---

Hej Alle

Håber der er nogen der kan give et hint eller løsning til udregning af
vinkel som vist på http://www.jaz.dk/opgaver/Nodden/Nodden.html

Hilsen
Mikkel

---

Mikkel wrote:
>
> Hej Alle
>
> Håber der er nogen der kan give et hint eller løsning til udregning af
> vinkel som vist på http://www.jaz.dk/opgaver/Nodden/Nodden.html

Start med at bruge at den store trekant er ligebenet, det giver dig
noget om de nederste vinkler. Brug dernæst i nogle af de små trekanter
at vinkelsummen er 180°, og brug nogle steder at topvinkler er lige
store, eller at vinkler der til sammen giver en lige vinkel, har en
sum på 180°. På denne måde kommer du til at kende alle vinkler i den
nedre del af figuren.

Kald den søgte vinkel x. Udtryk alle de vinkler du ikke allerede kender
ved at bruge x. (Altså find vinklerne som funktion af x). Betragt en
passende trekants vinkelsum for at få en førstegradsligning hvoraf x
kan findes.

Det er i hvert fald én måde at gøre det på.

NB! Tegningen overholder ikke de mål der er påtrykt.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
>
> Kald den søgte vinkel x. Udtryk alle de vinkler du ikke allerede kender
> ved at bruge x. (Altså find vinklerne som funktion af x). Betragt en
> passende trekants vinkelsum for at få en førstegradsligning hvoraf x
> kan findes.

Ups, jeg lavede en fejl her til sidst ...

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

On Mon, 20 May 2002 21:48:49 +0200, Jeppe Stig Nielsen
<mail@jeppesn.dk> wrote:

>> Kald den søgte vinkel x. Udtryk alle de vinkler du ikke allerede kender
>> ved at bruge x. (Altså find vinklerne som funktion af x). Betragt en
>Ups, jeg lavede en fejl her til sidst ...

Det ender desvære i en blindgyde (for mig). Jeg har forsøgt med at
tegne yderlige trekanter, men det er ikke lykkedes at finde en
løsning.

---

Mikkel wrote:
>
> On Mon, 20 May 2002 21:48:49 +0200, Jeppe Stig Nielsen
> <mail@jeppesn.dk> wrote:
>
> >> Kald den søgte vinkel x. Udtryk alle de vinkler du ikke allerede kender
> >> ved at bruge x. (Altså find vinklerne som funktion af x). Betragt en
> >Ups, jeg lavede en fejl her til sidst ...
>
> Det ender desvære i en blindgyde (for mig). Jeg har forsøgt med at
> tegne yderlige trekanter, men det er ikke lykkedes at finde en
> løsning.

Hvis man er barsk og kalder den nederste vandrette linjes længde for
L, kan man udtrykke alle andre længder ved gentagen brug af sinus-
relationerne. Man får længder som fx

L·(sin(30°)·sin(60°))/(sin(70°)·sin(40°))

På denne måde fik jeg den søgte vinkel til x=50° , med forbehold for
fejl. Men der må vel være et mere elegant argument.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen skrev:

>relationerne. Man får længder som fx

> L·(sin(30°)·sin(60°))/(sin(70°)·sin(40°))

Ahem! At læse grundigt:

   Man må i opgaven ikke bruge hjælpemidler i form af
   vinkelmålere eller matematiske funktioner som cos og sin
   mv.

--
Bertel
http://lundhansen.dk/bertel/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Scripsit Bertel Lund Hansen <nospam@lundhansen.dk>
> Jeppe Stig Nielsen skrev:

> > L·(sin(30°)·sin(60°))/(sin(70°)·sin(40°))

> Ahem! At læse grundigt:
>
>    Man må i opgaven ikke bruge hjælpemidler i form af
>    vinkelmålere eller matematiske funktioner som cos og sin
>    mv.

Det må vel nærmest betyde at det ikke er tilladt at ende med et
tilnærmet resultat fordi man har udregnet *værdier* af trigonometriske
funktioner. Så længe man behandler dem rent symbolsk, må udregningen
kunne udtrykkes som ren geometri hvis man er til den slags.

Med andre ord mener jeg at begrænsningen må forstås som et krav over
at der skal angives et eksakt svar - samt naturligvis et bevis for at
det eksakte svar er korrekt (hvilket fx udelukker at man blot lægger
hele molevitten ind i et koordinatsystem og giver sig til at regne løs
på værdier af sin og cos med sin lommeregner).

Jeppe, går al trigonometrien ud mod hinanden i din udregning?

--
Henning Makholm "Jeg køber intet af Sulla, og selv om uordenen griber
planmæssigt om sig, så er vi endnu ikke nået dertil hvor
ordentlige mennesker kan tillade sig at stjæle slaver fra
hinanden. Så er det ligegyldigt, hvor stærke, politiske modstandere vi er."

---

Henning Makholm wrote:
>
> Jeppe, går al trigonometrien ud mod hinanden i din udregning?

Ahøm, jeg tror jeg »snød« lidt da jeg evaluerede én af de lange formler.
Det er dog min overbevisning at x=50° er det eksakte resultat.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>
> Henning Makholm wrote:

> > Jeppe, går al trigonometrien ud mod hinanden i din udregning?

> Ahøm, jeg tror jeg »snød« lidt da jeg evaluerede én af de lange formler.
> Det er dog min overbevisning at x=50° er det eksakte resultat.

Numerisk passer det ihvertfald rigtig godt. Jeg har prøvet henholdsvis
med Metafont (som ikke er særlig præcis, men kan lave udregningen ud
fra en beskrivelse der er tæt på den originale opgaveformulering)
og med blyant og papir og en masse trigonometriske formler.

I sidste tilfælde kommer eksaktheden af de 50° til at hænge på at
cos 20° er rod i et nøjere specificeret tredjegradspolynomium. Det
påstår min lommeregner er tilfældet, men jeg har ikke haft energi
nok til at bevise det. Men det virker ikke helt forkert, idet 20°
jo rigtignok er en ikke-konstruerbar vinkeltredeling.

Den første indskydelse ved sådan en opgave er jo at den ukendte vinkel
må stå i en eller anden rationel forbindelse til de opgivne vinkler.
Men det ser ikke ud til at være tilfældet, bortset fra i den konkrete
probleminstans (20°,50°,60°).

Hmm... de angivne vinkler 50° og 60° fører netop til at der opstår to
nye ligebenede trekanter i figuren. Hvis vi tager det som en del af
opgaven får vi en familie af opgaver med én enkelt parameter, nemlig
topvinklen v (her 20°). Så kan man skrive sammenhængen mellem v og den
søgte vinkel w op på formler <regne, regne, regne ...>

tan(w) = tan(v) / (1-sqrt(8-8cos(v))) (*)

v w Bemærkning
-------------------------------
0° 0° i grænsen
10° 15,147°
15° 29,279°
20° 50° eksakt???
28,955° 90° hvor 28,995° = atan(sqrt(15)/7)
30° 93,496°
45° 117,956°
60° 120° i grænsen

Hvis de 50° er eksakt, bør man kunne vise det ved at omskrive (*) til

8 - 8cos(20°) =?= (1 - 1/(tan(20°)tan(50°)))²

og reducere hele molevitten symbolsk i et passende cirkeldelingslegeme.
Det har jeg ikke papir nok til at udvikle lige nu og her, og der _bør_
altså være en nemmere måde ...

--
Henning Makholm "He who joyfully eats soup has already earned
my contempt. He has been given teeth by mistake,
since for him the intestines would fully suffice."

---

Henning Makholm skrev

>Hvis de 50° er eksakt, bør man kunne vise det ved at omskrive (*) til
>
> 8 - 8cos(20°) =?= (1 - 1/(tan(20°)tan(50°)))²
>
> og reducere hele molevitten symbolsk i et passende cirkeldelingslegeme.
> Det har jeg ikke papir nok til at udvikle lige nu og her, og der _bør_
> altså være en nemmere måde ...

Hmm, jeg får vha. de tre ligebenet trekanter og sinus-relationerne, at

sin(40°)sin(x) = sin(80°)sin(x-20°),

men jeg kan ikke lige få den ligning løst. Jeg har prøvet at erstatte
sin(x-20°), sin(40°) og sin(80°), men kan ikke rigtig få reduceret
resultatet til noget pænt.


Mvh,
--
Filip Larsen <filip.larsen@mail.dk>

---

[Henning Makholm]

| I sidste tilfælde kommer eksaktheden af de 50° til at hænge på at
| cos 20° er rod i et nøjere specificeret tredjegradspolynomium. Det
| påstår min lommeregner er tilfældet, men jeg har ikke haft energi
| nok til at bevise det.

cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x)

Sett inn x = 20° og bruk at cos(60°) = 1/2

SA
--
Stein Arild Strømme Tel: (+47) 2212 2521
Centre for Advanced Study Fax: (+47) 2212 2501
Drammensveien 78 <mailto:stromme@mi.uib.no>
N-0271 Oslo, Norway <http://www.mi.uib.no/~stromme>

---

Scripsit Stein A Stromme <stromme@mi.uib.no>
> [Henning Makholm]

> | I sidste tilfælde kommer eksaktheden af de 50° til at hænge på at
> | cos 20° er rod i et nøjere specificeret tredjegradspolynomium. Det
> | påstår min lommeregner er tilfældet, men jeg har ikke haft energi
> | nok til at bevise det.

> cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x)

Problemet var ikke at finde et eller andet 3.gradspolynomium hvor cos
20° er rod, men at vise at cos 20° var rod i det bestemte polynomium
der stod på mit papir (som jeg smed ud da jeg gav op). Hm, måske var
det i virkeligheden et sjettegradspolynomium...

--
Henning Makholm "Panic. Alarm. Incredulity.
*Thing* has not enough legs. Topple walk.
Fall over not. Why why why? What *is* it?"

---

[Henning Makholm]

| Scripsit Stein A Stromme <stromme@mi.uib.no>
| > [Henning Makholm]
|
| > | I sidste tilfælde kommer eksaktheden af de 50° til at hænge på at
| > | cos 20° er rod i et nøjere specificeret tredjegradspolynomium. Det
| > | påstår min lommeregner er tilfældet, men jeg har ikke haft energi
| > | nok til at bevise det.
|
| > cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x)
|
| Problemet var ikke at finde et eller andet 3.gradspolynomium hvor cos
| 20° er rod, men at vise at cos 20° var rod i det bestemte polynomium
| der stod på mit papir (som jeg smed ud da jeg gav op). Hm, måske var
| det i virkeligheden et sjettegradspolynomium...

Ethvert polynom med den gitte rot er et multiplum av dette ene, så en
enkel polynomdivisjon gir deg raskt et ja eller nei.
--
Stein Arild Strømme Tel: (+47) 2212 2521
Centre for Advanced Study Fax: (+47) 2212 2501
Drammensveien 78 <mailto:stromme@mi.uib.no>
N-0271 Oslo, Norway <http://www.mi.uib.no/~stromme>

---

Stein A Stromme wrote:
>
> [Henning Makholm]
>
> | Scripsit Stein A Stromme <stromme@mi.uib.no>
> | > [Henning Makholm]
> |
> | > | I sidste tilfælde kommer eksaktheden af de 50° til at hænge på at
> | > | cos 20° er rod i et nøjere specificeret tredjegradspolynomium. Det
> | > | påstår min lommeregner er tilfældet, men jeg har ikke haft energi
> | > | nok til at bevise det.
> |
> | > cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x)
> |
> | Problemet var ikke at finde et eller andet 3.gradspolynomium hvor cos
> | 20° er rod, men at vise at cos 20° var rod i det bestemte polynomium
> | der stod på mit papir (som jeg smed ud da jeg gav op). Hm, måske var
> | det i virkeligheden et sjettegradspolynomium...
>
> Ethvert polynom med den gitte rot er et multiplum av dette ene, så en
> enkel polynomdivisjon gir deg raskt et ja eller nei.

Man får at T=cos(20°) tilfredsstiller ½=4T³-3T eller 8T³-6T-1=0.
Men hvordan er det nu du véd at der ikke er andre polynomier med
rationale koefficienter der har cos(30°) som rod (brotset fra multi-
pla af dette polynomium)? Mit algebra ligger lidt langt væk.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:

> Man får at T=cos(20°) tilfredsstiller ½=4T³-3T eller 8T³-6T-1=0.
> Men hvordan er det nu du véd at der ikke er andre polynomier med
> rationale koefficienter der har cos(30°) som rod (brotset fra multi-
> pla af dette polynomium)? Mit algebra ligger lidt langt væk.

Polynomiet 8x^3-6x-1 er irreducibelt over Q, for det har ingen rationale
rødder (hvis p/q er rod er eneste muligheder p=+-1 og q er 1,2,4 eller 8) .
Endvidere ved vi, at a:=cos(20°) er rod.

Argumentet for, at polynomiet går op i alle andre polynomier, hvori
a er rod, er minimalpolynomiumsargumentet.

Lad m(x) være et monisk polynomium over Q af mindst mulig grad,
hvori a er rod (eksistensen er klaret).
Påstanden er nu, at m(x) går op i alle andre polynomier, hvori a er rod.
Antag, at a er rod i p(x). Lad r(x) være resten ved division af p(x) med
m(x).
Så er a rod i r(x), og r(x) har lavere grad end p(x), dermed må r(x) være 0;
så m(x) går op i p(x).

Da 8x^3-6x-1 er irreducibelt over Q, er det minimalpolynomiet gange en enhed
(i Q[x]).
Heraf følger at 8x^3-6x-1 går op i alle polynomier, hvori a er rod.

--
Jens Axel

---

"Jens Axel Søgaard" wrote:
>
>[...]
> Heraf følger at 8x^3-6x-1 går op i alle polynomier, hvori a er rod.

Nå ja, det er jo så elementært at det indgik i Jørgen Brandts første-
årskursus Mat10 på AU i en periode.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
> "Jens Axel Søgaard" wrote:
>>
>> [...]
>> Heraf følger at 8x^3-6x-1 går op i alle polynomier, hvori a er rod.
>
> Nå ja, det er jo så elementært at det indgik i Jørgen Brandts første-
> årskursus Mat10 på AU i en periode.

Det er den pokkers trekantsopgave
Den er sværere end den ser ud.

--
Jens Axel

---

Jeg gav fortabt og fandt løsningen på Google.
En søgning på "triangle 20 50 60" gav ret hurtigt løsningen.

Løsningen er elementær.
http://www.oxfordmc.freeserve.co.uk/answer.html
(nøj hvor er det træls, at deres figur vender omvendt).
--
Jens Axel Søgaard

---

"Jens Axel Søgaard" wrote:
>
> Jeg gav fortabt og fandt løsningen på Google.
> En søgning på "triangle 20 50 60" gav ret hurtigt løsningen.
>
> Løsningen er elementær.
> http://www.oxfordmc.freeserve.co.uk/answer.html
> (nøj hvor er det træls, at deres figur vender omvendt).

Det er også lidt træls at tegningen ikke holder målene. Men så er det
måske for let ...
De trekanter der er ligebenede, ser jo slet ikke sådan ud på figuren.

Nå, men tricket var åbenbart at introducere et nyt punkt F og dermed
siksakke sig op inde i den store trekant på endnu en måde.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Mikkel" == Mikkel <no@noway.none> writes:

> Hej Alle
> Håber der er nogen der kan give et hint eller løsning til udregning af
> vinkel som vist på http://www.jaz.dk/opgaver/Nodden/Nodden.html

Det er en ligebenet trekant. Nu er tegningen lidt væltet, men hvis
opgaven skal give mening, er du nok nødt til at antage at afstanden
fra hjørnet med en vinkel på 20g til hjørnerne med 50g og 60g er den
samme. Det giver dig mulighed for at opdele den store trekant i 2
retvinklede trekanter, hvorefter du kan regne dig frem til alle
vinkeler i de tre nederste trekanter.

Herefter har du fire ubekendte vinkler tilbage; disse finder du ved
at løse 4 ligninger med 4 ubekendte (alle = 180 for de "øverste" 4
trekanter.
--
/Wegge

---

Scripsit Anders Wegge Jakobsen <wegge@wegge.dk>

> Herefter har du fire ubekendte vinkler tilbage; disse finder du ved
> at løse 4 ligninger med 4 ubekendte (alle = 180 for de "øverste" 4
> trekanter.

Det er ganske rigtigt let nok at udregne alle de vinkler der ikke
involverer "tværpinden" (ved at udnytte at vinkelsummen skal være pi),
men hvad er det for "øverste 4 trekanter" du vil lave samme trick med
for at få de manglende vinkler?

Når jeg forsøger at lave 4 ligninger med de 4 manglende vinkler som
ubekendte, bliver de ikke lineært uafhængige. Det ser snarere ud som
om man skal have fat i noget ligedannethed. Men præcis hvordan har jeg
endnu ikke hittet ud af.

--
Henning Makholm "Gå ud i solen eller regnen, smil, køb en ny trøje,
slå en sludder af med købmanden, puds dine støvler. Lev!"