---

Hejsa

I en signalbehandlingstime i dag sad jeg og legede lidt med
lommeregneren.
Jeg gjorde noget lignende:

x = 2

x = 2^x
x = 2^x
x = 2^x
x = 2^x
osv.

Dvs jeg opløftede hele tiden 2 i det foregående resultat.
For en initialværdi = 2 bliver x ret hurtig uendelig stor (4 opløftning)
Men ved lavere initial værdier får jeg en konvergens efter en hel del
opløftningner.
Fx konvergerer 1.3 mod 1.47099
1.5 går også mod uendelig og jeg troede først at skillelinjen var
omkring 2^0.5 men nej:
1.42 kovergerer mod 2.05739
Et andet gæt var e^0.5, men det giver 1.65 og allerede 1.45 går mod
uendelig.

Hvad er det jeg er kommet ind på her og hvad er kriteriet for hvornår
resultatet går mod uendelig og hvornår resultatet konvergerer, og
hvordan regner man i sidste tilfælde grænseværdien ud?

Mit umiddelbare gæt var en eller anden afrundingsfejl i lommeregneren,
idet jeg mente at x^y < y, for x > 1 og y > 1, men min lærer mente ikke
helt at jeg kunne udelukke en naturligt konvergerende række (han
kredsede også en del om e)

--
Martin Højriis Kristensen - http://www.makr.dk/?usenet
Jeg repræsenterer med dette indlæg mig selv og ikke TDC Internet

---

Scripsit "Martin Højriis Kristensen" <usenet@makr.dk>

> x = 2^x
> x = 2^x
> x = 2^x
> x = 2^x

> Men ved lavere initial værdier får jeg en konvergens efter en hel del
> opløftningner.
> Fx konvergerer 1.3 mod 1.47099

Det lyder meget underligt. 2^1,47099 er 2,77212 ifølge min
regnemaskine, og funktionen skulle gerne være kontinuert, så
hvordan du kan få konvergens mod det tal når du itererer, er
en gåde.

> 1.42 kovergerer mod 2.05739

2^2,05739 er 4,16233, så også her er den gal.

Er du sikker på at du har beskrevet den funktion du itererer, rigtigt?

> Mit umiddelbare gæt var en eller anden afrundingsfejl i lommeregneren,

Jeg tror ikke det kan skrabes ind under gulvtæppet som afregningsfejl.
Der må være et eller andet ravruskende galt.

> idet jeg mente at x^y < y, for x > 1 og y > 1,

Forkert. Sæt fx x = 2, y = 2, så har du 2² = 4 > 2.

Den omvendte ulighed gælder heller ikke, fx er (4/3)² = 16/9 < 2.

Opgave til den interesserede læser: For tilstrækkelig store a gælder
a^y >= y for alle y. Hvornår er a "tilstrækkelig stor"?

--
Henning Makholm "Guldnålen er hvis man har en *bror* som er *datalog*."

---

"Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse
news:yahsn8e1flf.fsf@tyr.diku.dk...
> > Fx konvergerer 1.3 mod 1.47099
> Det lyder meget underligt. 2^1,47099 er 2,77212 ifølge min
> regnemaskine

Du misforstår (jeg er måske dårlig til at foklare)

x = 1.3

x= 1.3^x
x= 1.3^x
x= 1.3^x

> > idet jeg mente at x^y < y, for x > 1 og y > 1,
> Forkert. Sæt fx x = 2, y = 2, så har du 2² = 4 > 2.

Ja, det skulle være x^y > y, men det er ved nærmere eftertanke ikke helt
så simpelt.

--
Martin Højriis Kristensen - http://www.makr.dk/?usenet
Jeg repræsenterer med dette indlæg mig selv og ikke TDC Internet

---

Scripsit "Martin Højriis Kristensen" <usenet@makr.dk>
> "Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse
> news:yahsn8e1flf.fsf@tyr.diku.dk...
> > > Fx konvergerer 1.3 mod 1.47099

> > Det lyder meget underligt. 2^1,47099 er 2,77212 ifølge min
> > regnemaskine

> Du misforstår (jeg er måske dårlig til at foklare)

Ok. Så du vælger altså et tal c og itererer funktionen

f_c : x -> c^x

med c som startværdi.

Faktisk kan man også bruge 0 som startværdi (det gør det lidt lettere
at se en graf for sig i en fart) idet

0 -> 1 -> c

For c > 1: Ved at tegne en grov skitse af grafen for nogen typiske
tilfælde ser man at
- f_c har enten har 0, 1 eller 2 fikspunkter
- for store c har f_c ingen fikspunkter, og iterationen løber løbsk.
- for små c (>1) har f_c to fikspunkter, og iterationen konvergerer
hurtigt mod det mindste af dem.
- i grænsetilfældet har f_c netop et fikspunkt, og iterationen
konvergerer meget langsomt mod det.

Spørgsmålet er så hvilken c0 der får f_c0 til at have netop 1
fikspunkt. Det kan findes ud fra

f_c0(x0) = x0 hvor x0 er løsningen til f_c0'(x0) = 1.

Regneregne ... det viser sig at ln(ln(c0)) = -1 eller

c0 = e^e^-1 = 1.444667...

og fikspunktet vil i øvrigt være e idet

(e^e^-1)^e = e^(e^-1*e) = e^1 = 1

For c <= 1 vil f_c altid have netop et fikspunkt, men ifølge mine
hastige udregninger vil det kun være stabilt hvis

c > e^(-e) = 0.065988...

Hvad der sker for mindre c'er har jeg ikke undersøgt, men jeg gætter
på en serie periodefordoblinger endende med en kaotisk udvikling a la
Feigenbaum.

--
Henning Makholm "Make it loud, make it complicated, make it long,
and make it up if you have to, but it'll work all right."

---

"Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse
news:yahheou1c3b.fsf@tyr.diku.dk...
> - f_c har enten har 0, 1 eller 2 fikspunkter
> - for store c har f_c ingen fikspunkter, og iterationen løber løbsk.
> - for små c (>1) har f_c to fikspunkter, og iterationen konvergerer
> hurtigt mod det mindste af dem.
> - i grænsetilfældet har f_c netop et fikspunkt, og iterationen
> konvergerer meget langsomt mod det.

Jeg tror jeg forstod det meste. Du skal have mange tak for din
gennemgang.
Min lærer havde altså ret i sin fornemmelse af at e var blandet ind i
grænseværdierne på en eller anden måde.
Rækkeudvikling virker som en spændende disciplin inden for matematikken
og jeg glæder mig til at lære mere...

--
Martin Højriis Kristensen - http://www.makr.dk/?usenet
Jeg repræsenterer med dette indlæg mig selv og ikke TDC Internet

---

"Martin Højriis Kristensen" wrote:
>
> Min lærer havde altså ret i sin fornemmelse af at e var blandet ind i
> grænseværdierne på en eller anden måde.

Når det er noget med potenser b^a, kommer e så tit frem. Prøv bare
at finde ekstremumsstedet for

f(x) = x^(1/x)

eller at finde den y-værdi hvor grafen for

g(x) = (1+x)^(1/x) , x > -1

når ind til andenaksen. (g kan let gøres kontinuert i x=0.)

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Såvidt jeg kan se så laver du en følge
x1,x2,x3,....
hvor x(n+1) = c^xn
og du vælger så at variere c. Lad os kalde din funktion f(x)=c^x så har vi
at
x(n+1)=f(xn)

Dette minder en hel del om det jeg kender til fraktaler (ikke meget) hvor
man netop ser på følger x(n+1)=f(xn) hvor f varierer. F.eks. er Mnadelbrot
mængden tegnet vha functionen
f(x)=x^2+c
Det man tegner i mandelbrotmængden er en farve kode som afhænger af hvor
hurtigt følgen går mod uendelig (og om den overhovedet gør det), når vi
varierer c. Hov siger du: Mandelbrot mængden er jo todimensional, men det
skyldes at man regner med komplekse tal, så c er i virkeligheden et punkt i
planen.

Dit tilfælde svarer til x-aksen i Mandelbrotmængden (bortset fra at din
funktion f er anderledes - og lidt mere indviklet :) ).

Ikke at det er en forklaring, men det viser måske at fænomenet er ...
mærkeligt :)

Kasper (som håber at ovenstående er rigtig husket fra sin gymnasietid)

---

"Kasper Daniel Hansen" <kdh@omk.dk> skrev i en meddelelse
news:a3s91k$smq$1@sunsite.dk...
> x(n+1)=f(xn)

Jeg ville skrive det således: x[n+1] = c^x[n]
Eller som du siger:
f(x) = c^x
x[n+1] = f(x[n])

Jeg ved ikke om det er det samme vi siger, men det er den notation jeg
netop har lært

> Hov siger du: Mandelbrot mængden er jo todimensional, men det
> skyldes at man regner med komplekse tal, så c er i virkeligheden et
punkt i
> planen.

hmm, det kunne være skillelinjen (mellem grænseværdi/uendelig) var
logisk hvis man kiggede på komplekse tal, men det har jeg ikke lige
indblik til at klare..

> Ikke at det er en forklaring, men det viser måske at fænomenet er ...
> mærkeligt :)

Jeg er sikker på at der er en logisk forklaring eller at nogen i det
mindste har tænkt lidt over det. Det er bare lidt svært at søge på
google efter

--
Martin Højriis Kristensen - http://www.makr.dk/?usenet
Jeg repræsenterer med dette indlæg mig selv og ikke TDC Internet

---

Scripsit "Kasper Daniel Hansen" <kdh@omk.dk>

> Dit tilfælde svarer til x-aksen i Mandelbrotmængden (bortset fra at din
> funktion f er anderledes - og lidt mere indviklet :) ).

Ja - det er derfor jeg formoder at der er en Feigenbaum-struktur for
ganske små c'er. Ved at se på lambda = ln c i stedet for c, kan vi i
øvrigt udvide princippet meningsfuldt til komplekse parametre og
iterere

x -> e^(lambda * x)

Mon man kan finde den (eller noget der ligner) færdiglavet i en eller
anden fraktalgenerator?

--
Henning Makholm "Monsieur, vous êtes fou."