Jeg har efter lang tids søgen nu fundet lektor Jørgen Ole Knudsens
indlæg omkring subtraktionsalgoritmer og divisionsalgoritmer som jeg har
bebudet.
Jeg skriver den ene herunder, men må naturligvis undlade de forskellige
tegninger til artiklerne, da jeg ikke har reel mulighed for at tegne i
en nyhedsgruppe uden videre.
Derfor vælger jeg at forsøge nogle simplere modeller for at man kan få
en idé om, hvad JOK mener.
Hvor jeg bruger egne kommentarer, angives det i firkantet parantes.
"Subtraktion "låne" eller "fylde op"?
Inden en analyse af problemer vedrørende "lånemetoden" kontra
"opfyldningsmetoden" vil jeg først lige redegøre for 3 situationer, vi
beskriver med "a - b".
Situation I
Ole har 7 æbler og spiser 3. Hvor mange har han tilbage?
(mængdetegning af situationen):
[Hele mængden = 7 æbler.
delmængden = 3 æbler
restmængden = 4 æbler]
"Syv minus tre er fire. det vil sige at Ole har fire tilbage.
7 - 3 =
[tegning af en tallinie hvor der befinder sig nogle baglænspile, der går
fra 7 til 4 (og indebærer 3 "hop" - kan ikke illustreres her, men jeg
har antydet det med stjerner.]
<*************** <
[|__|___|___|___|___|___|___|___|_________]
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Situation II
Morten har tre æbler, men skal bruge 7 æbler. Hvor mange æbler har han?
(Igen en mængdetegning, hvor helmængden som før er 7 - delmængden er
tre og restmængden er det, der er tilbage og som illustreres som en tom
mængde med stiplede linier)
Vi skal finde det tal, der lagt til tre giver syv.
3 + _________ = 7
[På en tallinie beskrives situationen (igen har jeg ingen grafiske
muligheder for at vise pile, så jeg bruger igen stjerner. Her går vi
fra 3 til 7 idet hvert hop nu udgør 4 enheder, idet vi bevæger os fra 3
til 7 (3 inklusive) ]
>******************>
[|__|___|___|___|___|___|___|___|_________]
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Situation III
Per har 7 æbler og Kristian har 3 æbler. Hvor mange æbler har Per flere
end Kristian? Vi kan regne:
[Igen en mængdetegning, hvor vi har en hel mængde på 7.
Her tages der så 3, der føres over i en mængdetegning, der er ved siden
af og som så kommer til at indeholde de 3, der fjernes fra helmængden].
"Af Pers æbler lægger vi lige så mange til side, som Kristian har.
Tilbage har Per så syv minus 3
7 - 3 = _______"
Men vi kan også regne: [igen en mængdetegning, der viser to mængder,
hvor der i den ene findes 7 æbler. Af disse føres tre over i den anden
mængde, således at den i alt har tre æbler (der er taget fra mængde et)
samt i denne mængde en "tom" mængde, der kan komme til at rumme nogle
æbler]
Jørgen Ole skriver om dette]:
"Kristian har tre æbler, hvor mange skal han yderligere have for at have
lige så mange som Per?
3 + _______ = 7.
[Og han fortsætter]:
"De tre situationer er oplevelsesmæssigt meget forskellige. Vi ser at i
situation I er det ikke så naturligt at tænke på den manglende addend.
Handlingsforløbet er jo, at en 7-mængde formindskes med en 3-mængde.
I situation II er handlingsforløbet, at en 3-mængde forøges med noget,
så det bliver en 7-mængde.
I situation III skal man selv bestemme sig for et handlingsforløb.
Hvilke af de 3 situationer det er mest hensigtsmæssigt at starte med i
en begynderundervisning, vil jeg ikke tage stilling til, men blot
fremhæve, at de alle tre er lige væsentlige, men situation I er den
situation eleverne hyppigst beskriver, når de skal fortælle en
"minus-historie" eller med klodser lave en "minusopgave".
Jeg vil nu specielt analysere på den situation eleverne kommer i senere,
når de skal regne:
43
- 28
______
Lånemetoden:
Fremgangsmåden a) tre minus otte kan jeg ikke, så må jeg låne 10. (igen
har jeg ingen mulighed for at lave grafik, så jeg angiver med en stjerne
den overstregning af nabocifret som normalt benyttes i lånemetoden)
10
*43
- 28
______
Tretten minus otte er fem (5-tallet skrives).
Tre minus to er en (1-tallet skrives):
10
*43
- 28
___
15
fremgangsmåde b) tre minus otte kan jeg ikke, så må jeg låne ti
10
* 43
- 28
____
Ti minus otte er to plus tre er fem *)(femtallet skrives)
tre minus to er en (et-tallet skrives)
10
* 43
- 28
____
15
Bemærk, at man ikke på det skrevne kan se , om eleven bruger
fremgangsmåde a eller b. bemærk også at der ved *) er en
uoverensstemmelse mellem tankesprog og skrivesprog:
10-8=2 +3 =5
Illustreres talproblemet med f.eks. tierpinde og enerpinde, har vi 4
tierpinde og 3 enere, den ene af tierne veksles til enere. Det vil sige,
at der nemt kan laves et handlingsforløb, der virker beskrivende og
forklarende. Jeg tror at det er dette forhold (og så tilfældige
traditioner) der er årsagen til , at de fleste lærere underviser i
fremgangsmåde a.
Desværre er denne fremgangsmåde på langt sigt den mest uhensigtsmæssige.
Denne påstand er begrundet i det følgende.
Tankerække b virker lidt længere, men kræver ikke nær så meget parat
viden. Eleven skal kun bruge "de gode venner" (to tal hvis sum er 10).
Ved fremgangsmåde a skal eleven bruge subtraktioner med tierovergang;
her er der ialt 45 tabeltal. Det betyder for mig at se, at hvis valget
kun stod mellem fremgangsmåde a og fremgangsmåde b, er b langt at
foretrække - også fordi der her kan laves et beskrivende og forklarende
handlingsforløb.
Lånemetoden bruger i sin beskrivelse situation I, men handlingsforløbet
kan ikke beskrives forklarende ved hjælp af tallinien.
Opfyldningsmetoden:
43
- 28
_____
fra otte op til ti er der to og videre til tretten er der ialt fem (fem
skrives og mente 1-tallet noteres)
43
- 28
1
______
15
Handlingsforløbet kan beskrives og forklares ved tallinien
2 3 10
>*****************************************
[|__|___|_________________________|]
28 30 33 43
(igen: grafikproblemer)
Og ved hjælp af pinde:
Du har 28 pinde og skal have 43 - fra 28 til 30 skal der bruges 2 (fordi
der fra 8 til 10 er 2)
fra 28 til 33 skal der bruges 5 (fordi der fra 8 til 13 er 5)
fra 33 til 43 skal der bruges 10 (fordi der fra 3 til 4 er 1)
Nu er jeg godt klar over at dette ene eksempel ikke kan virke
overbevisende på dig, fordi du altid har brugt lånemetoden, da
forklaringen er mere omstændig end ved lånemetoden.
Eksemplet virker måske svært, måske forstår du ikke (hvorfor op til
13?). Du kan overbevise dig selv om, at metoden er rigtig ved blot at
tænke på at mente i tallet svarer til den overstregning, du plejer at
lave. Du trak derved 1 tier fra med det samme; her trækkes den først fra
samtidig med de andre tiere. Måske skulle du inden du læser videre, øve
dig lidt i formuleringen ved at regne nogle opgaver, hvor der ikke skal
lånes:
347 3578 456
- 125 - 376 -123
______ ______ ____
der regnes: fra fem til syv er der to (2-tallet skrives) fra to til fire
er der 2 osv.
Her er en række opgaver mere:
13 23 33 40 100
- 8 - 8 - 18 -18 - 37
___ ____ ___ ___ _____
Skal de to metoder vurderes i forhold til hinanden, behøvede jeg
egentlig blot at anføre en begrundelse (den står under punkt 7
nedenunder) der på afgørende måde viser at opfyldningsmetoden bør
foretrækkes. Men da der også er andre begrundelser der tæller den samme
vej, vil jeg også nævne disse.
1.Den er nemmere at administrere ved vandret regning
2.Der kan nemmere laves rationaliseringer, hvis tallene er "pæne"
Ved opfyldningsmetoden ses hurtigere at differencen er 3 her:
1001
-998
______
3. Hvis der ved lånemetoden laves rationaliseringer ved at stregerne
ikke sættes, sker der hyppigere fejl:
383
- 48
______
345
Den tilsvarende fejl sker ikke, hvis menten ikke noteres ved
opfyldningsmetoden, da menten skal bruges samtidig med at den eventuelt
noteres (svarende til at det ikke gør noget at 10-tallet ikke skrives
ved lånemetoden)
4. Hvis der er flere subtrahender er lånemetoden omstændelig.
Ved opfyldningsmetoden kan der trækkes flere tal fra samtidig:
12368 967 967
- 212 - 12 - 34
- 203 - 203 - 98
- 1981 - 331 -129
21
______ ______ ______
9972
Her regnes:
en plus tre er fire, plus to er seks op til otte er to (2-tallet
skrives)
otte plus en er ni op til seksten er en plus seks, det er syv (7-tallet
skrives evt. mente skrives)
ti plus to plus to plus to er fjorten, op til treogtyve er seks plus
tre, dvs. 9(9-tallet skrives og mente 2 noteres eventuelt)
fra tre op til tolv er ni (9-tallet skrives)
Prøv en gang til med opgaverne ved siden af.
5. Ingen hurtigregnesystemer bruger mig bekendt lånemetoden
6. Samspillet mellem plus og minus er tydeligere:
a-b= c <=> a= b+c
7. Ingen elever kan bruge lånemetoden ved hovedregning. Det vil sige, at
de elever, der lærer lånemetoden, de skal lære to metoder, en til
skriftlig regning og en til hovedregning. Det kan vist ikke være
hensigtsmæssigt at ville indøve to sæt reflekser til den samme
problemsituation. Det betyder blandt andet, at eleverne ikke her bliver
bedre til hovedregning ved at lave skriftlig regning.
8. Vi ved at lommerregnere først og fremmest erstatter den skriftlige
regning, hovrimod det for fremtiden bliver endnu mere nødvendigt at
kunne lave overslagsregning i "hovedet". Det betyder, at der er endnu
mindre grund til at opøve en speciel skriftlig subtraktion, især når der
findes en algoritme, der er mindst lige så skriftlig anvendelig og som
samtidig fremmer andre mål.
Opfyldningsmetoden bygger i sit handlingsforløb på situation II. Det
betyder at i den indledende undervisning skal man sørge for at eleverne
bruger denne formulering i de mange situationer, der lige nemt beskeived
ved de to situationsmodeller.
Et eksempel: En bil koster 12 kroner. Arne har 8 kroner.
Her siges: "Fra otte til 12 er der fire -han mangler 4 kroner" fremfor:
"12 minus 8 er fire, han mangler fire kroner".
[så hvad angår subtraktionsmetoden er jeg enig med Jørn Ole i hans
hovedsynspunkt: ingen elev kan bruge lånemetoden i hovedregning og det
er uhensigtsmæssigt at indøve to forskellige sæt reflekser til en og
samme opgave. Det betyder, som han siger, at eleven ikke bliver bedre
til hovedregning ved at lave skriftlig regning,samt hans begrundelse nr.
8]
Man kan så mene at det i klare mål understreges at man ikke skal hænge
sig i en bestemt algoritme, men man skal i hvert fald ikke lade eleverne
fortsætte en algoritme, der på langt sigt er uhensigtsmæssig. Det
fremgår jo heller ikke af klare mål at eleven skal tage ansvar for
undervisningen -det er lærerens opgave - AFEL betyder jo ansvar for egen
læring, ikke ansvar for egen undervisning.
--
Med venlig hilsen
Arne H. Wilstrup
|