/ Forside / Karriere / Uddannelse / Højere uddannelser / Nyhedsindlæg
Login
Glemt dit kodeord?
Brugernavn

Kodeord


Reklame
Top 10 brugere
Højere uddannelser
#NavnPoint
Nordsted1 1588
erling_l 1224
ans 1150
dova 895
gert_h 800
molokyle 661
berpox 610
creamygirl 610
3773 570
10  jomfruane 570
Nødvendige betingelser for entydighed
Fra : Anders Gorst-Rasmuss~


Dato : 29-09-02 14:07

Et lille, rent teoretisk spørgsmål om eksistens og entydighed for ordinære
differentialligninger
Betragt det generelle begyndelsesværdiproblem:

x'=X(t,x)
x(t_0)=x_0,

hvor X: U->R^n er et vektorfelt defineret på en åben mængde U \subseteq R x
R^n o.s.v.

Eksistens af løsninger kan vises uden nogle yderligere antagelser for X
udover kontinuitet (Peanos eksistenssætning).
Hvad angår entydighed, kan vi naturligvis antage, at X er lokalt Lipschitz,
hvoraf resultatet følger nogenlunde ubesværet.
Opfyldelse af lokal Lipschitzbetingelse er altså en tilstrækkelig
betingelse - men er den også nødvendig?
Sagt på en anden måde, findes der mere "lempelige" krav, der stadig sikrer
entydigheden for det generelle problem (kontinuitet er naturligvis ikke
tilstrækkeligt).

vh,

Anders Gorst-Rasmussen.





 
 
Jens Axel Søgaard (29-09-2002)
Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard


Dato : 29-09-02 15:48


"Anders Gorst-Rasmussen" <agorst@mail1.stofanet.dk> wrote in message
news:3d96fadb$0$1021$ba624c82@nntp04.dk.telia.net...
> Et lille, rent teoretisk spørgsmål om eksistens og entydighed for
ordinære
> differentialligninger
> Betragt det generelle begyndelsesværdiproblem:
>
> x'=X(t,x)
> x(t_0)=x_0,
>
> hvor X: U->R^n er et vektorfelt defineret på en åben mængde U
\subseteq R x
> R^n o.s.v.
>
> Eksistens af løsninger kan vises uden nogle yderligere antagelser
for X
> udover kontinuitet (Peanos eksistenssætning).
> Hvad angår entydighed, kan vi naturligvis antage, at X er lokalt
Lipschitz,
> hvoraf resultatet følger nogenlunde ubesværet.
> Opfyldelse af lokal Lipschitzbetingelse er altså en tilstrækkelig
> betingelse - men er den også nødvendig?

Det er godt spørgsmål.

> Sagt på en anden måde, findes der mere "lempelige" krav, der stadig
sikrer
> entydigheden for det generelle problem (kontinuitet er naturligvis
ikke
> tilstrækkeligt).

Mit umiddelbare gæt er ja. Ordvalget i

http://www.math.byu.edu/~grant/courses/m634/f99/mega.pdf

underbygger denne antagelse. [Foredrag 3]

Hvis f antages at være mere end kontinuert, er det muligt at
finde en entydig løsning. I særdeleshed er Lipschitz-kontinuitet
af
f(t,-) tilstrækkeligt.

Det gode ved Lipschitz-kriteriet er, at det er nemt at arbejde med.

Jeg begyndte med at kigge i Hirsch and Smale, men kunne umiddelbart
ikke finde et svar.

Denne nedenstående note besvarer ikke dit spørgsmål, men var ikke
desto mindre
interessant. Forfatteren motiverer, hvorfor beviset ser ud som det
gør.

http://web.mit.edu/18.03-esg/www/cwss02/notes/F00/1exu.pdf


--
Jens Axel Søgaard




Anders Gorst-Rasmuss~ (09-10-2002)
Kommentar
Fra : Anders Gorst-Rasmuss~


Dato : 09-10-02 16:02


> Sagt på en anden måde, findes der mere "lempelige" krav, der stadig sikrer
> entydigheden for det generelle problem (kontinuitet er naturligvis ikke
> tilstrækkeligt).

Til min store glæde har jeg ved et rent tilfælde fundet et muligt svar på
spørgsmålet. Det kan ses på følgende adresse:

http://groups.google.com/groups?q=uniqueness+ODE+lipschitz+group:sci.math&hl
=da&lr=&ie=UTF-8&oe=UTF-8&selm=82dm4u%245jd%241%40hades.csu.net&rnum=1

Er der nogen, der kan uddybe på ovenstående?

vh,

Anders Gorst-Rasmussen.




Jens Axel Søgaard (09-10-2002)
Kommentar
Fra : Jens Axel Søgaard


Dato : 09-10-02 16:51

Anders Gorst-Rasmussen wrote:
>> Sagt på en anden måde, findes der mere "lempelige" krav, der stadig
>> sikrer entydigheden for det generelle problem (kontinuitet er
>> naturligvis ikke tilstrækkeligt).
>
> Til min store glæde har jeg ved et rent tilfælde fundet et muligt
> svar på spørgsmålet. Det kan ses på følgende adresse:
>
> http://groups.google.com/groups?q=uniqueness+ODE+lipschitz+group:sci.math&hl
> =da&lr=&ie=UTF-8&oe=UTF-8&selm=82dm4u%245jd%241%40hades.csu.net&rnum=1
>
> Er der nogen, der kan uddybe på ovenstående?

Der mangler desværre henvisninger i ovenstående (velskrevne)
indlæg. En tilsvarende diskussion kan findes her:

http://makeashorterlink.com/?F30022E02

Her henvises til en Zygmund-betingelse, som skulle være
svagere end Lipscitz'.

Kan du ikke finde en monografi om eksistens af løsninger
af ODE'er på biblioteket?

--
Jens Axel Søgaard




Søg
Reklame
Statistik
Spørgsmål : 177552
Tips : 31968
Nyheder : 719565
Indlæg : 6408849
Brugere : 218887

Månedens bedste
Årets bedste
Sidste års bedste