Hej!
Jeg har r1,r2,...,rN samplede værdier som definere en eller
anden kontinuert fordeling P(r). Hmm. giver dette udsagn
nogen som helst mening?
Jeg vil nu gerne udregne dP/dr /P = dlog(P(r))/dr og jeg vil gerne
udregne det uden at bestemme P, men udelukkende baseret på mine
sampled værdier (pga. æstetisk tilfredsstillelse).
Motivationen er at hvis p(r) er en kendt sandsynelighedsfordeling
for afstanden mellem to partikler, så er A=-TS
= -T*kb log(P(r))+konst den fri energi svarende til en Boltzmann
vægt P(r)=Nexp(-A(r)/kbT) og F=-dA/dr er gennemsnitskraften
mellem partiklerne i en statistisk fysisk forstand (A er
potential of mean force).
Jeg er interesseret i at gøre det samme for en polymer, og
der finde gennemsnitskraften mellem monomere i en bestemt
afstand langs polymeren, fordi dette kan bruges til at udregne
elastiske egenskaber. Til laveste orden er fordelingen gaussisk,
og gennemsnitskraften er derfor proportional med afstanden, dvs.
en hooksk fjeder med en fjederkonstant, der afhænger af hvor
langt de to monomere er fra hinanden langs polymerkæden.
Det interessante er netop afvigelserne fra denne opførsel,
som afstanden mellem monomere bliver kort, fordi det giver
de elastiske egenskaber på mikroskopiske skala.
Anyways det er motivationen, problemet er matematisk nogle
ideer hvordan det kan gøres på en "let måde"?
Min idee er ganske forfærdelig besværlig, nemmeligt at udregne
n momenter af fordelingen. Det giver <r^k> k=1,..,n
Når jeg har momenterne så kan en maximum entropi ansatz
bruges til at definere sandsynelighedsfordelingen, der
har formen: P(r)= exp(l[0] + l[1]r + l[2]r² + ..)
hvor l[0],..,l[n] Lagrange multipliers, der bestemmes ved
maksimering af entropien S[P] = integral -kP(r)lnP(r) +
de n constraints, der defineres af de momenter jeg får fra
de samplede værdier.
Det er så let at finde
dlog(P(r))/dr = l1 + 2*l2r +.. + n*l[n]*r^(n-1)
Hvor alle lagrange multipliers er implicitte funktioner
af de samplede momenter. Problemet er at det ikke er let
at finde lagrangemultipliers med denne fremgangsmetode.
Fordelingen P(r) er formodeligt tæt på en gaussisk, så
jeg behøver en 5 momenter for at få afvigelsen med, og
så bliver det en "interessant" integration for at finde
moments. Alternativet er numerisk minimation med
constraints hvilket også lyder som en "interessant" opgave.
Et alternativ kunne være en ekspansion med hermit
polynomier?
Nogle der har en mere praktisk idee?
--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.softwarepatenter.dk where you do not
want to go in the future!