Tue Vestergaard wrote:
> Et halvkugleformet bassin fyldes med en hastighed
> dV/dt=100 liter/min med vand fra en cisterne på 4m*3m*2m.
dV = 100 liter/min * dt tolker jeg som det volumen af
vand der flyder fra cisternen i tidsrummet dt [minutter].
> Spørgsmål C går på at finde hastigheden i cm/min hvormed
> højden stiger i bassinet når cisternen er halv tom, dvs.
> at der er 12 m3 vand i bassinet.
Hvad er volumen af en kugle der er fyldt i højden h?
Har kuglen den radius R så er det
V(h) = integral pi r(z)² dz fra -R til h
fordi en cirkel skive der er dz tyk, så har den i højden z
radius r(z) og derfor overfladen pi r(z)² og derfor er
volumenet dV(z) = pi r(z)² dz
r(z) er radius som funktion af højden z fra bunden (dvs. z går
fra -R til +R). Men fordi den er cirkel formet så gælder
Pyragoras: r(z)²+z² = R² heraf følger det at r(z)=sqrt(R²-z²)
Indsættes r(z) i integralet fås uden nogle problemer
V(h)=2pi/3 R³ [1+ 0.5 x(3-x²)] hvor x=h/R
Dette ser ret korrekt ud fordi det giver det korrekte resultat
for de simple muligheder h=-R,0,+R.
Men det vigtigste er vist at finde dV/dz fordi
det er jo blot integranten dV(z)/dz= pi r(z)² = pi (R²-z²)
Kædereglen dV(z)/dt = dV/dz * dz/dt udtrykker så ændringen
af volumnet, hvor fyldt den er, til hastigheden dz/dt med
hvilken vandstanden stiger.
--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.softwarepatenter.dk where you do not
want to go in the future!