---

Hej..

Jeg vil høre om jeg kan få lidt hjælp til at finde limsup_n og liminf_n for
a_n = cos n

--
Mvh.

Jean Christophe

---

> Jeg vil høre om jeg kan få lidt hjælp til at finde limsup_n og liminf_n
for
> a_n = cos n

Nej Jean desværre, du må lave dine ting selv!
Snyd kan du finde på www.studi.dk eller lignende ;)
</joke>

mvh
Peter

---

"Jean Christophe B. Thomsen" wrote:
>
> Hej..
>
> Jeg vil høre om jeg kan få lidt hjælp til at finde limsup_n og liminf_n for
> a_n = cos n

Hmm...
Hvis tallet 2·pi (der jo er perioden for cosinus) er rationalt, skal
du ræsonnere på én måde; hvis 2·pi er irrational, skal du ræsonnere
anderledes.

Så det første du skal gøre, er at vise at pi er irrational ...

Nå, måske kan du nøjes med at bruge irrationaliteten uden bevis.

Når du véd at pi er irrational, skal du søge at finde situationer
hvor det hele tal n er meget tæt på k·pi hvor k er hel. Vær op-
mærksom på om k er lige eller ulige.

Udnyt at cosinus er kontinuert, og at cos(k·pi) = ±1 .

Skriv igen hvis du får brug for flere hints undervejs.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
>
> "Jean Christophe B. Thomsen" wrote:
> >
> > Hej..
> >
> > Jeg vil høre om jeg kan få lidt hjælp til at finde limsup_n og liminf_n for
> > a_n = cos n
>
> Hmm...
> Hvis tallet 2·pi (der jo er perioden for cosinus) er rationalt, skal
> du ræsonnere på én måde; hvis 2·pi er irrational, skal du ræsonnere
> anderledes.

Altså, hvis pi er rational, er limsup jo nem nok. Det er mere liminf
der kan volde vanskeligheder.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Tak for hjælpen.

Jeg kan bare ikke forstå at du siger at pi er rational ? Limsup og liminf
kan da kun beregnes fordi pi er irrational.

/Jean

"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> wrote in message
news:3CB4A5B7.E6C6579D@jeppesn.dk...
> Jeppe Stig Nielsen wrote:
> >
> > "Jean Christophe B. Thomsen" wrote:
> > >
> > > Hej..
> > >
> > > Jeg vil høre om jeg kan få lidt hjælp til at finde limsup_n og
liminf_n for
> > > a_n = cos n
> >
> > Hmm...
> > Hvis tallet 2·pi (der jo er perioden for cosinus) er rationalt, skal
> > du ræsonnere på én måde; hvis 2·pi er irrational, skal du ræsonnere
> > anderledes.
>
> Altså, hvis pi er rational, er limsup jo nem nok. Det er mere liminf
> der kan volde vanskeligheder.
>
> --
> Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «
>
> "Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
> hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Jean Christophe B. Thomsen"

> Tak for hjælpen.
>
> Jeg kan bare ikke forstå at du siger at pi er rational ?

Det gør han heller ikke. Han er ironisk.

>Limsup og liminf kan da kun beregnes fordi pi er irrational.

Nej. Den ville stadig eksistere, men værdien ville være en anden.

Det der er interessant (og det Jeppe hinter til)er,
at i opgaver af typen:

Find limsup og liminf for a_n = f (n),
hvor f er en periodisk funktion.

Afhænger løsningsmåden af om perioden
for f er rational eller irrational. I dit tilfælde
har du brug for at vide, at 2pi ikke er en brøk.



For de historieinteresserede kan det nævnes, at
det var Lambert beviste påstanden i 1766. Endvidere kan
det nævnes, at det meget smukke (og elementære) bevis,
man ofte ser i dag, kommer fra Niven (1947).

Jeg kan bedst lide fremlægningen i
"Proofs from THE BOOK" af Aigner og Ziegel, men
da den ikke er på nettet, så får du dette link i stedet.

http://www.lrz-muenchen.de/~hr/numb/pi-irr.html

--
Jens Axel Søgaard

---

Ok så forstår jeg bedre.

Jeg er newbie på analyseområdet så jeg fatter ikke helt den matematiske
humor endnu.

/Jean

---

"Jean Christophe B. Thomsen" <jean@studi.dk> writes:

> Jeg er newbie på analyseområdet så jeg fatter ikke helt den matematiske
> humor endnu.

Stakkel. Her er lidt træning:
<http://www.math.utah.edu/~cherk/mathjokes.html>

--
"Well, look at me. I'm all fuzzy."

---

"Stefan Holm" <stefan@aub.dk> skrev i en meddelelse
news:ur8lm9osr.fsf@nynne.aub.dk...

> Stakkel. Her er lidt træning:
> <http://www.math.utah.edu/~cherk/mathjokes.html>

En kvalitetsside. Der var flere, jeg ikke havde set før.
Blandet andet nogle gåder:

Q:What is a dilemma?
A: A lemma that proves two results.

Men - er der ikke en, der vil forklare den her:

Q: What does the little mermaid wear?
A: An Algebra

--
Jens Axel Søgaard

---

"Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> wrote:

> Men - er der ikke en, der vil forklare den her:

> Q: What does the little mermaid wear?
> A: An Algebra

Jeg læste den også og undrede mig.
Men hvad med alge-bra
Altså alge (en mikroorganisme i havet, godt nok et dansk ord) og bra -
en BH på engelsk???

Jeg tror i hvert faldt det har noget med -bra at gøre.

Martin
--
"Science is like sex: sometimes something useful comes out, but that is
not the reason we are doing it"
   Richard Feyman

---

Martin Ehmsen wrote:
>
> "Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> wrote:
>
> > Men - er der ikke en, der vil forklare den her:
>
> > Q: What does the little mermaid wear?
> > A: An Algebra
>
> Jeg læste den også og undrede mig.
> Men hvad med alge-bra
> Altså alge (en mikroorganisme i havet, godt nok et dansk ord) og bra -
> en BH på engelsk???
>

Mon ikke det skal udtales "alga-bra" ?

---

"Martin Ehmsen" <ehmsen@imada.sdu.dk> skrev i en meddelelse
news:a94i79$qaj$1@sunsite.dk...
> "Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> wrote:
>
> > Men - er der ikke en, der vil forklare den her:
>
> > Q: What does the little mermaid wear?
> > A: An Algebra
>
> Jeg læste den også og undrede mig.
> Men hvad med alge-bra
> Altså alge (en mikroorganisme i havet, godt nok et dansk ord) og bra -
> en BH på engelsk???

Ah!

--
Jens Axel

---

"Jean Christophe B. Thomsen" wrote:
>
> Tak for hjælpen.
>
> Jeg kan bare ikke forstå at du siger at pi er rational ? Limsup og liminf
> kan da kun beregnes fordi pi er irrational.

Lad os et øjeblik antage at pi er rational. Så pi = a/b hvor a og b er
naturlige. Så er a = b·pi. Derfor er cos(2·n·a)=1 for alle n. Således
har bliver din følge uendeligt ofte *lig med* 1, og derfor er limsup
også 1.

Det er værre med liminf i det rationale tilfælde.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> writes:

> Men - er der ikke en, der vil forklare den her:
>
> Q: What does the little mermaid wear?
> A: An Algebra

Algae = alger, bra = BH. Den er da sjov.