"Anders Gorst-Rasmussen" <agorst@mail1.stofanet.dk> wrote in message
news:3d96fadb$0$1021$ba624c82@nntp04.dk.telia.net...
> Et lille, rent teoretisk spørgsmål om eksistens og entydighed for
ordinære
> differentialligninger
> Betragt det generelle begyndelsesværdiproblem:
>
> x'=X(t,x)
> x(t_0)=x_0,
>
> hvor X: U->R^n er et vektorfelt defineret på en åben mængde U
\subseteq R x
> R^n o.s.v.
>
> Eksistens af løsninger kan vises uden nogle yderligere antagelser
for X
> udover kontinuitet (Peanos eksistenssætning).
> Hvad angår entydighed, kan vi naturligvis antage, at X er lokalt
Lipschitz,
> hvoraf resultatet følger nogenlunde ubesværet.
> Opfyldelse af lokal Lipschitzbetingelse er altså en tilstrækkelig
> betingelse - men er den også nødvendig?
Det er godt spørgsmål.
> Sagt på en anden måde, findes der mere "lempelige" krav, der stadig
sikrer
> entydigheden for det generelle problem (kontinuitet er naturligvis
ikke
> tilstrækkeligt).
Mit umiddelbare gæt er ja. Ordvalget i
http://www.math.byu.edu/~grant/courses/m634/f99/mega.pdf
underbygger denne antagelse. [Foredrag 3]
Hvis f antages at være mere end kontinuert, er det muligt at
finde en entydig løsning. I særdeleshed er Lipschitz-kontinuitet
af
f(t,-) tilstrækkeligt.
Det gode ved Lipschitz-kriteriet er, at det er nemt at arbejde med.
Jeg begyndte med at kigge i Hirsch and Smale, men kunne umiddelbart
ikke finde et svar.
Denne nedenstående note besvarer ikke dit spørgsmål, men var ikke
desto mindre
interessant. Forfatteren motiverer, hvorfor beviset ser ud som det
gør.
http://web.mit.edu/18.03-esg/www/cwss02/notes/F00/1exu.pdf
--
Jens Axel Søgaard