---

Der er nok nemmest at forklare problemet ud fra en tegning:
<http://home19.inet.tele.dk/stokholm/usenet/problem.gif>

Cirklens radius er lig cirkelbuens højde, dvs. at cirklen er skåret
over på midten. Jeg ved at radius = 10, men hvordan finder jeg
cirkelbuens position? Funktionsværdien for cirkelbuen...:

g(x) = sqrt( 10^2 - ( x - x0 )^2 ) , hvor (x0,0) er cirklens centrum.

....må være lig funktionsværdien for den eksponentielle udvikling f(x),
i den 'x' hvor de lige nøjagtigt skærer hinanden. Det samme gælder vel
for f'(x) og g'(x). Ved det "sted" de to funktioner skærer hinanden,
gælder altså at: f(x) = g(x) og at f'(x) = g'(x)

Men der er ikke noget af det, der umiddelbart giver noget der er til
for mig at regne på. Jeg hører en lille fugl synge om at jeg skal
benytte mig af at f'(x) = g'(x). Dvs. fuglen har selv spurgt læreren.

I må lige sige til, hvis der er noget som jeg har skrevet lidt tåget.
Så uddyber jeg gerne. På forhånd tak...

--
Med venlig hilsen / With kind regards, Lars Stokholm
Da : Svar venligst i gruppen hvis emnet tillader det (!)
En : Please reply to the group if the topic permits it (!)

---

Lars Stokholm <larsstokholm@mail.dk> writes:

> Cirklens radius er lig cirkelbuens højde, dvs. at cirklen er skåret
> over på midten. Jeg ved at radius = 10, men hvordan finder jeg
> cirkelbuens position? Funktionsværdien for cirkelbuen...:
>
> g(x) = sqrt( 10^2 - ( x - x0 )^2 ) , hvor (x0,0) er cirklens centrum.
>
> ...må være lig funktionsværdien for den eksponentielle udvikling f(x),
> i den 'x' hvor de lige nøjagtigt skærer hinanden. Det samme gælder vel
> for f'(x) og g'(x). Ved det "sted" de to funktioner skærer hinanden,
> gælder altså at: f(x) = g(x) og at f'(x) = g'(x)

Jeg synes at du har forklaret problemet og løsningen fint. Til gengæld
synes jeg ikke at du har forklaret hvad det er at du er i tvivl
om. Hvilke af følgende spørgsmål stiller du?

1: Hvorfor gælder det at f(x) = g(x) og f'(x) = g'(x)?

2: Hvordan differentierer man f(x) og g(x)?

3: Hvordan løser man de to ligninger med to ubekendte?

--
Niels L Ellegaard http://dirac.ruc.dk/~gnalle/

---

In dk.videnskab, Niels Langager Ellegaard wrote:

>> Cirklens radius er lig cirkelbuens højde, dvs. at cirklen er skåret
>> over på midten. Jeg ved at radius = 10, men hvordan finder jeg
>> cirkelbuens position? Funktionsværdien for cirkelbuen...:
>>
>> g(x) = sqrt( 10^2 - ( x - x0 )^2 ) , hvor (x0,0) er cirklens centrum.
>>
>> ...må være lig funktionsværdien for den eksponentielle udvikling f(x),
>> i den 'x' hvor de lige nøjagtigt skærer hinanden. Det samme gælder vel
>> for f'(x) og g'(x). Ved det "sted" de to funktioner skærer hinanden,
>> gælder altså at: f(x) = g(x) og at f'(x) = g'(x)
>
>Jeg synes at du har forklaret problemet og løsningen fint. Til gengæld
>synes jeg ikke at du har forklaret hvad det er at du er i tvivl
>om. Hvilke af følgende spørgsmål stiller du?
>
>1: Hvorfor gælder det at f(x) = g(x) og f'(x) = g'(x)?

Nej.

>2: Hvordan differentierer man f(x) og g(x)?

Nej.

>3: Hvordan løser man de to ligninger med to ubekendte?

Ja, det må være det... Jeg kan ikke lige gennemskue det ;)

--
Med venlig hilsen / With kind regards, Lars Stokholm
Da : Svar venligst i gruppen hvis emnet tillader det (!)
En : Please reply to the group if the topic permits it (!)

---

Brug Jeppes metode; den er klar at følge.
Hvilken årgang er du?

--
Jens Axel

---

In dk.videnskab, Jens Axel Søgaard wrote:

>Brug Jeppes metode; den er klar at følge.

Ok, tak...

>Hvilken årgang er du?

Teknisk Gymnasium HTX, 3. år

--
Med venlig hilsen / With kind regards, Lars Stokholm
Da : Svar venligst i gruppen hvis emnet tillader det (!)
En : Please reply to the group if the topic permits it (!)

---

Lars Stokholm <larsstokholm@mail.dk> writes:
> In dk.videnskab, Niels Langager Ellegaard wrote:
> >Jeg synes at du har forklaret problemet og løsningen fint. Til gengæld
> >synes jeg ikke at du har forklaret hvad det er at du er i tvivl
> >om. Hvilke af følgende spørgsmål stiller du?
> >
> >3: Hvordan løser man de to ligninger med to ubekendte?
>
> Ja, det må være det... Jeg kan ikke lige gennemskue det ;)

Nu da jeg læste mit indlæg igen virkede det lidt flabet. Sådan var det
ikke ment. Her er næste hint:

f'(x) / f(x) = g'(x) / g(x)

--
Niels L Ellegaard http://dirac.ruc.dk/~gnalle/

---

In dk.videnskab, Niels Langager Ellegaard wrote:

>> In dk.videnskab, Niels Langager Ellegaard wrote:
>> >Jeg synes at du har forklaret problemet og løsningen fint. Til gengæld
>> >synes jeg ikke at du har forklaret hvad det er at du er i tvivl
>> >om. Hvilke af følgende spørgsmål stiller du?
>> >
>> >3: Hvordan løser man de to ligninger med to ubekendte?
>>
>> Ja, det må være det... Jeg kan ikke lige gennemskue det ;)
>
>Nu da jeg læste mit indlæg igen virkede det lidt flabet. Sådan var det
>ikke ment...

Ja, man må jo finde sig i lidt af hvert Nej, det var bare for
sjov. Du er tilgivet.

>Her er næste hint:
>f'(x) / f(x) = g'(x) / g(x)

Jeg tror at jeg prøver det, for med Jeppe's metode (og den jeg faktisk
havde tænkt på først, men gik i stå i), kommer jeg frem til en
ligning:

(a^x)^2 * ( (b^4) * (a^x)^2 + b^2 ) = 100

Som godt nok giver det rigtige svar (i MathCad skal det siges), samt
et komplekst et, som jeg ikke lige kan gennemskue. Jeg har ikke selv
nogen ide til hvordan den ligning kan løses. Nogen bud? Det skal kunne
lade sig gøre med gymnasiet regneregler ;)

--
Med venlig hilsen / With kind regards, Lars Stokholm
Da : Svar venligst i gruppen hvis emnet tillader det (!)
En : Please reply to the group if the topic permits it (!)

---

In dk.videnskab, Lars Stokholm wrote:

> (a^x)^2 * ( (b^4) * (a^x)^2 + b^2 ) = 100
>
>Som godt nok giver det rigtige svar (i MathCad skal det siges), samt
>et komplekst et, som jeg ikke lige kan gennemskue. Jeg har ikke selv
>nogen ide til hvordan den ligning kan løses. Nogen bud? Det skal kunne
>lade sig gøre med gymnasiet regneregler ;)

Vent et øjeblik, jeg tror at jeg har gang i noget ;)

--
Med venlig hilsen / With kind regards, Lars Stokholm
Da : Svar venligst i gruppen hvis emnet tillader det (!)
En : Please reply to the group if the topic permits it (!)

---

In dk.videnskab, Lars Stokholm wrote:

>> (a^x)^2 * ( (b^4) * (a^x)^2 + b^2 ) = 100
>>
>>Som godt nok giver det rigtige svar (i MathCad skal det siges), samt
>>et komplekst et, som jeg ikke lige kan gennemskue. Jeg har ikke selv
>>nogen ide til hvordan den ligning kan løses. Nogen bud? Det skal kunne
>>lade sig gøre med gymnasiet regneregler ;)
>
>Vent et øjeblik, jeg tror at jeg har gang i noget ;)

Nå, det førte ikke til noget :( Men jeg har da ret i at:

ln(a*b) = ln(a) + ln(b) ikke?

Burde man ikke kunne bruge det? Er det bare mig der ikke kan finde ud
af det?

--
Med venlig hilsen / With kind regards, Lars Stokholm
Da : Svar venligst i gruppen hvis emnet tillader det (!)
En : Please reply to the group if the topic permits it (!)

---

Lars Stokholm wrote:
>
>
> (a^x)^2 * ( (b^4) * (a^x)^2 + b^2 ) = 100

Hvis denne ligning er rigtig, går det da helt godt. Det er jo bare
en andengradsligning i t=(a^x)^2 .

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

In dk.videnskab, Jeppe Stig Nielsen wrote:

>> (a^x)^2 * ( (b^4) * (a^x)^2 + b^2 ) = 100
>
>Hvis denne ligning er rigtig, går det da helt godt. Det er jo bare
>en andengradsligning i t=(a^x)^2 .

Det kan jeg ikke se (?)

(a^x)^2 * ( (b^4) * (a^x)^2 + b^2 ) - 100 = 0 ?

Jeg synes at det ligner en fjerdegradsligning. Hvad mener du med
t=(a^x)^2 ? Jeg er ikke med...

--
Med venlig hilsen / With kind regards, Lars Stokholm
Da : Svar venligst i gruppen hvis emnet tillader det (!)
En : Please reply to the group if the topic permits it (!)

---

"Lars Stokholm" <larsstokholm@mail.dk> wrote in
message
news:lr6k9uslfpabops71n629lugbcp0t70l69@4ax.com...
> In dk.videnskab, Jeppe Stig Nielsen wrote:
>
> >> (a^x)^2 * ( (b^4) * (a^x)^2 + b^2 ) = 100
> >
> >Hvis denne ligning er rigtig, går det da helt
godt. Det er jo bare
> >en andengradsligning i t=(a^x)^2 .
>
> Det kan jeg ikke se (?)
>
> (a^x)^2 * ( (b^4) * (a^x)^2 + b^2 ) - 100 =
0 ?
>
> Jeg synes at det ligner en fjerdegradsligning.
Hvad mener du med
> t=(a^x)^2 ? Jeg er ikke med...

Hvis du nu sætter t=a^x står der jo
t*(b^4*t+b^2)-100=0
som giver
b^4*t^2+b^2*t-100=0
Den løser du så for t og får feks. t=z. Men
eftersom t=a^x har du jo i virkeligheden a^x=z. Nu
tager du ln på begge sider og får
x*ln(a)=ln(z) eller x=ln(z)/ln(a).

Det her "trick" med at kalde variablen noget andet
er godt (og "ofte" brugt, også i gymnasiet) .

Kasper

---

In dk.videnskab, Kasper Daniel Hansen wrote:

>> >> (a^x)^2 * ( (b^4) * (a^x)^2 + b^2 ) = 100
>> >
>> >Hvis denne ligning er rigtig, går det da helt
>godt. Det er jo bare
>> >en andengradsligning i t=(a^x)^2 .
>>
>> Det kan jeg ikke se (?)
>>
>> (a^x)^2 * ( (b^4) * (a^x)^2 + b^2 ) - 100 =
>0 ?
>>
>> Jeg synes at det ligner en fjerdegradsligning.
>Hvad mener du med
>> t=(a^x)^2 ? Jeg er ikke med...
>
>Hvis du nu sætter t=a^x

Nja, t=(a^x)^2

>står der jo
>t*(b^4*t+b^2)-100=0
>som giver
>b^4*t^2+b^2*t-100=0
>Den løser du så for t og får feks. t=z. Men
>eftersom t=a^x har du jo i virkeligheden a^x=z. Nu
>tager du ln på begge sider og får
>x*ln(a)=ln(z) eller x=ln(z)/ln(a).

Nå ja, selvfølgeligt ;)

>Det her "trick" med at kalde variablen noget andet
>er godt (og "ofte" brugt, også i gymnasiet) .

Jeg tror vi plejer at kalde det substitution. Mange tak for hjælpen...

--
Med venlig hilsen / With kind regards, Lars Stokholm
Da : Svar venligst i gruppen hvis emnet tillader det (!)
En : Please reply to the group if the topic permits it (!)

---

In dk.videnskab, Niels Langager Ellegaard wrote:

>> >Jeg synes at du har forklaret problemet og løsningen fint. Til gengæld
>> >synes jeg ikke at du har forklaret hvad det er at du er i tvivl
>> >om. Hvilke af følgende spørgsmål stiller du?
>> >
>> >3: Hvordan løser man de to ligninger med to ubekendte?
>>
>> Ja, det må være det... Jeg kan ikke lige gennemskue det ;)
>
>Nu da jeg læste mit indlæg igen virkede det lidt flabet. Sådan var det
>ikke ment. Her er næste hint:
>
>f'(x) / f(x) = g'(x) / g(x)

Nu har jeg løst den på Jeppe's måde alligevel, men hvad går din ud på.
Jeg kan godt se at ligningen passer, men er det ikke kun én ligning
med to ubekendte (x-værdien for skæringen og x-værdien for cirklens
centrum)? Jeg er nysgerrig...

--
Med venlig hilsen / With kind regards, Lars Stokholm
Da : Svar venligst i gruppen hvis emnet tillader det (!)
En : Please reply to the group if the topic permits it (!)

---

Lars Stokholm <larsstokholm@mail.dk> writes:
> >Nu da jeg læste mit indlæg igen virkede det lidt flabet. Sådan var det
> >ikke ment. Her er næste hint:
> >
> >f'(x) / f(x) = g'(x) / g(x)
>
> Nu har jeg løst den på Jeppe's måde alligevel, men hvad går din ud på.
> Jeg kan godt se at ligningen passer, men er det ikke kun én ligning
> med to ubekendte (x-værdien for skæringen og x-værdien for cirklens
> centrum)? Jeg er nysgerrig...

Ups jeg tror at jeg var lidt for hurtigt ude. Det skal ikke ske igen.

--
Niels L Ellegaard http://dirac.ruc.dk/~gnalle/

---

In dk.videnskab, Niels Langager Ellegaard wrote:

>> >Nu da jeg læste mit indlæg igen virkede det lidt flabet. Sådan var det
>> >ikke ment. Her er næste hint:
>> >
>> >f'(x) / f(x) = g'(x) / g(x)
>>
>> Nu har jeg løst den på Jeppe's måde alligevel, men hvad går din ud på.
>> Jeg kan godt se at ligningen passer, men er det ikke kun én ligning
>> med to ubekendte (x-værdien for skæringen og x-værdien for cirklens
>> centrum)? Jeg er nysgerrig...
>
>Ups jeg tror at jeg var lidt for hurtigt ude. Det skal ikke ske igen.

Jeg er faktisk lettet over at det ikke kan lade sig gøre (umiddelbart)
for jeg gider ikke rigtigt til at starte forfra

--
Med venlig hilsen / With kind regards, Lars Stokholm
Da : Svar venligst i gruppen hvis emnet tillader det (!)
En : Please reply to the group if the topic permits it (!)

---

Lars Stokholm wrote:
>
> Der er nok nemmest at forklare problemet ud fra en tegning:
> <http://home19.inet.tele.dk/stokholm/usenet/problem.gif>

Jeres lærer må være pervers. Her er en metode til at løse det:

Lad P(s,f(s)) være et punkt på grafen for f.
Find ligningen for normalen til grafen gennem P. Det giver vist

y - f(s) = -1/f'(s) * ( x - s )

Denne normal skærer førsteaksen i et punkt Q. Det findes ved at sætte
y=0 i ovenstående ligning. Jeg får så

Q( f(s)*f'(s) + s , 0 )

Her er Q centrum for en halvcirkel der tangerer grafen for f. Ifølge
formlen for afstanden mellem to punkter (Pythagoras) er radius r for
cirklen givet ved

r² = dist²(P,Q) = ( f(s)*f'(s)+s - s )² + ( 0 - f(s) )²
= ((f'(s))²+1)*(f(s))²

Så du skal sætte denne sidste størrelse lig med 10²=100 for at få
s ud. Derfra skulle du kunne finde x0 også.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

In dk.videnskab, Jeppe Stig Nielsen wrote:

<snip>

> r² = dist²(P,Q) = ( f(s)*f'(s)+s - s )² + ( 0 - f(s) )²

Det er jeg næsten med på, men hvorfor ( 0 - f(s) )² ? Jeg ville bare
have sagt f(s)², ikke bare fordi det giver det samme, men fordi f(s)
da må være den lodrette katete i den trekant du udfører Pythagoras på.

--
Med venlig hilsen / With kind regards, Lars Stokholm
Da : Svar venligst i gruppen hvis emnet tillader det (!)
En : Please reply to the group if the topic permits it (!)

---

Lars Stokholm wrote:
>
> In dk.videnskab, Jeppe Stig Nielsen wrote:
>
> <snip>
>
> > r² = dist²(P,Q) = ( f(s)*f'(s)+s - s )² + ( 0 - f(s) )²
>
> Det er jeg næsten med på, men hvorfor ( 0 - f(s) )² ? Jeg ville bare
> have sagt f(s)², ikke bare fordi det giver det samme, men fordi f(s)
> da må være den lodrette katete i den trekant du udfører Pythagoras på.

Jeg havde en formel a la

dist²(P,Q) = (x1 - x2)² + (y1 - y2)²

i tankerne.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

In dk.videnskab, Jeppe Stig Nielsen wrote:

>> > r² = dist²(P,Q) = ( f(s)*f'(s)+s - s )² + ( 0 - f(s) )²
>>
>> Det er jeg næsten med på, men hvorfor ( 0 - f(s) )² ? Jeg ville bare
>> have sagt f(s)², ikke bare fordi det giver det samme, men fordi f(s)
>> da må være den lodrette katete i den trekant du udfører Pythagoras på.
>
>Jeg havde en formel a la
>
> dist²(P,Q) = (x1 - x2)² + (y1 - y2)²

Ok, jeg tror nok at min hed...

dist²(P,Q) = (x1 - x2)² + (y2 - y1)²

....så. Men det er jo også ligemeget.

--
Med venlig hilsen / With kind regards, Lars Stokholm
Da : Svar venligst i gruppen hvis emnet tillader det (!)
En : Please reply to the group if the topic permits it (!)

---

"Lars Stokholm" <larsstokholm@mail.dk> skrev i en meddelelse
news:rmrj9uk7l91t66orlq87so34dbjk2b8ejl@4ax.com...
> Der er nok nemmest at forklare problemet ud fra en tegning:
> <http://home19.inet.tele.dk/stokholm/usenet/problem.gif>
>
> Cirklens radius er lig cirkelbuens højde, dvs. at cirklen er skåret
> over på midten. Jeg ved at radius = 10, men hvordan finder jeg
> cirkelbuens position? Funktionsværdien for cirkelbuen...:
>
> g(x) = sqrt( 10^2 - ( x - x0 )^2 ) , hvor (x0,0) er cirklens centrum.
>
> ...må være lig funktionsværdien for den eksponentielle udvikling f(x),
> i den 'x' hvor de lige nøjagtigt skærer hinanden. Det samme gælder vel
> for f'(x) og g'(x). Ved det "sted" de to funktioner skærer hinanden,
> gælder altså at: f(x) = g(x) og at f'(x) = g'(x)
>
> Men der er ikke noget af det, der umiddelbart giver noget der er til
> for mig at regne på. Jeg hører en lille fugl synge om at jeg skal
> benytte mig af at f'(x) = g'(x). Dvs. fuglen har selv spurgt læreren.

Der er to ubekendte. Den ene er x0, x-koordinaten for cirklens centrum.
Den anden er x-koordinaten for det punkt, hvor den eksponentielle udvikling
og cirklen skærer hinanden. Udfra de to ligninger

f(x) = g(x) og f´(x)=g´(x)

burde du kunne finde begge ubekendte.

Hint: Bestem først x0 så ligningen ba^x = rod( 100-(x-x0)^2 ) for fast x0
har netop en løsning.
Brug derefter b ln(a) a^x = [ x0 - x ] / rod( -x^2 + 2 xx0 -
x0^2 + 100 )
til at finde x.

Af ren nysgerrighed. Hvilket program anvender du til grafer/udregning?
--
Jens Axel Søgaard

---

In dk.videnskab, Jens Axel Søgaard wrote:

>> Der er nok nemmest at forklare problemet ud fra en tegning:
>> <http://home19.inet.tele.dk/stokholm/usenet/problem.gif>
>>
>> Cirklens radius er lig cirkelbuens højde, dvs. at cirklen er skåret
>> over på midten. Jeg ved at radius = 10, men hvordan finder jeg
>> cirkelbuens position? Funktionsværdien for cirkelbuen...:
>>
>> g(x) = sqrt( 10^2 - ( x - x0 )^2 ) , hvor (x0,0) er cirklens centrum.
>>
>> ...må være lig funktionsværdien for den eksponentielle udvikling f(x),
>> i den 'x' hvor de lige nøjagtigt skærer hinanden. Det samme gælder vel
>> for f'(x) og g'(x). Ved det "sted" de to funktioner skærer hinanden,
>> gælder altså at: f(x) = g(x) og at f'(x) = g'(x)
>>
>> Men der er ikke noget af det, der umiddelbart giver noget der er til
>> for mig at regne på. Jeg hører en lille fugl synge om at jeg skal
>> benytte mig af at f'(x) = g'(x). Dvs. fuglen har selv spurgt læreren.
>
>Der er to ubekendte. Den ene er x0, x-koordinaten for cirklens centrum.
>Den anden er x-koordinaten for det punkt, hvor den eksponentielle udvikling
>og cirklen skærer hinanden. Udfra de to ligninger
>
> f(x) = g(x) og f´(x)=g´(x)
>
>burde du kunne finde begge ubekendte.
>
>Hint: Bestem først x0 så ligningen ba^x = rod( 100-(x-x0)^2 ) for fast x0
>har netop en løsning.
> Brug derefter b ln(a) a^x = [ x0 - x ] / rod( -x^2 + 2 xx0 -
>x0^2 + 100 )
> til at finde x.

Tak, jeg kigger på alle forslagne.

>Af ren nysgerrighed. Hvilket program anvender du til grafer/udregning?

MathCad 2001

--
Med venlig hilsen / With kind regards, Lars Stokholm
Da : Svar venligst i gruppen hvis emnet tillader det (!)
En : Please reply to the group if the topic permits it (!)