DK-2700 Brønshøj
Tlf + fax 38 89 00 16, mobil 28 23 09 92

---

Jesper Harder wrote:
>
> Peter Makholm <peter@makholm.net> writes:
>
> > Simon Kamber <simon_kamber@hot<<<REMOVE>>>mail.com> writes:
> >
> >> så 0-2^2 er altså også 4? Eftersom 0 jo ikke burde gøre den store
> >> forskel.
> >
> > Nej, du gør også den fejl at insisterer på at den eneste mulige
> > fortolkning af -2 er at der er et underforstået 0. At opfatte -2 som
> > en atomar enhed er også en indlysende mulighed.
>
> Hvordan kan det være en indlysende mulighed, når det ødelægger
> muligheden for at løse noget så simpelt som andengradsligninger korrekt?
>
> Den rigtige løsning på ligningen:
>
> -x² - 2x - 1 = 0
>
> er naturligvis -1.
>
> Hvis du fortolker -x² som (-x)² får du de forkerte løsninger
>
> x = 1 ± sqrt(2).
>
> Jeg forstår ikke, hvordan du overhovdet kan anse en fortolkning, der
> ændrer løsninger på andengradsligninger for en mulighed som er værd at
> overveje.

Fordi i tilfældet -2 er der to mulige fortolkninger: (a) et total med en
foranstillet unær operator (b) et minustotal, altså et atomart symbol. I
tilfældet -x er der (konventionelt) ikke denne skelnen, idet x
utvetydigt er det atomare symbol.

Jeg synes stadig bedre om forklaringen

-2^2=0-2^2

Om man vil kan den ændres lidt til

1-2^2 = -2^2 + 1

Forklaringen er i virkeligheden: det er det, der giver de færreste
forståelsesproblemer i det lange løb. It work's mate!

--
Kristian Damm Jensen | Feed the hungry at www.thehungersite.com
kristian-damm.jensen@cgey.com | Two wrongs doesn't make a right,
ICQ# 146728724 | but three lefts do.

---

Kristian Damm Jensen <kristian-damm.jensenRE@MOVEcgey.com> writes:

> Jeg synes stadig bedre om forklaringen
>
> -2^2=0-2^2

Så kan jeg bedre lide
-2^2 = (-1)*2^2
men det er helt klart et smagsspørgsmål.

I begge tilfælde er det et forsøg på at definere unært minus ud fra
andre operationer (og mit eksempel er endda en cirkulær definition,
så det er ikke der kvaliteten ligger :)). Jeg foretrækker at se
unært minus som den basale operation og subtraktion som den afledede.
a-b := a+(-b)

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

Peter Makholm <peter@makholm.net> writes:

> Jesper Harder <harder@myrealbox.com> writes:
>
>> "de facto" er en forkert karakteristik. Det er den måde matematiske
>> udtryk *skal* læses på. Hvis man ændrer prioriteten af '-' udtrykker
>> man sig ikke længere på "matematisk".
>
> Du kan med samme argumentation påstå at man ikke kan lave matematik i
> base 8.

Jeg påstår ikke at man ikke *kan*. Alle matematiske symboler er
arbitrære, så man selvfølgelig omdefinere dem så

2 + 2 = 5 eller -2² = 4

Hvis man først har konstateret at den nye definition kan gøres
konsistent, er det hamrende uinteressant at snakke om alle de uendeligt
mange måder man i teorien kunne ændre matematisk notation. Hvad er
pointen?

Det svarer lidt til at hvis nogen spørger om

2 + 2 = 5,

at man så svarer at det kommer sandelig an på fortolkningen af '2', '+',
'=' og '5'. Svaret er selvfølgelig helt korrekt, men ret irrelevant.
Det eneste som har betydning er hvordan symbolerne bruges i standard
matematisk notation.

---

Jesper Harder wrote:
>
> Det svarer lidt til at hvis nogen spørger om
>
> 2 + 2 = 5,
>
> at man så svarer at det kommer sandelig an på fortolkningen af '2', '+',
> '=' og '5'.

Er det (2+2=5) ikke Newtons anden lov, bare udtrykt med en anden
notation?

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

> Og Mathematica er vist enig:

Og Maple melder fejl. Sympatisk.

--
"Dinsdale?"

---

Hej.

> Jeg siger ikke at der er noget rigtigt svar, men jeg vil bare gerne høre
> Jeres argumenter for, hvad -2^2 er! Giver det 4 eller -4???

En eventuel uenighed herom må bunde i, hvorvidt man betragter symbolet -2
som "atomart" eller ej.

Lad mig prøve at forklare...

Ifølge aksiomerne for en ring R (hvis du ikke ved hvad det er, så tænk på
det som mængden af de hele tal), skal denne for ethvert element r indeholde
en additiv invers, altså et andet element således at r+x=0, hvor x betegner
dette inverse element. For et givet r er denne invers entydigt bestemt, og
man betegner den derfor ofte -r for at understrege relationen til r. Så
langt, så godt...

Nu er der så (tilsyneladende) to muligheder:

1) Man betragter symbolet/udtrykket "-r" som bestående af to ting, elementet
r og en funktion/operator -: R -> R, der til ethvert r knytter dets inverse.
Så har man nogle konventioner mht. til rækkefølge når man evaluerer
(beregner) den slags udtryk, f.eks. skal man kvadrere inden man finder det
inverse element, dvs. man får -4 i dit eksempel. Dette er den normale måde
at gøre tingene på, og hvis jeg kun havde haft tid til at give dig et kort
svar, havde jeg skrevet det.

2) Man betragter "-r" som symbolet der betegner den inverse til r, og "-r"
er i dette tilfælde udeleligt eller atomart, hvorfor man slet ikke kan
kvadrere først. Det må sådan, dem der hævder at -2^2 = 4 tænker. Dette er
dog IKKE normalt.


Altså svaret er at -2^2 = -4 pr. konvention.

Håber det hjælper lidt.

-mb

---

Tak for svaret Martin Bundgaard. SÅ blev vi det klogere :)

--
Leveret af:
http://www.kandu.dk/
"Vejen til en hurtig løsning"

---

Suk...

Hvis I ikke bliver enige om operator precendens, så bliver I jo aldrig
enige om resultatet.

binder unært minus stærkere end potens-operatoren er resultatet 4
gør den ikke er resultatet 4.

I skændes om et ikke-eksisterende problem.

Peter

---

> I skændes om et ikke-eksisterende problem.

Præcis.

-mb

---

Martin Bundgaard wrote:
>>I skændes om et ikke-eksisterende problem.
>
>
> Præcis.

Glad for at du fangende budskabet selvom jeg glemte et fortegn :)

---

Peter Mogensen wrote:
>
> Suk...
>
> Hvis I ikke bliver enige om operator precendens, så bliver I jo aldrig
> enige om resultatet.

Suk.

De *er* enige om operatorprecedens. Der ingen diskussion om
fortolkningen af -x^2.

Spørgsmålet som nu diskutteres er, om "-" er en operator, eller en del
af symbolet "-2". So Mortens artikel, hvor han ændrer notationen for
angivelse af negative kontanter til, så det modsatte tal af 2 bliver
"#2" for en uddybning.


--
Kristian Damm Jensen | Feed the hungry at www.thehungersite.com
kristian-damm.jensen@cgey.com | Two wrongs doesn't make a right,
ICQ# 146728724 | but three lefts do.

---

ostemanden <ostemanden.news@kandu.dk> wrote:

> Jeg siger ikke at der er noget rigtigt svar, men jeg vil bare gerne høre
> Jeres argumenter for, hvad -2^2 er! Giver det 4 eller -4???

Og jeg opdager netop at den indbyggede kalkulator i Emacs 21.3.50 siger
at -2^2 = 4 .
--
Cand.scient. Per Erik Rønne
Frederikssundsvej 308B, 3. tv.
DK-2700 Brønshøj
Tlf + fax 38 89 00 16, mobil 28 23 09 92

---

"Per Rønne" <per.ronne@invalid.dk> skrev i en meddelelse
news:1fmh75r.17c9khi1vktbkmN%per.ronne@invalid.dk...
> ostemanden <ostemanden.news@kandu.dk> wrote:
>
> > Jeg siger ikke at der er noget rigtigt svar, men jeg vil bare gerne høre
> > Jeres argumenter for, hvad -2^2 er! Giver det 4 eller -4???
>
> Og jeg opdager netop at den indbyggede kalkulator i Emacs 21.3.50 siger
> at -2^2 = 4 .

Og jeg lærte i skolen (godtnok mere end 30 år siden) at potensopløftning og
multiplikation og division har højere prioritet i regneudtryk end addition
og subtraktion. Så ifølge min børnelærdom er -2^2 = -(2^2) = -4. Ellers
skulle der stå (-2)^2 = -2 x -2 = 4.

Ja, jeg går ind for styrkelse af matematikundervisningen i folkeskolen og
gymnasiet!


--
Med venlig hilsen

Poul Evald


-------------------------------------------------

Poul Evald Hansen
Galgebakken Vester 9-2 A
Dk-2620 Albertslund
Tlf. 045 43623243 / Mobil: 26921364

Email: pevh@vip.cybercity.dk /
poulevaldhansen@hotmail.com


Hjemmeside: http://www.danbbs.dk/~gro_poul/index.htm

Såkaldt fri og ureguleret markedsøkonomi forholder sig til natur og miljø
som en boksehandske til et blåt øje.

So-called unbounded and unregulated market economy has the same position to
Nature and Environment as a boxing glove to a black eye.

---

Scripsit "Poul Evald Hansen" <cft6753@vip.cybercity.dk>

> Og jeg lærte i skolen (godtnok mere end 30 år siden) at potensopløftning og
> multiplikation og division har højere prioritet i regneudtryk end addition
> og subtraktion.

Suk. Prøv at læse tilbage i tråden. Det her har vi været igennem MANGE
gange efter hånden. Usikkerheden drejer sig om hvorvidt minustegnet er
en "subtraktion" eller en del af en talkonstant.

> --

Snip 26 linjers signatur. Det er for meget. Det ville klæde dig at få
det skåret ned til de anbefalede 4.

--
Henning Makholm "Jeg har tydeligt gjort opmærksom på, at man ved at
følge den vej kun bliver gennemsnitligt ca. 48 år gammel,
og at man sætter sin sociale situation ganske overstyr og, så
vidt jeg kan overskue, dør i dybeste ulykkelighed og elendighed."

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> wrote:

> Snip 26 linjers signatur. Det er for meget. Det ville klæde dig at få
> det skåret ned til de anbefalede 4.

Når vi nu er ved det, så er standarden også at signaturen startes med en
linie der kun indeholder tegnene '-- ', altså to minus-tegn efterfulgt
af et mellemrum. Det er ekstra tydeligt i MacSOUP hvor signaturen dels
fremstår på en anden måde end selve artiklen, dels ikke tages med hvis
man vil svare på artiklen.

Og for en god ordens skyld: Der er intet galt i Hennings signatur. Men i
Poul Evald Hansens. Startlinien indgår i øvrigt ikke i de anbefalede
fire signatur-linier.
--
Cand.scient. Per Erik Rønne
Frederikssundsvej 308B, 3. tv.
DK-2700 Brønshøj
Tlf + fax 38 89 00 16, mobil 28 23 09 92

---

"Per Rønne" <per.ronne@invalid.dk> skrev i en meddelelse
news:1fmhviy.17hkrfg17z8idcN%per.ronne@invalid.dk...
> Henning Makholm <henning@makholm.net> wrote:
>
> > Snip 26 linjers signatur. Det er for meget. Det ville klæde dig at få
> > det skåret ned til de anbefalede 4.
>
> Når vi nu er ved det, så er standarden også at signaturen startes med en
> linie der kun indeholder tegnene '-- ', altså to minus-tegn efterfulgt
> af et mellemrum. Det er ekstra tydeligt i MacSOUP hvor signaturen dels
> fremstår på en anden måde end selve artiklen, dels ikke tages med hvis
> man vil svare på artiklen.
>
> Og for en god ordens skyld: Der er intet galt i Hennings signatur. Men i
> Poul Evald Hansens. Startlinien indgår i øvrigt ikke i de anbefalede
> fire signatur-linier.

Dette er i sandhed off topic. Men hatten af for alle formalister og
"proceduredemokrater" der kan minde os om alle de snurrige regelsæt.

M.v.h.

Poul Evald

---

Poul Evald Hansen <cft6753@vip.cybercity.dk> wrote:

> Dette er i sandhed off topic. Men hatten af for alle formalister og
> "proceduredemokrater" der kan minde os om alle de snurrige regelsæt.

Disse formalia er nu til for at gøre livet lettere for os
usenet-brugere.
--
Cand.scient. Per Erik Rønne
Frederikssundsvej 308B, 3. tv.
DK-2700 Brønshøj
Tlf + fax 38 89 00 16, mobil 28 23 09 92

---

Poul Evald Hansen wrote:
> "Per Rønne" <per.ronne@invalid.dk> skrev i en meddelelse
>>Når vi nu er ved det, så er standarden også at signaturen startes med en
>>linie der kun indeholder tegnene '-- ', altså to minus-tegn efterfulgt
>>af et mellemrum.

> Dette er i sandhed off topic. Men hatten af for alle formalister og
> "proceduredemokrater" der kan minde os om alle de snurrige regelsæt.

Jeg tænker på det som en service overfor læserne af mine indlæg.

Når signaturen begynder med "-- ", så kan nyhedslæseren skelne mellem
indlæg og signatur. De som ikke ønsker at læse folks signaturer kan
derfor fortælle deres nyhedlæser, at den ikke skal vises.

I den nyhedslæser, jeg bruger nu farves signaturen grå, så øjet
hurtigere fanger det væsentlige - altså teksten i selve indglægget som
står med sort.

---

Jens Axel Søgaard <usenet@jasoegaard.dk> wrote:

> I den nyhedslæser, jeg bruger nu farves signaturen grå, så øjet
> hurtigere fanger det væsentlige - altså teksten i selve indglægget som
> står med sort.

Det samme sker i MacSOUP. Som i øvrigt også ved svar til hele artiklen
netop ikke tager signaturen med.
--
Cand.scient. Per Erik Rønne
Frederikssundsvej 308B, 3. tv.
DK-2700 Brønshøj
Tlf + fax 38 89 00 16, mobil 28 23 09 92

---

"Poul Evald Hansen" <cft6753@vip.cybercity.dk> skrev i en meddelelse
news:asb2j5$v0o$1@news.cybercity.dk...

> Ja, jeg går ind for styrkelse af matematikundervisningen i folkeskolen og
> gymnasiet!

Ok, hvad syntes du der bør styrkes ved matematik undervisningen i gymnasiet?

--
Mvh
Anders Lund
AndersGED@zaim.dk
fjern geden fra min email adresse

---

> Og jeg opdager netop at den indbyggede kalkulator i Emacs 21.3.50 siger
> at -2^2 = 4 .

Ja - for potenser ganger jo "roden" med sig selv =
-2*-2, og det er som enhver ved: 4.

// Troels

---

"Anders Lund" <anders@zaim.dk> writes:

> Ok, hvad syntes du der bør styrkes ved matematik undervisningen i
> gymnasiet?

Der er for lidt operatoralgebra og målteori.

--
"That's where I saw the leprechaun! He told me to burn things."

---

per.ronne@invalid.dk (Per Rønne) writes:

> Og jeg opdager netop at den indbyggede kalkulator i Emacs 21.3.50 siger
> at -2^2 = 4 .

Fint nok.
Hvis du havde læst tråden den 24/10 havde du opdaget det før.
http://groups.google.com/groups?q=author:elmegaard+calculator&hl=en&lr=&ie=UTF-8&oe=UTF-8&selm=wklm4oywiz.fsf%40mail.afm.dtu.dk&rnum=3


Brian

---

In article <uu1hwsxv7.fsf@mail402.mek.dtu.dk>, brian@rk-speed.rugby.dk
says...
> Fint nok.
> Hvis du havde læst tråden den 24/10 havde du opdaget det før.
> http://groups.google.com/groups?q=author:elmegaard+calculator&hl=en&lr=&ie=UTF-8&oe=UTF-8&selm=wklm4oywiz.fsf%40mail.afm.dtu.dk&rnum=3

Og i en kortere, brugbar udgave ???


--
Med venlig hilsen/best regards
Jesper G. Poulsen

---

Jesper G. Poulsen <ms2mogens@ingensteder.dk> writes:

> In article <uu1hwsxv7.fsf@mail402.mek.dtu.dk>, brian@rk-speed.rugby.dk
> says...
> > http://groups.google.com/groups?q=author:elmegaard+calculator&hl=en&lr=&ie=UTF-8&oe=UTF-8&selm=wklm4oywiz.fsf%40mail.afm.dtu.dk&rnum=3
>
> Og i en kortere, brugbar udgave ???

Den virker fint for mig, så det er ikke Brians indlæg der ikke er
brugbart, men måske din klient.

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

Brian Elmegaard <brian@rk-speed.rugby.dk> wrote:

> per.ronne@invalid.dk (Per Rønne) writes:
>
> > Og jeg opdager netop at den indbyggede kalkulator i Emacs 21.3.50 siger
> > at -2^2 = 4 .
>
> Fint nok.
> Hvis du havde læst tråden den 24/10 havde du opdaget det før.

Jeg fulgte faktisk med i tråden, da den var højaktuel. Jeg browsede dog
ikke igennem hele tråden efter at have opdaget Emacs-fejlen ...
--
Cand.scient. Per Erik Rønne
Frederikssundsvej 308B, 3. tv.
DK-2700 Brønshøj
Tlf + fax 38 89 00 16, mobil 28 23 09 92

---

per.ronne@invalid.dk (Per Rønne) writes:

> Jeg fulgte faktisk med i tråden, da den var højaktuel. Jeg browsede dog
> ikke igennem hele tråden efter at have opdaget Emacs-fejlen ...

Men er det en fejl, efter calculators in/pre/postfix-principper?

Brian

---

Brian Elmegaard <brian@rk-speed.rugby.dk> wrote:

> per.ronne@invalid.dk (Per Rønne) writes:
>
> > Jeg fulgte faktisk med i tråden, da den var højaktuel. Jeg browsede dog
> > ikke igennem hele tråden efter at have opdaget Emacs-fejlen ...
>
> Men er det en fejl, efter calculators in/pre/postfix-principper?

Ja, efter de almindelige algebraiske normer skal udtrykket jo læses som
-(2^2), hvilket jo giver -4.
--
Cand.scient. Per Erik Rønne
Frederikssundsvej 308B, 3. tv.
DK-2700 Brønshøj
Tlf + fax 38 89 00 16, mobil 28 23 09 92

---

"Per Rønne" <per.ronne@invalid.dk> skrev i en meddelelse news:1fmmfma.151dzvdmsv8abN%per.ronne@invalid.dk...
>
> Ja, efter de almindelige algebraiske normer skal udtrykket jo læses som
> -(2^2), hvilket jo giver -4.

Hvem har fastlagt den norm?

Mvh
Martin

---

Martin Larsen <mlarsen@post7.tele.dk> wrote:

> "Per Rønne" <per.ronne@invalid.dk> skrev i en meddelelse
> news:1fmmfma.151dzvdmsv8abN%per.ronne@invalid.dk...

> > Ja, efter de almindelige algebraiske normer skal udtrykket jo læses som
> > -(2^2), hvilket jo giver -4.

> Hvem har fastlagt den norm?

Det er der international konsensus om blandt matematikere. Hvis du i
øvrigt læste i tråden, ville du kunne se en masse mere om det.
--
Cand.scient. Per Erik Rønne
Frederikssundsvej 308B, 3. tv.
DK-2700 Brønshøj
Tlf + fax 38 89 00 16, mobil 28 23 09 92

---

Martin Larsen wrote:
>
> > Ja, efter de almindelige algebraiske normer skal udtrykket jo læses som
> > -(2^2), hvilket jo giver -4.
>
> Hvem har fastlagt den norm?

Useriøst: Det har vel L. Euler, det er jo ham der har fastlagt næsten
al moderne notation.

For resten har jeg lige tænkt over at arealet af en trekant med siderne
a, b og c er givet ved

T = ¼ sqrt[-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2a^2c^2 +2b^2c^2]

(En version af Herons formel.)
Og så må I selv gætte hvor alle de implicitte parenteser står.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)