---

Hej

Jeg var til eksamen i mundtlig matematik på gymnasiets høje niveau her
forleden, og noget jeg aldrig fik afklaret (som jeg heller ikke blev
eksamineret i), var opløsning af vektorer. I beviset for dette indgår nogle
2 vektorer v(sub)1 og v(sub)2, som Frandsen og Carstensen kalder dem, som de
påstår enten er parallelle med to linier m(sub)1 og m(sub)2 ELLER
0(nul)-vektoren. Mit spørgsmål går så på:
Hvordan kan noget som helst være parallelt med en 0(nul)-vektor, når en
vektor ikke tildeles nogen retning eller længde?

--
Med venlig hilsen/Best regards

Anders Schwartz
anders@kittyscope.dk (fjern REMOVE i mailadresse)
http://www.kityscope.dk

---

Scripsit "Anders Schwartz" <anders@kittyscope.dkREMOVE>

> I beviset for dette indgår nogle 2 vektorer v(sub)1 og v(sub)2, som
> Frandsen og Carstensen kalder dem, som de påstår enten er parallelle
> med to linier m(sub)1 og m(sub)2 ELLER 0(nul)-vektoren. Mit
> spørgsmål går så på: Hvordan kan noget som helst være parallelt med
> en 0(nul)-vektor, når en vektor ikke tildeles nogen retning eller
> længde?

Jeg tror at de mener at enten er vektoren parallel med m, eller også
er den nulvektoren.

--
Henning Makholm "Nobody is going to start shouting
about moral philosophy on my bridge."

---

> > Hvordan kan noget som helst være parallelt med
> > en 0(nul)-vektor, når en vektor ikke tildeles nogen retning eller
> > længde?
Jeg mente selvfølgelig :

[...] en 0(nul)-vektor, når en 0(nul)-vektor ikke tildeles nogen retninge
eller længde?

Mht. til Henning Makholm's svar vil jeg lige kigge efter engang til i bogen
i morgen, da jeg begynder at lave fejl, på denne tid af døgnet .


--
Med venlig hilsen/Best regards

Anders Schwartz
anders@kittyscope.dk (fjern REMOVE i mailadresse)
http://www.kityscope.dk

---

> Jeg tror at de mener at enten er vektoren parallel med m, eller også
> er den nulvektoren.
Det har du nok ret i, men sådan læser jeg ikke det de skriver:
2 liners uddrag fra C&F: MAT3H s. 114 nederst:
Alle tal er subscript:
"....hvor vektor v1 og vektor w1 er parallelle (linien) med m1 eller
0(nul)-vektoren, mens vektor v2 og vektor w2 er parallelle med (linien) m2
eller 0(nul)-vektoren. "

Jeg læser det som om at v1 og w1 enten er parallelle med m1 eller
0(nul)-vektoren
(som jo er det der faktisk står )
--
Med venlig hilsen/Best regards

Anders Schwartz
anders@kittyscope.dk (fjern REMOVE i mailadresse)
http://www.kityscope.dk

---

Anders Schwartz wrote:

> "....hvor vektor v1 og vektor w1 er parallelle (linien)
> med m1 eller 0(nul)-vektoren, mens vektor v2 og vektor w2
> er parallelle med (linien) m2 eller 0(nul)-vektoren. "
>
> Jeg læser det som om at v1 og w1 enten er parallelle med
> m1 eller 0(nul)-vektoren

Jeg gætter på denne fortolkning:

"..., hvor vektor v1 og vektor w1 er parallelle (linien)
med m1 eller [ER] 0(nul)-vektoren, mens ..."

skrevet helt ud

"..., hvor vektor v1 og vektor w1 er parallelle (linien) med m1
eller, hvor vektor v1 og vektor w1 er 0(nul)-vektoren, mens ..."

Formuleringen kunne dog godt være lidt klarere. Men du citerede
for lidt til, at man kan se det fra sammenhængen.

--
Jens Axel Søgaard

---

> > "....hvor vektor v1 og vektor w1 er parallelle (linien)
> > med m1 eller 0(nul)-vektoren, mens vektor v2 og vektor w2
> > er parallelle med (linien) m2 eller 0(nul)-vektoren. "
> >
> > Jeg læser det som om at v1 og w1 enten er parallelle med
> > m1 eller 0(nul)-vektoren
>
> Jeg gætter på denne fortolkning:
>
> "..., hvor vektor v1 og vektor w1 er parallelle (linien)
> med m1 eller [ER] 0(nul)-vektoren, mens ..."

At v1 eller w1 er parallelle med m1 eller ER nulvektoren, må være det man
skal forstå.

>
> skrevet helt ud
>
> "..., hvor vektor v1 og vektor w1 er parallelle (linien) med m1
> eller, hvor vektor v1 og vektor w1 er 0(nul)-vektoren, mens ..."
>
> Formuleringen kunne dog godt være lidt klarere. Men du citerede
> for lidt til, at man kan se det fra sammenhængen.
Jeg kan ikke se at jeg skulle citere mere, for det interessante i sætningen
var jo netop at de ikke siger at v1 og w1 ER nul-vektoren, men at de er
parallelle med nulvektoren, hvilket ved ikke er en heldig måde at fremstille
situationen på.

--
Med venlig hilsen/Best regards

Anders Schwartz
anders@kittyscope.dk (fjern REMOVE i mailadresse)
http://www.kityscope.dk

---

Anders Schwartz wrote:
>>> "....hvor vektor v1 og vektor w1 er parallelle (linien)
>>> med m1 eller 0(nul)-vektoren, mens vektor v2 og vektor
>>> w2 er parallelle med (linien) m2 eller 0(nul)-vektoren.
>>> "
>>>
>>> Jeg læser det som om at v1 og w1 enten er parallelle med
>>> m1 eller 0(nul)-vektoren
>>
>> Jeg gætter på denne fortolkning:
>>
>> "..., hvor vektor v1 og vektor w1 er parallelle
>> (linien) med m1 eller [ER] 0(nul)-vektoren, mens
>> ..."


>> Formuleringen kunne dog godt være lidt klarere. Men du
>> citerede for lidt til, at man kan se det fra
>> sammenhængen.

> Jeg kan ikke se at jeg skulle citere mere, for det
> interessante i sætningen var jo netop at de ikke siger at
> v1 og w1 ER nul-vektoren, men at de er parallelle med
> nulvektoren, hvilket ved ikke er en heldig måde at
> fremstille situationen på.

Problemet er at sætningen rent sprogligt er tvetydig.
Jeg mener, at sætningen kan læses på begge måder.
Det er ikke ukorrekt dansk, men sætningen bliver
desværre tvetydig, og det er uheldigt i matematik.

Med andre ord: Den kan læses på begge måder.

Hvis du havde citeret mere ville man kunne sige, hvilken af
de tolkninger, der er rigtig i den matematiske sammenhæng.
Jeg har dog på fornemmelsen, at det har du styr på.

(Jeg har desværre ikke bogen, ellers ville jeg slå op
på den angivne side.)
--
Jens Axel Søgaard

---

Anders Schwartz wrote:
>
> Hvordan kan noget som helst være parallelt med en 0(nul)-vektor, når en
> vektor ikke tildeles nogen retning eller længde?

Jeg tror Henning har ret.

Men hvorvidt nulvektoren kan være parallel med en ret linje, afhænger
jo af hvordan man har defineret det. Carstensen og Frandsen har nok
kun defineret parallelitet for egentlige vektorer, og det er derfor
de skriver om en bestemt venktor at den *enten* er parallel med en
bestemt linje *eller* er nulvektoren.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>

> Jeg tror Henning har ret.

Det har jeg altid

> Men hvorvidt nulvektoren kan være parallel med en ret linje, afhænger
> jo af hvordan man har defineret det.

Jeg skrev en længere smøre om at den højere matematik normalt
definerer at nulvektoren er parallel med hvadsomhelst. Så fandt
jeg ud af at jeg sad og tænkte på ortogonalitet, og så kom jeg
i tvivl og slettede det hele.

Ved nøjere eftertanke er de to mest nærliggende definitioner nok
a) to vektorer er "parallelle" hvis og kun hvis de ikke er
lineært uafhængige.
eller også
b) en mængde af (vilkårligt mange) vektorer er "parallelle" hvis den
udspænder et underrum af definition højst 1.
I begge tilfælde *er* nulvektoren parallelt med hvadsomhelst.

Men det kan godt være at d'herrer C&F føler at det er for indviklet
at forklare på gymnasieniveau.

(I definition (b) må det være mest praktisk sige "højst 1", idet man
med "netop 1" kunne finde parallelle vektormængder der har
ikke-parallelle delmængder. Ikke godt for intuitionen.)

--
Henning Makholm "Uh ... a picture of me with my hair pinned up
in a towel and standing in front of a grid without a
trace of makeup? *Are you out of your rock-happy mind?*"

---

Scripsit Henning Makholm <henning@makholm.net>

> b) en mængde af (vilkårligt mange) vektorer er "parallelle" hvis den
> udspænder et underrum af definition højst 1.

s/definition/dimension/

--
Henning Makholm "Guldnålen er hvis man har en *bror* som er *datalog*."

---

Henning Makholm wrote:

> Ved nøjere eftertanke er de to mest nærliggende
> definitioner nok
> a) to vektorer er "parallelle" hvis og
> kun hvis de ikke er lineært uafhængige.

Jeg ville sige det mest naturlige var at sige:

c) To vektorer er parallelle, hvis den ene er den andens forstørrelse.
(Altså v1 og v2 er parallelle, hvis der findes ikke-nul k så v1=k v2 )

Rent begrebsmæssigt er to vektorer parallelle, hvis de har samme retning.
Problemet er så om man skal tilskrive nul-vektoren alle retninger på en
gang eller ingen retninger overhovedet. Her foretrækker jeg den sidste,
idet nul-vektoren signalerer "stilstand".

--
Jens Axel Søgaard

---

Således skrev "Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net>:

> Rent begrebsmæssigt er to vektorer parallelle, hvis de har samme retning.
> Problemet er så om man skal tilskrive nul-vektoren alle retninger på en
> gang eller ingen retninger overhovedet. Her foretrækker jeg den sidste,
> idet nul-vektoren signalerer "stilstand".

En anden fordel ved at nulvektoren ikke er parallel med andre vektorer
er at parallelitet (parallelhed?) bliver en ækvivalensrelation.

--
"If it's not too much to ask, could you hover?"

---

> Rent begrebsmæssigt er to vektorer parallelle, hvis de har samme retning.
> Problemet er så om man skal tilskrive nul-vektoren alle retninger på en
> gang eller ingen retninger overhovedet. Her foretrækker jeg den sidste,
> idet nul-vektoren signalerer "stilstand".
Nulvektoren er da bare et punkt....

Mvh

Anders

--
Med venlig hilsen/Best regards

Anders Schwartz
anders@kittyscope.dk (fjern REMOVE i mailadresse)
http://www.kityscope.dk

---

Henning Makholm wrote:
>
> a) to vektorer er "parallelle" hvis og kun hvis de ikke er
> lineært uafhængige.

Ja, dvs. at de *er* lineært *afhængige*.

Og to lineære underrum af R^n er parallelle hviss det ene er indeholdt
(som delmængde og underrum) i det andet. Så kalder vi to affine underrum
parallelle hviss de associerede lineære underrum er det.

I R³ har vi fx at to linjer kan være ikke-parallelle uden at have
fællespunkter. Men i R³ har en plan og en linje der ikke er parallelle,
netop ét fællespunkt.

Det er selvfølgelig summen af dimensionerne af de affine underrum der
skal sammenlignes med n.

Parallelitet er ikke en transitiv relation i denne generalitet:
I R³: Lad l være en linje der er parallel med en plan P, og lad P være
parallel med en anden linje m. Da behøver l og m ikke at være paral-
lelle.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Som jeg forstår det ud af teksten, og hvad jeg mindes min matematiklærer
sagde, så er de enten paralelle eller også ER de o-vektor.

- Rikke =)


"Anders Schwartz" <anders@kittyscope.dkREMOVE> wrote in message
news:ZETJ8.5322$dv.5027873@news.orangenet.dk...
> Hej
>
> Jeg var til eksamen i mundtlig matematik på gymnasiets høje niveau her
> forleden, og noget jeg aldrig fik afklaret (som jeg heller ikke blev
> eksamineret i), var opløsning af vektorer. I beviset for dette indgår
nogle
> 2 vektorer v(sub)1 og v(sub)2, som Frandsen og Carstensen kalder dem, som
de
> påstår enten er parallelle med to linier m(sub)1 og m(sub)2 ELLER
> 0(nul)-vektoren. Mit spørgsmål går så på:
> Hvordan kan noget som helst være parallelt med en 0(nul)-vektor, når en
> vektor ikke tildeles nogen retning eller længde?
>
> --
> Med venlig hilsen/Best regards
>
> Anders Schwartz
> anders@kittyscope.dk (fjern REMOVE i mailadresse)
> http://www.kityscope.dk
>
>
>
>